Математические модели. Энергетическая модель сердца

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 гимназия №12 имени Г. Р. Державина

Математические модели в медицине

Энергетическая модель сердца

Исследовательская работа

Выполнена

ученицей 11 Б класса

МБОУ гимназия №12 имени Г. Р. Державина

 Колодиной Еленой Юрьевной

Научный руководитель:

учитель математики

МБОУ гимназии №12 имени Г.Р. Державина

Ондриков И.В.

Тамбов, 2013

Содержание

1.  Введение………………………………………………………………4

2.  Математические модели сердца. ……………………………………6

3.  Модель энергетического баланса……………………………………7

4.  Заключение…………………………………………………………   14

5.  Список литературы………………………………………………......16

6.   Приложение…………………………………………………………..17

Цель: построить энергетическую модель сердца для выяснения природы некоторых кризисных  его состояний.

Задачи:  

• выявить возможности применения математических моделей в медицине;

• составить дифференциальное уравнение, описывающее работу сердца;

• провести анализ построенной модели;

• определить практическую значимость данной модели.

Объект исследования:  сердце

Предмет исследования:  математическая модель сердца

Гипотеза: возможно ли построить простую математическую модель, отражающую работу такого сложного органа как человеческое сердце?

Введение

         Окружающий нас мир многообразен, сложен, загадочен, красочен и прекрасен. Но лежащие в нем основы, генерирующий его механизм просты и действуют по простым правилам. Об этом догадались уже древние греки, положив в основу всего огонь, землю, воду и воздух, и хотя они были далеки от истины, но предвидели существование еще и малых частиц - атомов, движения и сочетания которых порождают все сущее. Это была гениальная догадка, обоснованная только в XVIII-XIX веках. Наше современное естествознание подтвердило эту конкретную догадку об атомах и более широкую общую о простоте основ. То, что простые правила могут порождать разнообразные и сложные ситуации, видно на примерах шашек, шахмат и других игр. В этом смысле игра имитирует наш мир. Возможно, именно поэтому мы их так любим и детям они так нужны. Правила природы все же сложнее правил игр, но они тоже просты. Формально их можно изложить за час-два, но научиться хорошо "играть" не так просто: подчас это требует всей жизни. Правила "игры природы" - это фундаментальные законы механики и физики: законы Ньютона, законы электродинамики Фарадея-Максвелла, уравнения квантовой механики Шрёдингера и общей теории относительности Эйнштейна, а также законы химии и биологии, которые следуют из общих законов механики и физики, но не всегда понятно как. То, к чему применяются эти простые правила и законы или посредством чего осуществляются, - это окружающие нас объекты природы, которые мы в своем сознании имитируем идеализированными моделями. Эволюция человеческой мысли привела к тому, что для этой имитации создан специальный математический язык и окружающие нас объекты - части природы - описываются математическими моделями.  

         Математические модели могут быть очень простыми (приложение 1), простыми, сложными и очень сложными. Очень простые - это, например, геометрическая или материальная точка, точечный заряд. Простые - это те, о которых я буду вам рассказывать, сложные и очень сложные - это в принципе такие же, как простые, но много или очень много сложнее. Иерархия математических моделей подобна зданию, сложенному из очень простых частей: кирпичей, железных изделий, цемента, дерева, стекла и многого другого. Очень простые модели - это простейшие части, из которых сложено здание, простые - это его некоторые части, состоящие из очень простых, сложная модель - все здание и очень сложная - это целый город из зданий.

Можно думать, что возрастающим по сложности реальным системам и объектам отвечают все более и более сложные их модели. Но это не так. Сложному и очень сложному реальному объекту могут соответствовать простые модели. Дело в том, что модель не обязана описывать все происходящее в объекте во всех его деталях. Она может описывать лишь кое-что, и в первую очередь самое главное и нам интересное или важное. Так, моделью города может быть его карта, моделью земного шара - глобус. Вот о таких простых моделях сложных и очень сложных объектов пойдет речь ниже.

         В данной работе  рассматривается очень сложный объект, и процессы, происходящие в нем, очень сложны. Модель для него построим очень простую, и, несмотря на ее простоту, с  ее помощью узнаем кое-что интересное. Так, оказывается, бывает. Конечно, при этом мы узнаем о сердце далеко не все, а только кое-что, но важное, интересное и полезное.

Придет время - пусть отдаленное, когда математический анализ,

опираясь на естественнонаучный, осветит величественными формулами уравнений все эти уравновешивания, включая в них, наконец, и самого себя».

И.П. Павлов

Математические модели сердца

          В данный момент существует множество математических моделей, как отдельных участков, так и всей сердечно - сосудистой системы в целом, а

также модели, объединяющие ее с другими системами организма. Однако в связи с разнообразием таких моделей возникает целый ряд проблем:

• отсутствие преемственности в разработке моделей;
• многочисленность несвязанных подходов;
• несравнимость моделей между собой;
• отсутствие общего подхода к моделированию контуров регуляции физиологических систем;
• трудность выделения наиболее существенных элементов и общих соотношений, причем в такой форме, которая позволила бы получить описание данной физиологической системы различной детальности, объема и специфики.

Современные математические модели кровообращения являются компьютерными моделями, т.к. их исследование в силу их сложности проводится исключительно с помощью компьютера. Поэтому от эффективности компьютерного представления модели существенно зависит прогресс в исследованиях в области моделирования физиологических систем. Существующие компьютерные реализации математических моделей кровообращения (так же как и других систем организма) в полной мере не решают вышеописанных проблем. Таким образом, возникает необходимость в усовершенствовании подхода к компьютерному моделированию сложных физиологических систем и разработке на его основе программного продукта, который бы позволял быстро и эффективно создавать расширяемые математические модели систем организма.

Так, например, исследователи из Монреальского университета (Канада) использовали суперкомпьютер для создания детальной математической модели работы человеческого сердца. Моделирование было проведено на суперкомпьютере SGI Altix 4700 с 768 процессорами и 1,2 терабайт совместно используемой памяти. Ученые имитировали активацию тканей сердца продолжительностью 5 миллисекунд. При этом они учитывали свойства реального сердца, например то, что его мышечные волокна могут сокращаться в разных направлениях. Процесс занял два часа, а для имитации полного сердцебиения потребовалось бы 2 недели. Модель включала 3 млрд элементов и была на 3 порядка более детальной, чем предыдущие. 

           Модель, которая детально описывает процессы, происходящие в сердце и сердечно - сосудистой системе, включает множество параметров и переменных. Однако, такая модель не удобна для практического применения в кардиологии. В связи с этим обычно ограничиваются построением упрощенных моделей, воспроизводящих основные функции сердца, позволяющих получить физиологически реальные течения в системе сосудов и имеющих ряд допущений.  [1], [2], [3], [5], [6].   Актуальность разработки моделей сердечно - сосудистой системы, ориентированных на кардиохирургию, сохраняется и в настоящее время.

Модель энергетического баланса

        Сейчас мы составим модель энергетического баланса. Чтобы жить и работать, сердце затрачивает энергию, и эту энергию оно поставляет себе, работая. Больше можно ничего не знать. Можно знать только это и, построив математическую модель, узнать и понять кое-что неожиданное и нам неизвестное.

О нашем сердце и кровеносной системе написано много книг, и чтобы их все прочитать и изучить, едва ли хватит жизни. Но нам нужно лишь знать, что функционально сердце - это насос, который качает кровь по кровеносным сосудам и капиллярам, питая все органы и ткани тела, в том числе и самого себя. Сердце не может остановиться. Оно должно все время работать и работать столько, сколько это нужно его владельцу. Иначе говоря, владелец, точнее, его нервная система командует, как оно должно работать: сильнее или слабее. Эту команду представим величиной управления и: чем больше и, тем интенсивнее нервная система приказывает работать сердцу. А сердце как безответный раб: что прикажут, то и делает, не жалея себя и не смея жаловаться. Может только "сломаться", и тогда уже плохо и ему и хозяину. Оно может работать — сокращать свои мышцы — за счет имеющегося в нем запаса энергии. Эта же энергия - химическая — нужна ему и для поддержания своей жизни, жизни своих клеток. Пополняет запас энергии W сердце так же как и все остальные органы и ткани тела, прокачивая через себя артериальную кровь, богатую кислородом и другими необходимыми веществами. Пусть  f — интенсивность затрат энергии сердцем для его работы, g — интенсивность пополнения запаса его энергии W. Пусть, кроме того, а - интенсивность потребления энергии для поддержания своей собственной жизни, питания его клеток и тканей, когда оно не работает. Очевидно, что скорость изменения энергии W равна  – f + g – а, то есть                                                                 (1)

Интенсивности  f и g зависят от u и W. В частности, если W = 0, то f = g = 0. Аналогично,  f = g = 0 при и = 0. Вместе с тем при каких-то u и W отличных от нуля, f и g положительны, так как в противном случае наше сердце не могло бы работать.

Согласно (1), при фиксированной команде управления и в зависимости от знака правой части –f + g - а происходит либо убывание, либо возрастание запаса энергии W.  Отобразим этот факт графически на плоскости переменных W и  и (рис. 1).

Ясно, что  W и и по смыслу не отрицательны и не превосходят некоторых своих максимальных значений Wmax и  итах, и поэтому, точка М с координатами W и  и находится в изображенном на рис. 1 прямоугольнике ОАВС. Вершины этого прямоугольника отмечены точками О, А, В и С. Где-то внутри этого прямоугольника выражение – f + g — а заведомо положительно. На сторонах ОА и ОС   f = g = 0, и поэтому на них и вблизи них < 0, так как

а > 0. Естественно считать, что и на стороне СВ   также отрицательно, так как при этом от сердца требуется выполнение максимально возможной работы.

Сказанное отмечено на рис. 1 минусами, которые означают, что при отвечающих их месту значениях W и и запас энергии W убывает. Знаки плюс на рис. 1 указывают на то, что где-то внутри прямоугольника - f + g - a > 0 и W растет. Ясно, что в части прямоугольника ОАВС, где W убывает (стоят знаки «минус») и где возрастает (стоят знаки «плюс»), разделяются некоторой кривой γ. Точный вид ее нам неизвестен, но этого и не требуется.

Изобразим теперь, как перемешается точка М(W; и) при фиксированных и. Это приведет к картинке, показанной на рис. 2.

В области Г, ограниченной кривой γ, значение W возрастает, а вне ее убывает. При работе сердца точка М(W; и) перемещается внутри прямоугольника, причем, находясь внутри Г, смешается вправо, а вне — влево, не выходя, конечно, за его пределы. Вверх и вниз она смешается в соответствии с командами и нервной системы. При длительном постоянстве u точка М(W; и), находящаяся в области Г, приходит на часть γ+ границы γ. При изменении и точка М( W; и) описывает некоторую траекторию: при этом изменение и может быть любым, а изменение W предписывается уравнением (1) и происходит в соответствии со стрелками рис. 2. Точка М(W; и) может двигаться внутри и вне области Г, выходя из нее при возрастании или убывании и, то есть при чрезмерно большой или чрезмерно маленькой команде и, когда сердце форсированно работает или, наоборот, слишком ослабляет свою работу. И вот теперь можно заметить, что ни то ни другое не может быть длительным. Длительное и, близкое к и umax , или очень маленькое и приводят к тому, что точка М( W; и), смещаясь влево, оказывается в области, где  W меньше Wкрит, показанного на рис. 2. Попав туда, она уже никак не может вернуться в область Г и фатально попадает на сторону прямоугольника ОС, где энергия W истощаясь, обращается в нуль и остается равной нулю. Проще говоря, сердце гибнет, так как его тканям и клеткам нечем поддерживать свою жизнь (W = 0).

Увиденное нами можно трактовать как то, что мы обнаружили две противоположные возможности возникновения кризисных состояний сердца: одно при слишком длительной интенсивной работе, другое при длительной его слишком слабой работе, вызываемой малостью команды и нервной системы, ее временным упадком. Подчеркнем, что интенсивная работа сердца может происходить только в силу интенсивной работы человека, и оттого, что нервная система перевозбуждена и дает большую команду и. Спад сердечной деятельности нашей модели обязан не неполадкам в нем, а спадом сигнала и нервной системы. Для того чтобы избежать необратимости гибели сердца, необходимо не допускать того, чтобы W  было меньше Wкрит. Причем в первом и втором случае угрожающего  уменьшения   W действия   должны быть противоположны. При чрезмерной нагрузке ее следует уменьшить и успокоить нервную систему, то есть добиться уменьшения и. Во втором случае чрезмерного спада деятельности сердца необходимо ее усилить и стимулировать нервную систему на  увеличение команды. В одних случаях человек своими сознательными действиями может достигнуть требуемого сам, в других ему нужна помощь посторонних и, возможно, соответственно успокаивающие и возбуждающие лекарственные средства и действия. Излишне говорить, что это хорошо известно врачам.

         Теперь постараемся с помощью той же модели понять, что происходит при детренировке, старении, интоксикациях и других причинах, понижающих коэффициент полезного действия сердца, то есть когда при тех же W, и и полезной работе затраты f становятся больше и питание сердца g — меньше. В результате происходит уменьшение области Г, в частности, увеличение Wкрит. и увеличение минимальной работы сердца, когда оно сохраняет жизнеспособность. Как это ни парадоксально, но с возрастом и болезнью, когда сердцу бы впору отдохнуть, оно не может этого сделать и должно работать интенсивнее даже без внешних нагрузок. Конечно, одновременно падают и максимально допустимые нагрузки, но это вполне понятно.

Область Г можно назвать областью жизненных возможностей сердца. Детренировка, интоксикация, болезни и старость ее уменьшают. Уменьшение это всестороннее, и поэтому падают как возможности интенсивной работы, так и полноценного отдыха. Уменьшение жизненных возможностей — области Г — облегчает и способствует наступлению сердечных кризов. Для того чтобы их избежать, человек сознательно должен беречь свое сердце, постигая границы его возможностей. Должен осмотрительно, когда это можно, тренировать его, стремясь расширить область жизненных возможностей Г. Это хорошо известно врачам, и они, в частности после тяжелого заболевания, именуемого инфарктом миокарда, назначают выздоравливающему в период реабилитации постепенно возрастающую тренировочную ходьбу по пять и десять километров в день.

           Природа позаботилась о долголетии нашего организма. Она наделила наше сердце запасом мощности, которого хватит на 150 лет полноценной жизни. Нашей с вами задачей является сохранение этого запаса, которое выражается в бережном отношении к своему сердцу. Для того чтобы сердце было здоровым, билось долго, а мы продолжали жить и радоваться жизни, нужно знать, что полезно нашему сердцу, а что вредно. Сердце работает с момента нашего рождения и до самой смерти, ни на минуту не останавливается. Человеческая лень и вездесущий комфорт, ослабляет сердечную мышцу. С развитием цивилизации, люди все больше сокращают затраты мышечной энергии, увеличивают калорийность пищи на фоне малоподвижного (кабинетного) образа жизни. Все это привело к тому, что человек стал мало двигаться, мало работать физически, часто валяться «на диване» в результате чего страдает сердечно - сосудистая система. Люди, занимающиеся физическими упражнениями, в 3 раза меньше подвержены опасности возникновения заболеваний сердца, потому как активный образ жизни и занятия спортом только на пользу сердцу. Занимайтесь спортом, не ленитесь делать утреннюю зарядку, старайтесь больше ходить пешком, поднимайтесь по лестнице и откажитесь от лифта. Если Вы будете проходить в день 3–5км – это защитит ваше сердце от развития заболеваний и продлит его молодость. Альтернативой спорту могут быть фитнесс, аэробика, танцы, езда на велосипеде, плавание и занятия йогой.

           Хотелось бы еще добавить, что наша модель применима не только к сердцу, она значительно шире. Она применима к любому живому существу, которое, для того чтобы жить, должно работать, до6ывая себе пропитание. И в жизни его, как и наше сердце, все время подстерегает кризис "переработки" и кризис "лени". Человек отличается от диких животных лишь тем, что сумел смягчить безжалостность этих природных кризисов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Я думаю, что на вас произвело впечатление, что такими простыми средствами можно понять и познать причины и сущность неочевидных и непонятых явлений. Если это так и вы действительно удивлены, то, несомненно, вас интересует, за счет чего достигается эта простота. А она обязана в первую очередь широте и необъятности возможностей современного математического мышления. Во вторую очередь тому, кто его применяет. Научиться моделированию, ограничившись только формальным усвоением каких-то правил, по-видимому, невозможно. Не зря говорят об искусстве моделирования, также как об искусстве медицинской диагностики, игре на скрипке, рисовании. Но все же этому можно научиться, и основную роль в этом обучении играют показы - именно то, что я сделала, - и небольшое количество советов, которые следует осмыслить и умеренно им следовать. Они достаточно общие и не могут служить непосредственным указанием к действию, они лишь дают разумные подсказки, как и что следует делать. Я приведу самые главные.

1.  Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выводов.

2.  Модель должна быть простой, но не проще, чем это возможно,

3.  Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на решение.

4.  Модель должна быть грубой: малые поправки не должны кардинально менять ее поведение.

5.  Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.

      К этому хочется еще добавить, что, составляя математическую модель, желательно знать, что вы хотите от нее узнать и каковы основные факторы реальной системы, которые могут дать ответ.  Стимулом был вопрос: какие выводы можно сделать из того, что сердце подчиняется командам нервной системы и кормит себя само?

       Так что правила правилами, а жизнь многообразнее и необъятнее и, может быть, поэтому прекрасна. Конечно, не всегда при математическом моделировании нужно что-то изобретать: очень часто можно воспользоваться уже существующими типовыми простыми моделями и их сочетаниями. Хотя и это может оказаться не таким уж очевидным.

Список использованной литературы

1. Абакумов М.В., Ашметков И.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Методика математического моделирования сердечно - сосудистой системы // Математическое моделирование. - 2000. Т.12. №2. - с.106-117.

2. Бурыкин А. А.  Разработка методов компьютерного моделирования функциональных систем организма (на примере сердечно - сосудистой системы) Магистерская диссертация.  Москва: МФТИ (ГУ), 2000

3.  Кошелев В. Б., Мухин С. И., Соснин Н.В., Фаворский А. П. Математические модели квази - одномерной гемодинамики: Методическое пособие.- М.МАКС Пресс, 2010. – 114 с.

4.  Кроновский А.А., Трубецкой Д.И. Нелинейная динамика в действии. Саратов: Гос. учеб.- науч. центр "Колледж", 1995. 129 с.

5. Лищук В.А.  Математическая теория кровообращения. - М.: Медицина, 1991.-256 с.

6. Мосткова Е. В. Математическая модель сердца // Клиническая физиология кровообращения. — 2006. — № 4. — С. 26–33.

7.  Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Нижний Новгород: ННГУ, 1994. Вып. 1. 83 с; 1996. Вып. 2. 154 с.

Приложение 1.

График уравнения

Приложение 2.

Кардиоида – плоская кривая, описываемая произвольной точкой М окружности радиуса r, катящейся без проскальзывания извне по другой, неподвижной, окружности того же радиуса –  см. рис.

Кардиоида – частный случай эпициклоиды, одна из конхоид и улиток Паскаля.

Если над параболой выполнить преобразование инверсии с центром в фокусе параболы, то парабола перейдет в кардиоиду.

В прямоугольной декартовой системе координат кардиоиду можно задать уравнением
(x2 + y2 – 2rx)2 = 4r2(x2 + y2),

где r – радиус окружности.
Как видно из уравнения, она является алгебраической кривой четвертого порядка и  симметрична относительно оси абсцисс. Точка K(r; 0) – точка возврата первого рода. Длина l  дуги кардиоиды от точки K до точки М может быть вычислена по формуле
l = 16rsin2(φ/2),
a площадь, ограниченная кардиоидой, равна 6πr2.

Уравнение кардиоиды в полярных координатах (с полюсом на неподвижной окружности) имеет вид:
ρ = 2r(1 + cosφ).

Параметрические уравнения кардиоиды могут выглядеть так:
x = 2rcost – rcos2t;   y = 2rsint – rsin2t.

Название кардиоиды происходит от греческих слов χαρδια  – сердце, и ειδος – вид, вместе – сердцевидная.