Исследовательский проект "Признаки делимости"

        Муниципальное общеобразовательное учреждение

"СОШ п. Новопушкинское" Энгельсского муниципального района

Саратовской области

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

ПО МАТЕМАТИКЕ

"Признаки делимости

натуральных чисел"

Выполнила :ученица 7 класса

Ан Ирина.

Руководитель: учитель математики

Трунина Татьяна Николаевна

2018 год

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................3 стр.

1.Немного из истории..................................................................................4 стр.

        1.1.Леонардо Фибоначчи..................................................................4стр.

        1.2. Эратосфен....................................................................................5 стр.

        1.3. Пифагор........................................................................................5стр.

        1.4. Блез Паскаль................................................................................5 стр.

2.Признаки делимости................................................................................6 стр.

3.Заключение.............................................................................................10 стр.

Источники..................................................................................................11 стр.

ВВЕДЕНИЕ.

        На уроках математики мы часто встречаемся с задачами, в которых необходимо найти НОД или НОК двух натуральных чисел, сократить дробь, определить общий множитель и т.п. При делении натуральных чисел, мы можем допустить ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость заранее знать делиться ли одно число на другое

        Актуальность выбора темы: Именно с помощью признаков делимости  легко можно ответить на вопрос «Делится ли нацело число а  на число в?». Также признаки делимости помогают находить НОК (Наименьшее Общее Кратное) и НОД (Наибольший Общий Делитель).

        Объект исследования: делимость чисел..

        Основополагающий вопрос: Есть ли признаки делимости на другие числа, кроме как на 2, 3, 5, 9, 10?

           Цель проекта: Изучить дополнительные признаки делимости

           Задачи проекта: 1)повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, изучаемые в школе;

2)изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел;

3)систематизировать и обобщить  дополнительные признаки делимости натуральных чисел: на 4, 6, 7,  8,  11, 13, 15,  25, 50, 100, 1000, 19, 37.

Гипотеза Если есть признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа

Немного из истории.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи.

Леонардо Фибоначчи

При изучении темы: «Простые и составные числа» меня заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Эратосфен

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Пифагор

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: "Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число."

Блез Паскаль

Т.о., признаки делимости были известны с давних времен и интересовали математиков.

        Признаки делимости.

        Признак делимости на 2.

        Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными. Пример: делится ли на 2 число 216514?

Так как его последняя цифра делится на 2, т.е. это число чётное, то оно делится на 2.

        Признак делимости на 3.

        На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

пример:39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7

Например, число 4272 делится на 3, потому что 4 + 2 + 7 + 2 = 15, а 15 делится на 3. А число 18 454 не делится на 3, потому что 
1 + 8 + 4 + 5 + 4 = 22,  а 22 на 3 не делится.

        Признак делимости на 4. 

        Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.Также то число которое делится на 2 . если на 4 делится двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Например, число 565 724 делится на 4, потому что 24 делится на 4.

        Признак делимости на 5:

10 делится на 5.  Любое число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5, потому что мы можем представить его в виде суммы десяток.

Например: 40 делится на 5, потому что  40 = 10 + 10 + 10 + 10

        Многозначное число, которое не оканчивается на цифру 0, можно представить как сумму числа с последней цифрой 0 и единиц.

Например: 425 = 420 + 5, 428 = 420 +8

425 делится на 5, так как два слагаемых (420 и 5) делятся на 5

428 не делится на 5, потому что одно из слагаемых (8) не делится на 5

        Поэтому, делится ли многозначное число на 5, зависит только от цифр, из которых оно состоит. Если эти цифры - 5 или 0, то число делится на 5

Числа делятся на 5, когда их последняя цифра - 0 или 5

Примеры:

Числа 105,275,315,420,945,760 делятся на 5

Числа 151, 246, 879, 1404 не делятся на 5

        Признак делимости на 6. 

        Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Пример. Делится ли на 6 число 283902?

Так как 283902 четное число и делится на 3 (сумма его цифр равна 24), то это число делится на 6.

        Признак делимости на 7

        Число делится на 7 тогда, и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на число 7 .

Пример 1: 364 делится на 7, так как 36-(2 × 4) = 28 делится на 7.

Пример 2: 1029 делится на 7, так как 102-(2 × 9) = 102-18=84 делится на 7.

        Признак делимости на 8:

         Если число, составленное из трех последних цифр в записи целого числа a (в порядке их следования), делится на 8, то и число a делится на 8; если же это число, составленное из трех последних цифр, не делится на 8, то и число a не делится на 8.

        Из приведенной формулировки признака делимости на 8 понятно, что этот признак применяется лишь для четырехзначных, пятизначных и так далее чисел, причем этот признак сводит проверку делимости данного числа к проверке делимости соответствующего трех, двух или однозначного числа. А чтобы установить делимость на 8 однозначных, двузначных и трехзначных чисел, можно выполнить деление этих чисел на 8 непосредственно.

Пример. Делится ли число 58 296 на 8?

        Чтобы ответить на поставленный вопрос, воспользуемся признаком делимости на 8. Три последние цифры числа 58 296 дают число 296. Выясним, делится ли оно на 8, удобнее всего провести деление столбиком:

Итак, 296 делится на 8, следовательно, на 8 делится и исходное число 58 296.

Ответ:да.

        Отдельно следует остановиться на применении признака делимости на 8 в случаях, когда три последние цифры в записи числа дают, например, 024, 086, 002, 008. В этих случаях нужно отбросить нули слева, после чего проверять делимость на 8 полученных двузначных или однозначных чисел.

Пример.Используя признак делимости на 8, покажите, что число 920 072 делится на 8.

Решение.

        Три последние цифры исходного числа дают 072, им соответствует число 72. Из таблицы умножения мы знаем, что восемью девять равно семидесяти двум, следовательно, 72 делится на 8. Тогда признак делимости на 8 позволяет нам утверждать, что 920 072 делится на 8.

Ответ: да.

Пример.Какие из чисел −900 007, 21 008, −111 008 и 732 237 001 делятся на 8, а какие – нет?

Решение.

        Воспользуемся признаком делимости на 8. Посмотрим на три цифры справа у каждого из данных чисел: 007, 008, 008 и 001. Им соответствуют однозначные числа 7, 8, 8 и 1 соответственно. Из этих чисел 7 и 1 на 8 не делятся, поэтому −900 007 и 732 237 001 на 8 не делятся. А так как 8 делится на 8, то числа 21 008 и −111 008 делятся на 8.

Ответ:−900 007 и 732 237 001 на 8 не делятся, а 21 008 и −111 008 делятся на 8.

        Наконец, если справа в записи целого числа три цифры (или большее их количество) являются нулями, то такие числа делятся на 8. Например, числа 23 000, −980 000, 233 210 203 000 и т.п. делятся на 8.

        Признак делимости на 9:

        Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Примеры.Какие из чисел 5328, 74505, 24192, 42385, 71928 делятся на 9?

Решение:

        Чтобы узнать, какие из данных чисел делятся на 9, нужно применить признак делимости на 9.

Для этого найдем сумму цифр каждого из чисел.

1) 5+3+2+8=18

Так как 18 делится на 9, то и 5328 делится на 9.

2) 7+4+5+0+5=21

Так как 21 не делится на 9, то и 74505 не делится на 9.

3) 2+4+1+9+2=18

18 делится на 9, следовательно, число 24192 делится на 9.

4) 4+2+3+8+5=22

22 не делится на 9, поэтому 42385 на 9 не делится.

5) 7+1+9+2+8=27

27 делится на 9, 9начит, 71928 делится на 9.

Ответ: 5328, 24192, 71928.

        Признак делимости на 10. 

         Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Пример: делится ли на 10 число 7645300?

Так как это число оканчивается на ноль, то оно делится на 10.

         Признак делимости на 11. 

          На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Пример 1. Делится ли на 11 число 3528041?

3+2+0+1=6, 5+8+4=17, 17-6=11

Ответ: число 3528041 делится на 11.

Пример 2. Делится ли на 11 число 573287?

5+3+8=16, 7+2+7=16

Ответ: число 573287 делится на 11.

        Признак делимости чисел на 12.

          Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Пример: делится ли число 936 на 12 ?

Так как число 936 делится на 3 и на 4 значит число 936 делится на 12.

        Признак делимости чисел на 13.

        Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

 пример:  858 делится на 13 т. к. 85-9*8 = 13 делится на 13.

        Признак делимости чисел на 14.

         Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Пример: Делится ли на 14 число 448?

Число 448 делится на 14, так как оно делится на 2 и на 7 (четное и 44 - (2 × 8)= 44 -16=28- делится на 7)

        Признак делимости чисел на 15.

        Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Пример: делится ли на 15 число 18325?

Так как число 18325 делится на 3 и на 5, то оно делится на 15.

        Признак делимости на 17

        Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.

Пример: делится ли число 442 на 17?

442→44+2 × 12=68. Поскольку 68 делится на 17, то и 442 делится на 17.

        Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17

Пример: делится ли число 697 на 17?

697→69-7 × 5=69-35=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 697 делится на 17

        Признак делимости на 18

          Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 2.

Пример: делится ли на 18 число 1386 ?

Так как число 1386 делится на 2 и на 9, то оно делится 18.

        Признак делимости на 19

        Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19

Пример: делится ли на 19 число 646 ?

646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19.

        Признак делимости на 20

        Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Примеры: на 20 делится число 3240 и число 111160.

        Признак делимости чисел на 25

        На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25. пример:2 300; 650 ( 50 : 25 = 2);1 475 (75 : 25 = 3).

        Признак делимости на 100. 

         Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

        Признак делимости на 1000. 

        Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Заключение

        Работая с разными источниками, мы убедились в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел, что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Можно отметить, что формулировки некоторых признаков довольно сложные. Может, поэтому они не изучаются в школе.

Источники.

1.     Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.

http://ru.math.wikia.com

http://www.bymath.net

https://www.tutoronline.ru/blog/priznaki-delimosti

www.bymath.net/studyguide/ari/ari5.html