Исследовательский проект по геометрии "ГМТ в задачах на построение"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

"СОШ п. Новопушкинское" Энгельсского муниципального района

Саратовской области

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

ПО ГЕОМЕТРИИ

"Геометрическое место точек

 в задачах на построение"

Выполнили :ученики 7 класса

Кочанов Николай,

Непрокин Андрей.

Руководитель: учитель математики

Трунина Татьяна Николаевна

2018 год

        СОДЕРЖАНИЕ

Введение.........................................................................................................................3

I. Теоретическая часть проекта.....................................................................................4

        1.1 Многообразие геометрических мест точек..................................................4

        1.2 Основные построения циркулем и линейкой..............................................6

        1.3 Этапы решения задач на построение............................................................6

        1.4 Сущность метода геометрических мест, который используется

                при решении задач на построение.................................................................7

II. Практическая часть проекта. Задачи на построение..............................................7

III. Заключение..............................................................................................................11

Использованная литература..........................................................................................12

Введение

«Ум заключается не только в знании, но и в умении приложить знание на деле»

Аристотель

        Актуальность: В этом учебном году мы начали изучать предмет «Геометрия» и, по мнению многих наших одноклассников, он является одним из сложнейших школьных предметов. Мы так не считаем и хотим  разрушить стереотип, сложившийся у школьников.

        В пятом и шестом классах мы уже встречались с простейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки без делений: построение  треугольников  по трем элементам. В седьмом классе - задача усложнилась тем, что необходимо на плоскости найти точки, обладающие определенными свойствами. Так возникла тема исследовательского проекта  "Метод геометрических точек в задачах на построение".

        Целью которого стало: расширение знаний о применении геометрических мест точек в геометрии.

Актуальность данной работы определяется тем, что геометрическое место точек  - это геометрические понятия, знания которых имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет мне найти новые подходы к решению геометрических задач.

Объект исследования: Геометрические места точек.

Предмет исследования: применение геометрических мест точек в задачах на построение.

Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением наблюдения, рассуждения, доказательства и анализ фактов в ходе решения геометрических задач.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала при решении геометрических задач, при доказательстве некоторых положений.

I. Теоретическая часть проекта.

1.1 Многообразие геометрических мест точек.

        Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

        Любое множество точек - это геометрическая фигура.

        В разных источниках дается различные определения Геометрического места точек

        Геометрическое место точек (ГМТ) - фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

        Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, имеющих указанную свойство. Для нахождения геометрического места точек, имеющих определенное свойство, необходимо доказать, что:

Если точка принадлежит фигуре, то она должна данное свойство, и
если точка плоскости имеет данное свойство, то она принадлежит фигуре.
        Основными геометрическими местами являются:

1.Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра ( на рис. показана одна из этих точек – А ).

  Окружность

2. Круг — это геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на заданное расстояние.

3. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

4. Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину.

Расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

5.Геометрическим местом точек, удаленных от заданной прямой на заданное расстояние, есть две прямые, параллельные заданной прямой, находящиеся на указанном расстоянии от нее.

6.Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, прямая, параллельная заданной прямой, проходящей через середину их общего перпендикуляра.

7. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, - биссектрисы углов, образованных этими прямыми.

а

в

8.Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, - дуги двух окружностей одинакового радиуса, у которых этот отрезок является хордой.

                                      А

                                             С              

                                      В

9. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, окружность, у которой данный отрезок является диаметром.

1.2 Основные построения циркулем и линейкой

        В школьном курсе геометрии мы изучаем ряд простейших построений циркулем и линейкой без деления:

- построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой,

- деление отрезка на несколько равных частей,

- деление пополам данного угла,

- построение угла, равного данному, причем одна из сторон является данным лучом.

        На основе стандартных построений легко осуществляется  построение треугольников по трем элементам:

- трем сторонам;

- стороне и двум углам;

- двум сторонам и углу.

1.3 Этапы решения задач на построение

        Что такое задачи на построение? В задачах о построение идет речь о построение фигуры с помощью данных чертежных инструментов: циркуля и линейки.

         С помощью линейки как инструмента можно построить произвольную прямую; прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять нельзя, в частности, нельзя откладывать отрезки данной длины.

        Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

        Решить задачу на построение - это значит провести анализ будущей фигуры, т.е. решить задачу с конца; составить план (алгоритм) построения фигуры; реализовать план, выполним построение; доказать, что полученная фигура является искомой; исследовать количество решений данной задачи.

Каждый этап решения имеет свои цели.

1.Анализ. Цель анализа заключается в отыскании такой связи между элементами искомой фигуры и данными задачи, которая помогла бы построить искомую фигуру.

2.Построение. Эта часть решения заключается в указании последовательности главных операций, которые необходимо выполнить для построения искомой фигуры.

3.Доказательство. Этот этап решения ставит своей целью показать, что

построенная вышеуказанным способом фигура удовлетворяет всем имеющимся в задаче условиям.

4.Исследование. Исследование полученного решения должно установить количество удовлетворяющих условию задачи фигур, т.е. необходимо определить, сколько решений имеет задача. Кроме того, необходимо выяснить, не имеются ли такие случаи, могущие возникнуть при определенном расположении элементов, их величине и т.д., когда требуемые построения невозможны. Надо установить, существует ли в этих случаях решение, и найти его, если таковое будет.

1.4 Сущность метода геометрических мест, который используется

при решении задач на построение

        Сущность метода геометрических мест, который используется при решении задач на построение, заключается в следующем:

        Если нужно найти точку, удовлетворяющую двум условиям, то находим геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, а после этого геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию. Искомая точка является точкой пересечения этих геометрических мест точек.

             II. Практическая часть проекта. Задачи на построение.

        Задачи, рассматриваемые в курсе геометрии 7 класса:

Задача  1.Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом.

        Решение. Анализ: Дан угол А и луч ОК. Надо построить угол, равный углу А, одной из сторон которого является луч ОК.

                         В

                           С

        Проведём окружность произвольного радиуса  r с центром в точке А. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла А обозначим В и С. Тогда АВ = АС = r.

        Построение: Проведём окружность радиуса r с центром в точке О. Она пресекает луч ОК в точке М. Затем проведём окружность с центром в точке М и радиусом ВС. Пусть Е и F ─ точки пересечения окружностей с центрами О и М. Проведём лучи ОЕ и ОF.                                                                                                                            

        Доказательство :Покажем, что каждый из углов ЕОМ и FOM ─ искомый. Докажем, например, что ∠EOM = ∠BAC.

        Рассмотрим треугольники ABC и OEM Имеем: AB = OE= r = AC = OM. Кроме того, по построению EM= BC. Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠EOM = ∠BAC. Аналогично можно показать, что ∠BAC =∠FOM. 

        Исследование:  Мы построили два угла EOM и FOM удовлетворяющие условию задачи. Эти углы равны. В таких случаях считают, что задача на построение имеет одно решение.

        Задача 2.Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка.

        Решение. Анализ: Пусть AB ─ данный отрезок. Надо построить перпендикуляр, проходящий через середину отрезка.

        Построение: Проведём две окружности с центрами A и B и радиусом AB. Точки пересечения этих окружностей обозначим M и N. Проведём прямую MN.

        Доказательство: Из построения следует, что MA= MB = AB и NA =NB = AB. Следовательно, точки M и N принадлежат серединному перпендикуляру отрезка AB. Прямая MN и является серединным перпендикуляром отрезка AB.

        Исследование: Поскольку прямая MN пересекает отрезок AB в его середине, точке О, то тем самым решена задача.

        Задача 3. Даны прямая и не принадлежащая к ней точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

Решение. Пусть m ─ данная прямая, A─ не принадлежащая ей точка. Проведём окружность с центром в точке A так, чтобы она пересекла прямую m в двух точках. Обозначим эти точки M и N.

Поскольку AM = AN, то точка А принадлежит серединному перпендикуляру отрезка MN. Построив этот серединный перпендикуляр ( см. задачу 2), мы тем самым решим задачу.

Задача 4 .Даны прямая и принадлежащая ей точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

Решение. Пусть m ─ данная прямая, A ─ принадлежащая её точка. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке A. Она пересекает прямуюm в точках M и N.

        Поскольку AM = AN, то задача свелась к построению серединного перпендикуляра отрезка MN ( см. задачу 2).

        Задача 6. Постройте биссектрису данного угла.

Решение. Построение: Пусть A ─ данный угол. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке A. Эта окружность пересекает стороны угла в точках M и N. Тем же радиусом проведём окружности с центрами M и N. Эти окружности пересекаются в точках A и K. Проведём луч АК.

        Доказательство: Докажем, что луч АК ─ искомая биссектриса.

 Действительно, треугольники AMK и ANK равны по трём сторонам. Следовательно, ∠MAK = ∠NAK.

        Решим более сложную задачу.

        Задача 7. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание

Решение. Анализ.  Предположим, что задача решена, и построен равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, в котором угол  ВАС =a и высота BD = отрезку h.

        В равнобедренном треугольнике высота BD, проведенная к основанию, является медианой, поэтому AD = DC. Значит, сначала необходимо построить прямоугольный треугольник ABD. Для этого строим угол А, равный углу a , затем нужно найти точку В, лежащую на одной из сторон угла на расстоянии h от другой стороны. Точку В можно получить как пересечение стороны угла и прямой, параллельной другой стороне и проходящей от нее на расстоянии h.

Построение: Проводим прямую l, выбираем точку А, на луче AN откладываем угол 1, равный данному углу a.

        Через точку А проводим прямую, перпендикулярную прямой AN , и на построенной прямой откладываем отрезок АМ = h. Через точку М проводим прямую, параллельную прямой AN, точку ее пересечения со стороной угла обозначаем В. Из точки В опускаем перпендикуляр BD на прямую AN  и откладываем DC = DA. Соединяем В и С.

Доказательство: Треугольник АВС - искомый, т.к. он удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, по построению МВ || AD, поэтому  1 =  2; по построению АМ  AD, МВ || AD, следовательно, АМ  МВ. В прямоугольных треугольниках ABD и ВАМ общая гипотенуза АВ и равные углы 1 и 2, эти треугольники равны, значит BD = AM, т.е. BD = h. Далее, по построению DC = DA, поэтому  ABD =  СВD (по двум катетам), откуда следует, что  С =  А = a и BD = h.

Исследование: В равнобедренном треугольнике угол при основании острый, поэтому построение возможно, если заданный угол острый.

Построение единственно, т.к. точка В находится единственным образом. Задача имеет только одно решение.

Заключение.

        Работая над проектом мы приобрели новые знания в геометрии, увидели необходимость применения этих знаний при решении задач на построение, рассмотрели ряд простейших задач на построение, на основе которых можно решить более сложные задачи, используя геометрические места точек; научились извлекать нужную информацию в интернете, работать с литературой, создавать чертежи и построения. Надеемся, что эти навыки пригодятся нам в дальнейшем при работе над следующими проектами.

Список литературы:

1. Мерзляк А.Г. Геометрия: 7 класс учебник для учащихся общеобразовательных организаций.

2.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 классов.

3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии.

4. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.

http://двойкам-нет.рф

http://schools.keldysh.ru