Исследовательский проект по геометрии " Евклидова и неевклидова геометрия. Две геометрии - один мир"

Опубликовано Трунина Татьяна Николаевна вкл 29.01.2019 - 19:43

Автор:

Сидорова Анастасия, Карева Ксения

Скачать:

Вложение	Размер
dve_geometrii.docx	456.37 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа п. Новопушкинское»

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

ПО ГЕОМЕТРИИ

«ЕВКЛИДОВА И НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ.

ДВЕ ГЕОМЕТРИИ - ОДИН МИР»

Авторы проекта: ученицы 7 классов

Карева Ксения,

Сидорова Анастасия.

Руководитель проекта:

учитель математики

Трунина Татьяна Николаевна

2018

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение……………………………………….....................................стр.3

1. ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ…...................................................стр.4

2.НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ…...................................................стр.6

3.СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГЕОМЕТРИЙ............................................….стр.7

4.ВЫВОДЫ.........................................................................................…..стр.8

5.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПРОЕКТА............................................стр.9

5.ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................….стр.10

Список литературы................................................................................стр.11

Введение

Изучая геометрию Евклида в школе, всегда возникал вопрос, существует ли другая геометрия? Рассматривая этот вопрос, мы узнали, что

любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая. Мы всегда находим этому подтверждения в примерах из истории. Так химия выросла из алхимии, а квантовой физике предшествовала физика Ньютона. Геометрия не исключение, что нас и заинтересовало.

Мы выдвинули гипотезу, что существует ли неевклидова геометрия и ее отличия от школьной. Нам стала интересна ее история возникновения.

Актуальность исследования состоит в том, что новые результаты чаще всего появляются благодаря поиску аналогий различных утверждений. Зачастую аналог даже элементарной задачи геометрии Евклида оказывается далеко нетривиальным в неевклидовой геометрии. В то же время получаемые результаты оказываются красивыми и интересными.

Мы поставили перед собой цель: узнать о существовании других теорий геометрий, провести параллель между геометрией древнегреческого математика Евклида и русского математика Лобачевского.

Объект нашего исследования стали теоремы, аксиомы и чертежи. В то же время, неевклидова геометрия является важной частью математики и активно используется в самых разных ее областях.

Задача: изучить литературу и интернет ресурсы по данной теме, рассмотреть различие между геометрией Евклида и Лобачевского, научиться изображать на плоскости Римана треугольники, параллельные прямые и перпендикулярные прямые.

Методы исследования:

теоретические: метод сравнительно-исторического анализа литературы, восхождение от абстрактного к конкретному;

математические: статистические методы, метод визуализации данных, метод оценивания и сравнения.

Проблемы исследования: Почему возникла неевклидова геометрия? Реальна ли неевклидова геометрия в смысле соответствия физическому пространству? Существует ли поверхность, на которой справедлива эта геометрия? В чём заключаются различия двух геометрий?

Главная идея этой работы – найти сходство и различия двух геометрий, убедиться в непротиворечивости неевклидовой геометрии.

1. ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Немного истории:

Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвлений математики, получившим название «Евклидова геометрия». Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду. В школах всего мира, долгие столетия геометрия преподавалась по «Началам» Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат к числу самых популярных и распространенных математических трудов.

На протяжении около двух тысячелетий этот труд остаётся основой систематического курса геометрии. Царь Птолемей спросил у Евклида ,нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии,чем его «Начала». Евклид на это ответил : «В геометрии нет царского пути». Книга Евклида начинается с определений, затем следуют постулаты и аксиомы.

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами

Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.

Основные постулаты Евклида:
1.Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;

I постулат. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2.Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;

II постулат.И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.
3.Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;

III постулат. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.
4.Все прямые углы равны;

IV постулат. И чтобы все прямые углы были равны.
5.Через точку не лежащую на данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов.

Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

На базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные. Многие геометры пытались обойти его, заменяя пятый постулат другим, казавшимся более очевидным. На этом пути было сформулировано много положений, но все они были эквивалентны пятому постулату Евклида.

Например:
сумма углов треугольника равна 180°,
во всех треугольниках сумма углов одна и та же,
через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла,
существуют два подобных, но не равных треугольника,
теорема Пифагора,
для всякого треугольника существует описанная окружность и др.

Именно геометрию Евклида мы изучаем до сих пор, но мы решили пойти дальше и узнали о «другой» геометрии ,которую открыл Н. И. Лобачевский.

Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

2. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Николай Иванович Лобачевский-русский математик, создатель неевклидовой геометрии ,деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии». Открытие Лобачевского,не получившее признание современников ,совершило переворот в представление о природе пространства, в основе которой более 2 тысяч лет лежало учение Евклида , и оказало огромное влияние на развитие математического мышления.

Деятельность Лобачевского вызывает изумление. Наряду с большой административной и педагогической работой он, не покладая рук, занимался и наукой. Лобачевскому было всего 34 года, когда он решил «многовековую» проблему V постулата из «Начал» Евклида и построил свою, неевклидовугеометрию.Анализируя попытки доказать V постулат, Лобачевский сделал чрезвычайно смелый вывод о его недоказуемости. Раз V постулат недоказуем как теорема, то принципиально возможна другая геометрия, отличная от евклидовой,- неевклидова геометрия, отправной точкой которой является отрицание V постулата.

Ученого высмеяли как человека, сумасбродного в науке, который написал сатиру на геометрию, пытаясь доказать, что белое - это чёрное, круглое – четырёхугольное, что сумма всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых и ряд других нелепостей .Приходится удивляться мужеству Лобачевского, который без моральной поддержки со стороны, окружённый непроницаемой стеной равнодушия, не пал духом и пронес свои убеждения через всю многотрудную жизнь.

24 февраля 1856 года Лобачевского не стало. Какого-нибудь десятка лет не дожил он до всеобщего признания своих идей.Развитию и распространению идей Лобачевского содействовали своими трудами такие замечательные учёные,как: Карл Гаусс, Бернхард Риман.

Как представить себе геометрию Лобачевского?

Геометрические фигуры можно рисовать не только на плоскости, но и на любой поверхности. Роль прямых тогда играют геодезические линии — кратчайшие кривые, соединяющие две точки. Понятно, что геометрия на любой криволинейной поверхности отличается от геометрии Евклида. Если, скажем, на сфере нарисовать прямые и треугольник, две стороны которого — отрезки двух меридианов, сходящихся в одной точке, а третья сторона — широта, то понятно, что сумма углов в таком криволинейном треугольнике будет меньше 180° (рис.1 и 2)

$G:\геометрия\chr7.png$ $G:\геометрия\images.png$

Рис. 113. 'Прямые линии' в геометрии Римана

3.Сравнение двух геометрий.

«Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?»
Евклидова аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Аксиома Лобачевского о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Вывод: геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.

Мы провели сравнительный анализ евклидовой и неевклидовой геометрий, и вот какие результаты мы получили:

Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.

Две геометрии – один мир.

	Геометрия Евклида на плоскости	Геометрия Лобачевского в пространстве
Модель планиметрии	плоскость	Гиперболическая плоскость
Кривизна	Кривизна = 0	Кривизна< 0
Аксиома о параллельных прямых (Пятый постулат)	Через точку А, не лежащую на данной прямой с, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не ∩ её	Через точку А, не лежащую на данной прямой с, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не ∩ её
Расположение прямых на плоскости	2 случая взаимного расположения прямых на плоскости: прямые, пересекаются, параллельны.	3 случая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.
Подобные треугольники	В геометрии Евклида есть три признака подобия треугольников.	В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников.
Признаки равенства треугольников	существует всего 3 признака равенства треугольников	имеет место и 4 признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны
Сумма углов треугольника	сумма внутренних углов треугольника равна 180 °	Сумма углов треугольника не равна 180о.

4.Вывод работы

1.Геометрия Евклида работает на маленькой поверхности, а геометрия Лобачевского на развернутой плоскости с учетом кривизны поверхности.
2. Треугольники геометрии Евклида мы встречаем в учебниках , в науках , а треугольники Лобачевского мы можем увидеть в окружающем мире.
3.Геометрия Лобачевского (в том числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).

4.Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

4.Практическая часть проекта

Для наглядности из всех неевклидовых геометрий мы выбрали геометрию Римана-это сферическая геометрия,так как на сфере можно наглядно изобразить треугольники, пересекающиеся прямые, перпендикулярные прямые, параллельные прямые и т.д.

$G:\фото для проекта\ре.jpg$ $G:\фото для проекта\IMG_20180207_092000.jpg$

$G:\фото для проекта\IMG_20180207_092130.jpg$ $G:\фото для проекта\IMG_20180207_092008.jpg$

$G:\фото для проекта\IMG_20180207_092144.jpg$ $G:\фото для проекта\IMG_20180207_092005.jpg$

5.Заключение исследовательской работы

Данная исследовательская работы нас заинтересовала . В ходе работы мы узнали исторические сведения о математике и учёных, развивавших математику, освоила новые программы в компьютере .Не стоит забывать, что в работе важно всё: от выбора шрифта и фона в презентации до составления плана работы, поиска информации.В нашей исследовательской работе цель была достигнута, так как были решены все поставленные задачи. В описании данной работы мы выяснили различия геометрии двух величайших математиков. Содержащиеся в работе сведения, дают нам возможность для рассмотрения ее в дальнейшем ее практического применения. Исследование расширило наши знания о нескольких математиках, а также в корне изменило наше мнение относительно геометрии, изучаемой в школе