Исследовательская работа по теме: "10 способов решения квадратных уравнений"

Слайд 1

Слайд 2

Содержание

Слайд 3

Введение

Слайд 9

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Слайд 21

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0, уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней. Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

Слайд 23

а ) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны. Например, x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 > 0.

Слайд 24

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 . Например, x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 < 0 и p = 4 > 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Слайд 25

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

Слайд 32

Примеры. 1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.

Слайд 33

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 - 2х + 1 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х - 1. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 1. Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1) и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

Слайд 34

3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

Слайд 35

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Слайд 38

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.

Слайд 39

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Слайд 43

Примеры. 1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

Слайд 44

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 - 9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5. 3) Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

Слайд 50

Заключение Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.