Исследовательская работа Тема: «Устный и быстрый счет»

Районная конференция                                                                                       учебно- исследовательских и проектных работ  учащихся школ Атюрьевского муниципального района « Шаг в будущее»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Кишалинская средняя общеобразовательная школа»                         Атюрьевского района Республики Мордовия

Исследовательская работа

Тема: «Устный и быстрый счет»

Направление: Физико-математическое

Автор:

Автайкина Лена

ученица 7 класса

 Руководитель:

Асессорова Е.М.

учитель математики

Кишалы, 2018

План

Введение…………………………………………………………………………...

Теоретическая часть………………………………………………………………

1.1. Ментальная арифметика…………………………………………..

1.2. Люди – феномены быстрого счёта ………………………………..…

1.3. «Система быстрого счёта» Я.Трахтенберг - история…………...

Практическая часть……………………………………………………...……

Выводы…………………………………………...……………………..……

Информационные источники

Математике должно учить в школе еще

 с той целью, чтобы познания, здесь

приобретаемые,  были достаточными

 для обыкновенных потребностей в жизни.

/Н.И. Лобачевский/

Введение 

Ну-ка в сторону карандаши!  

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.  

Устный счёт! Мы творим это дело  

Только силой ума и души.  

Числа сходятся где-то во тьме,  

И глаза начинают светиться,  

И кругом только умные лица,  

                   Потому что считаем в уме.     (В. Берестов)

  В жизни бывают ситуации, когда необходимо произвести расчеты, не имея под рукой калькулятора или даже ручки с бумагой. А иногда на это просто отводится мало времени. Определённые приёмы быстрого счёта, предложенные на уроках, мне давались легко, но чем дальше мы познаём математику, тем больше мне хочется узнать о том, как можно еще использовать быстрый счёт на более сложных числах. Я задумалась о способах  устного счета после просмотра некоторых телепередач. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Смотрела, удивлялась и не верила, что такое возможно.                                                                                                  

   11-летний Али Байжигит из Алматы стал участником новой телевизионной программы «Первого канала», в которой главными героями являются дети с особыми талантами.  Ведущий передачи - известный шоумен Максим Галкин назвал юного алматинца величайшим вычислителем и сравнил скорость, с которой решает примеры мальчик, со скоростью суперкомпьютера. А навыки математика оценил, как очень полезными, особенно при посещении магазинов. В качестве испытания Али было предложено сложить калории продуктов, которые сменялись на экране. Ведущий пытался проверить способности мальчика с помощью калькулятора, но малыш намного опередил его, выдав результат почти молниеносно. По признанию юного математика, в будущем он хочет поступить в Массачусетский технологический университет.

 10-летний Ильяс Тохтархан из Астаны, которого прозвали "мальчиком-калькулятором", поразил жюри и зрителей российского телешоу "Удивительные люди" своими математическими способностями. Юный гений продемонстрировал свои таланты в ментальной арифметике в эфире телеканала "Россия-1".

Ведущий предложил Ильясу несколько примеров, которые он быстро и успешно решил. В частности, маленький астанчанин выполнил задание на сложение больших групп двузначных, а затем трехзначных чисел, и вычисление разницы квадратов двузначных чисел. На выполнение каждого задания у мальчика ушли считанные секунды.

  На этом же шоу я увидела Викторию Алиеву, пятилетнюю девочку, которая может складывать и вычитать многозначные числа (до триллионов) на счётах в примерах из 10 компонентов со скоростью, которой бы могли позавидовать и преподаватели ментальной арифметики.
 На счётах она молниеносно умножает многозначное на однозначное. Приступает к изучению деления. Работая на Анзане (устный счёт, все правила), Вика складывает мелькающие однозначные числа со скорость 0,1 секунды, двухзначные числа — со скоростью 0,3 секунды, и при этом может ещё читать стихи или петь песенку; складывает трёхзначные числа со скоростью 0,75 секунды.

Также Вика в доли секунды умножает устно двух- и трёхзначные числа на однозначное число, получая ответ в тысячах. Просто поразительный результат для пятилетней девочки, ещё год назад считавшей лишь до 10.

 Я задалась вопросом, смогу ли я научиться,  также быстро считать в уме и какие способы устного счета для этого существуют.

Я поставила перед собой цель: Найти и освоить некоторые методы и приёмы быстрого счёта и возможности их  использования  на уроках математики.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Используя эти способы в жизни, мы сможем быстро считать в уме, а также повысим свою успеваемость, как на математике, так и на других уроках. Это особенно актуально, т.к. на ОГЭ и ЕГЭ по математике использование калькулятора запрещено, а время на решение ограниченно.

Для получения эффективных результатов, я выдвинула следующие задачи: рассмотреть некоторые приемы быстрого умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения?  Устный счет - это может быть легко, быстро и интересно?

1.Теоретическая часть

1.1 Ментальная арифметика.

   Ментальная арифметика – оригинальная методика, которая расширяет у ребенка интеллектуальные возможности, базирующаяся по системе устного счета. Новаторская методика была придумана турком Шеном. В основу ее положен древний абакус – счеты, придуманные в Китае еще пять тысячелетий назад. Позже японцами они были не раз усовершенствованы, и сегодня мы пользуемся технической доработкой абакуса – калькулятором. Однако устройство древних счетов, по мнению экспертов, оказалось более полезным для детей. Их использование в образовательном процессе и способствовало формированию новой программы, которая получила название «ментальная арифметика», или «менар». Впервые она была запущена в 1993 году в Азии. В настоящее время действует около пяти тысяч образовательных центров в 50 странах, которые обучают устному счету. Наиболее активными в этом плане являются школы США, Австрии, Канады, Австралии, Таиланда, Китая и Ближнего Востока. Открываются специализированные центры в России, Казахстане и в Киргизии. Так, уже высоких результатов и оценок родителей достигла ментальная арифметика в Астане и Москве. Известно, что у человека правое полушарие мозга отвечает за творчество, восприятие и создание образов, а левое – за логику. Работая левой рукой, мы «включаем» правое полушарие, правой рукой – левое. Синхронная работа обоих полушарий дает огромный потенциал для развития ребенка. А задачей ментальной арифметики является задействовать весь мозг в образовательном процессе. Это осуществляется благодаря выполнению операций на счетах обеими руками. Ментальная арифметика не только помогает освоить навыки быстрого вычисления, но и способствует развитию аналитических способностей. Если современные калькуляторы расслабляют умственные процессы, то абакус, наоборот, тренирует и совершенствует их.

1.2  Люди – феномены быстрого счёта

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие ученые, в частности Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными – Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врожденных способностях, другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных «феноменальных» способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приемами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т.п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжелых случаях – и к шизофрении). С другой стороны и одаренные люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одаренности и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник, уроженец Алтайского края Юрий Горный.

1.3 «Система быстрого счёта» Я.Трахтенберг-история.

«Не знающие  пусть научатся,

а знающие  вспомнят еще раз»

(Яков Трахтенберг.)

Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счёта создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом.  Она известна под названием «Система быстрого счёта».

Настоящая книга представляет собой первое печатное изложение «системы быстрого счета» — совокупности методов быстрых и рациональных вычислений, разработанных покойным руководителем Цюрихского математического института профессором Яковом Трахтенбергом. (В тех немногих случаях, когда в изложение системы Трахтенберга мы сочли целесообразным включить некоторые известные ранее приемы, это обстоятельство каждый раз специально оговаривается.)

Профессор Трахтенберг был человеком замечательным и многогранно одаренным. Родился он в Одессе в 1888 г. По образованию— инженер (окончив с отличием Петербургский горный институт, он был главным инженером Обуховского судостроительного завода). Убежденный пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России, и в Германии, где он жил с 1919 г., а затем в Австрии, куда он бежал после прихода к власти Гитлера. Интересы его были чрезвычайно разнообразны. Так, ему принадлежит оригинальный метод преподавания иностранных языков, нашедший признание и широкое распространение в Германии.

После аншлюса (А́ншлюс (нем. Anschluss — «присоединение», «союз») — включение Австрии в состав Германии, состоявшееся 12—13 марта 1938 года..) для Трахтенберга наступил семилетний период пребывания в тюрьмах и лагерях. Он был арестован фашистами и заключен в концентрационный лагерь. С помощью жены ему удалось бежать в Югославию. Но гестаповцы вскоре настигли его и там. Находясь в страшных, нечеловеческих условиях, Трахтенберг, стремясь сохранить здоровый дух и психику, всецело ушел в замкнутый мир чисел. «Система быстрого счета» — плод его размышлений за эти страшные годы.

Когда в 1944 г. стало известно о его предстоящей казни, его верный друг — жена сумела еще раз спасти его. Она добилась перевода мужа в Лейпциг и там снова организовала побег. И хотя вскоре он был снова арестован и отправлен на каменоломню в Триест, самое тяжелое осталось позади. Последний побег — и супруги Трахтенберг в Швейцарии.

В конце 40-х годов Трахтенберг организовал в Цюрихе свой Математический институт — единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительны.

Суть приемов, разработанных профессором Трахтенбергом, очень проста. Но конечно, как на всякое новое дело, на усвоение их (особенно когда речь идет о взрослых людях, которым приходится, переучиваясь, отказываться от прежних привычек) требуется и время, и известное напряжение.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае, по части математики), превосходно, быстро и надежно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей (как, впрочем, и у всех учеников Трахтенберга) увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приемов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще.

Система Трахтенберга уже оказала свое влияние не только на школьное преподавание, но и на практику банковских расчетов, причем не только в Швейцарии. Специалисты предсказывают ей большую будущность. Содержание книги

Глава 1. Нужна ли таблица умножения?

Глава 2. Быстрое умножение прямым методом

Глава 3. Быстрое умножение — метод «двух пальцев»

Глава 4. Сложение. Правильность ответа

Глава 5. Деление. Быстрота и точность

Глава 6. Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Глава 7. Алгебраическое обоснование метода

Я решила изучить подробнее  систему Трахтенберга и рассмотреть для начала первую главу, после чего провели с друзьями эксперименты и записали выводы.

Практическая часть

1 эксперимент

Чтобы умножить число на 5 (50, 500). Алгоритм прост. Нужно разделить данное число на 2, а затем умножить на 10 (100, 1000).

42 ∙ 5 = (42:2) ∙ 10 =210

2 эксперимент.

Возведение в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу дописываем 25.

35 ∙ 35 = (3∙4)25=1225

3 эксперимент

Чтобы умножить числа близкие к 100

1) найди недостатки сомножителей до сотни  (в кружочках);

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни.

4 эксперимент

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297;

62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682.

5 эксперимент

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946. 

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 946.

6 эксперимент

Умножение на 11 трехзначного числа.

Разберем на примере: 633 умножить на 11.

Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата    633*11                3

Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.                   633*11      63

Применим правило еще раз: 6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате: 633*11       963

Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:

633*11=6(6+3)(3+3)3=6963

Ответ: 6963.

7 эксперимент

 Умножение на 22,33,…,99

Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715;

24 х 99 = 24 х 9 х 11 = 216 х 11 = 2376.

8 эксперимент

Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 42 на 111111 цифры 4 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов – 5)

Если единиц 6, то шагов будет на1 меньше, то есть 5.

Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

Проводя данные эксперименты, мы сначала решали по 5 примеров новым способом, потом 5 - старым (столбиком). Все пришли к одному выводу, что данные способы  интересны, просты, полезны, что такими способами вычислять легко. По результатам экспериментов построили диаграмму сравнительного анализа .

Вывод.

Моя гипотеза оказалась подтверждена: Устный счет может быть легок, а главное  интересен! С помощью приемов быстрого устного счета можно улучшить вычислительные навыки и развить их может каждый человек, независимо от его математических способностей. Данные эксперименты помогли мне лучше разобраться в новых способах быстрого счета и очень заинтересовали меня и моих друзей. Благодаря новым способам, многие из нас стали быстрее вычислять. У каждого возникло желание изучить еще больше способов для быстрого счета. И все сошлись на одном: «Устный счет - это легко и интересно».

Информационные источники:

1. Э.Катлер,Р. Мак-Шейн Система быстрого счета по Трахтенбергу,1967

2. Я. И. Перельман Быстрый счет. 30 простых приемов устного счета

3. Малсан Би «Ментальная арифметика для всех».