Уникурсальные звезды в математике и магии

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №93

 с углубленным изучением отдельных предметов»

__________________________________________________________________

Исследовательская работа
Уникурсальные звезды в математике и магии

Математика

                                                                Автор работы: Крюкова Анна,

                                                                                            ученица 9 «Г» класса

                                                                Учитель: Ковалева Татьяна Михайловна

Кемерово -  2018

Содержание

Введение…………………………………………………………….стр.2

Понятие уникурсальных фигур……………………………………стр.3

Топология……………………………………….…………………..стр.5

Пути Эйлера….……………………………………………………...стр.6

Функция Эйлера для подсчёта количества форм звёзд…………..стр.8

Звёзды тайных знаний и мировой гармонии……………………...стр.10

Заключение……………………………………….………………....стр.15

Список литературы………………………………………………....стр.16

Введение

    Актуальность темы:  Математика (геометрия) тесно связана с разными науками, в том числе с магией.

    Цель исследования:

Изучение элементов теории графов, возможных форм и способов построения уникурсальных звезд.  Выявление связи математики и тайных знаний о звездах.

    Гипотеза:

Уникурсальные звезды, являются идеальным решением задач в математике, возможность построения разными способами звезд с любым количеством вершин и связь с магическими символами.

    Цель проекта:  

 На основе изучения элементов теории графов рассмотреть и найти возможные формы и способы построения уникурсальных звезд.

    Задачи исследования:

• Изучить историю возникновения теории графов. Рассмотреть элементы теории графов.
• Рассмотреть возможные формы и способы построения уникурсальных звезд с применением функции Эйлера.
• Разработать алгоритм построения уникурсальных звезд.
• Изучение множества геометрических символов и уникурсальных звезд в магии.

     Объект исследования:

Уникурсальные звёзды, функция Эйлера, магические символы.

Понятие уникурсальных фигур

    Известна притча:

    Некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру. Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалось, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком, т. е.  не отнимая пера или карандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии.  По раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.

Рисунок 1 (фигура вычерчена одним непрерывным росчерком)

      Надежда стать «миллионером», решив «такую легкую» задачу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним росчерком.

      Задача, однако, не решается, и это тем досаднее, что она не решается только «чуть-чуть». Никак не удается провести только одной «последней» какой-либо линии.

       Многое в магии связано с математикой. Эта точная наука - математика является одним эзотерическим ключом из семи.

        В этом смысле она использовалась в Греции, Египте и Древней Индии. Кроме того, в наши дни -  это технологический фундамент и основа научных представлений о мире.

        Управление городских железных дорог намерено по-новому перегруппировать маршруты, которыми оно обслуживает свою трамвайную сеть. Оно предполагает распределить эти маршруты таким образом, чтобы каждая линия обслуживалась впредь лишь одним-единственным маршрутом; при этом пассажир получает право с одним и тем же билетом менять маршруты и делать столько пересадок, сколько ему нужно, чтобы достигнуть места своего назначения. Задача   заключается   в   том, чтобы определить наименьшее число маршрутов, необходимое для полного проведения в жизнь этого принципа. 

         Леонид Эйлер придумал геометрическую модель к задаче о путешествии по мостам г. Кенигсберга.

          На модели земельные участки, (рис.2) разъединенные рукавами реки, как бы сжаты в точки А, В, С, D - назовём их узлами, а мосты как бы вытянуты в линии a, b, c, d, e, f, g - назовём их ветвями, соединяющими 2 последовательных узла.

         Узел назовём чётным, если в нём сходится чётное число концов ветвей, и нечётным, если в нём сходится нечётное число концов ветвей.

Образовавшаяся фигура называется сетью.

Рисунок 2 (геометрическая модель к задаче)

Топология

       Исследование Эйлера положило начало новой отрасли математической науки – топологии, одним из разделов которой является теория графов. 

                  Леонард Эйлер и его вклад в развитие топологии

      Топология - одна из математических наук, возникшая во второй половине XIX в.. Она изучает те свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью поня​тия непрерывности.

     Сама топология, можно сказать, началась с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его Лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту.

       Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади.

        А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности».

Пути Эйлера

    Занимаясь сетями, Эйлер не только разработал условия уникурсального обхода, но и открыл красивое их свойство, доказав такую изящную теорему:

    Пусть на плоскости задана замкнутая сеть, состоящая из m узлов и n ветвей, каждая из которых соединяет какие - либо 2 узла, и пусть эти ветви делят плоскость на l областей , включая область , находящуюся вне сети , тогда m – n + l = 2. 

Рисунок 3 ( замкнутая сеть)

      Задача состоит в том, чтобы выяснить условия, при которых можно обвести карандашом контур заданной сети, не отрывая карандаш от бумаги и проходя по каждой ветви один и только один раз.

     Если возможен обход всей сети одним маршрутом, то она называется уникурсальной сетью, а маршрут – уникурсальным обходом. Примером такого обхода мы можем рассмотреть в задаче о мостах Санкт-Петербурга (считая узлами -  точки пересечения линии на рисунке 4)

Рисунок 4 (задача о мостах)

       Граф – это набор точек, некоторые из которых соединены линиями.

   Леонард Эйлер (1707–1783)  показал, что граф можно обойти, пройдя по каждому ребру только один раз, в том случае, если у него нечетных вершин 0 или 2.

      Если фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды, такая фигура называется уникурсальной.

      Уникурсальные пути в графе (не обязательно весь граф, может быть только его часть) называются Эйлеровыми путями.

Рисунок 5 (Эйлеровы пути)

    Замечательно, что формула остаётся верной, если от двухмерных фигур перейти к трёхмерным. Так, для любого выпуклого многогранника

В – Р + Г=2.

где В - число вершин, Р - число рёбер, Г - число граней

Я проверила формулу Эйлера на кубе, пирамиде, октаэдре:

8 – 12 + 6 = 2

4 – 4 + 2 = 2

6 – 12 + 8 = 2

Рисунок 6 (куб, пирамида, октаэдр)

Функция Эйлера для подсчета количества форм звезд

      Мы займемся звездами – фигурами, полученными последовательным соединением точек, количеством более двух, расположенных в определенном порядке, например, на окружности.

Простой пример – пятиконечная звезда.

Рисунок 7 (пятиконечная звезда)

     Сколько существует различных звезд? Шаг построения h определяет одну звезду, значит, число различных звезд зависит от количества различных шагов. Наша задача определить такие шаги, тем самым найдя количество форм звезд. Для этих целей можно применить функцию Эйлера, так как шаг должен быть взаимно простым с числом вершин n.

    Рассмотрим множество целых чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n. Количество этих чисел обозначается φ(n) и называется функцией Эйлера.

     Если p – простое число, φ(p)= p-1,так как все числа меньшие p взаимно просты с p.

    Пусть  n = pk, то каждое p-ое число не взаимно просто с pk. Поэтому

 φ(pk) = pk - pk/ p= pk -pk-1.

Воспользуемся свойством φ(mn) =φ(m)φ(n), где m и n – взаимно простые числа, и получим функцию Эйлера в общем виде.

      Функция Эйлера определяет количество натуральных чисел, меньших   и взаимно простых с ним и принимает вид:

 , где .

При этом полагают, что число 1 взаимно просто со всеми натуральными числами и .

1. Если количество вершин  - составное число, то его можно разложить на простые в соответствии с основной теоремой арифметики:

 и с помощью функции  Эйлера находим количество

взаимно простых чисел с n:

Далее делим на 2, т.к. шаг построения должен быть меньше половины n.

Общий ответ: всего существует  звезд с  вершинами.

Пример, если , то . Поэтому

.

Следовательно, если n=360, то можно построить 96:2=48 различных звезд.        

2. Если количество вершин простое , то

функция Эйлера принимает вид:

 Тогда существует ровно  геометрически различных звезд (форм такой звезды). Любое число  будет взаимно простым с, а поэтому может быть использовано в качестве шага построения.

Пример.  Для  существует  = 5 пять различных звезд.

3. Если , то есть количество вершин – степень простого числа, то согласно функции Эйлера существует ровно  звезд. Здесь  = - функция Эйлера, равная количеству взаимно простых с  и не превосходящих .

Например, если n=25=52. Поэтому .

Следовательно, звезд с 25 вершинами существует 20:2=10.

Для определения шагов построения звёзд можно выписать все натуральные числа, меньшие , затем оставить взаимно-простые числа с n. Оставшиеся числа показывают возможные шаги построения звезд.

Пример.  Найдем шаги построения звезды с 18 вершинами.

Выпишем все числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Зачеркнем числа: 2, 3, 4, 6, 8.

 Осталось три числа: 1, 5 и 7, значит,

восемнадцатиконечную звезду можно построить с полученными шагами и получить звезды (18,1), (18,5), (18,7).

4. Алгоритм построения

  Для примера построим звезду .

  Выпишем последовательность из 18 чисел, начиная с нуля и с шагом 5.

  Получаем: .

  Заменим каждое число остатком от деления на 18:

.

   Получаем последовательность.

   Соединяем вершины в указанной последовательности.

Рис.11

В общем виде. Пусть нужно построить звезду с  лучами (-конечную звезду) с шагом . Выпишем последовательность из  чисел, начиная с нуля и с шагом:

Затем каждое число заменим остатком от его деления на .

Полученная последовательность остатков и даст последовательность соединения вершин.

Звёзды тайных знаний и мировой гармонии

      Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как он её называл, гигиея (ύγιεια) (в честь греческой богини здоровья Гигиеи) представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). 

      Если разделить длину любого цветного сегмента пентакла на длину самого длинного из оставшихся меньших сегментов, то будет получено золотое сечение, которое в свою очередь пересекает параллельно направленную нить (φ).

рисунок.8

   При переходе к гексаграмме ситуация становится более интересной. Эта фигура довольно древняя. Когда-то она называлась гексаграмма (hexagram), соломонова печать и звезда Давида.

4+6+7+9=26 
4+8+12+2=26
9+5+10+2=26
11+6+8+1=26
11+7+5+3=26
1 + 12 + 10 + 3 =26

Рисунок 9

    Поскольку линий теперь шесть и каждую пару линий объединяет одна общая вершина, а также с учетом того, что числа от 1 до 12 дают в сумме 78, мы получаем магическую константу, равную (2х78)/6, или 26.

 Как показывает иллюстрация, магический граф гексаграммы существует.

     Задача подсчета всех возможных магических гексаграмм без учета поворотов и отражений не является тривиальной.

Рисунок 10

   Один из способов получения новой гексаграммы состоит в том, чтобы преобразовать гексаграмму в дуальный граф.

     Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рисунке, обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму цифры на линиях которого сходящиеся в вершинах, соответствуют рядам магической гексаграммы.

     Теперь становится очевидным, что этот граф топологически эквивалентен скелету октаэдра (справа), одного из пяти тел Платона. Этот восьмигранник (октаэдр) мы можем произвольным образом повернуть, а также зеркально отразить.

      Затем соответствующим образом перенесем цифры обратно на гексаграмму (картирование ребер происходит в соответствии с начальной нумерацией).   Таким образом, мы получаем новое расположение цифр на гексаграмме. Для получения дополнительных решений можно обратиться и к другим преобразованиям гексаграммы, не связанным с вращением или отражением октаэдра.

       Кроме того, магическая звезда имеет своеобразное «дополнение», которое можно септаграмма получить, заменив каждое число на его разность с (n+1), где n — наибольшее из чисел. Итак, для гексаграммы существует 80 различных решений, 12 из которых обладают тем свойством, что сумма внешних вершин дает магическую постоянную. Можно ли в септаграмме или семиконечной звезде разместить числа от 1 до 14, чтобы эта звезда стала магической?

   Да, самым элементарным способом можно найти одно из его 72 решений. Его магическая постоянная равна (2х105)/7  или 30.  Рисунок 11.

     Лучший способ решить эту задачу — это нарисовать звезду крупным планом, а цифры записать на вырезанных кружочках. Перемещая кружочки, можно методом проб и ошибок найти решение. Скажу сразу, что этот процесс захватывающий и вам трудно будет остановиться, пока вы не получите решения.   Октаграмма имеет 112 решений.

     Магические знаки и символы – это рисунки и чертежи, пришедшие к нам от старшего поколения. Такие знаки наносятся на защитные талисманы, на предметы, которые постоянно находятся под рукой. Составляются и набиваются татуировки, также магические знаки вышиваются на одежде.

     Рисунки, обозначающие магические символы и знаки можно использовать уже  известные или создавать свои, самостоятельно, особенно, если этим занимается человек творческий, хорошо разбирающийся в символике и чувствующий, что ему подходит лучше.

     Знак будет и талисманом, и оберегом, и украшением в этом случае. Знаки в различных религиях разные, и означают каждый что-то своё.

      Изображение шестиконечной звезды в еврейских источниках впервые обнаружено на еврейской печати VII века до н. э. С периода Второго Храма гексаграмма украшает многие синагоги. В качестве специфического еврейского символа гексаграмма впервые использовалась в 1354 году у евреев Праги.     Примерно в XIX веке евреи избрали Звезду Давида в качестве общенационального символа. Над орлом, звездочки, которые вместе образуют шестиконечную звезду.

Рисунок 12.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    В ходе выполнения данного исследования получены следующие результаты:

1. Рассмотрены элементы теории графов. 
2. Приведено применение функции Эйлера при построении.
3. Разработан алгоритм построения уникурсальных звезд.
4. Результаты исследования показали, что гипотеза верна: свойство графа быть уникурсальным является способом определения возможности решения задачи – головоломки.

Выводы:

  1.  При решении задач, по условию которых необходимо проложить маршрут, рекомендуется:

       а) построить граф;

       б) проверить его на правило для уникурсальных фигур;

        в) делать вывод о наличии или отсутствии решения;

        г) если решение имеется, искать маршрут.

  2.  Рассмотрели всевозможные построения уникурсальных звезд.

  3.  Проследили связь между математикой и другими науками, в том числе и магией.

Литература

1. Дмитриев И.Г., Алексеева Г.И., Баишева М.И. Олимпиады по математике города Санкт-Петербург 1995-2001 – СПБ: ИРО, 2002.
2. Кордемский Б.А. Математическая смекалка – М.: Просвещение, 2000

     3. Панюкова Т.А. Комбинаторика и теория графов. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012.-208 с.

     4. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.- М.: «Наука», 197с.

      5. Олехник С. Н. Старинные занимательные задачи. - М.: «Наука»,198с.

      6. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: «Педагогика», 198с.