Признаки делимости.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Весенненская средняя общеобразовательная школа»

Ломоносовские чтения

Секция: «Математические науки»

Признаки делимости.

                                                                             Автор: Волощук Юрий

                                                           учащийся 6 класса                                                        

                                                                      Руководитель: Арндт                                                                                                            

                                                                      Ирина Васильевна,

                                                                      учитель математики

с. Весеннее

2018 год

Оглавление

Введение.        3

Глава I. Определение и свойства делимости чисел.        3

1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.        3

1.2. Свойства делимости суммы и произведения:        4

Глава II. Признаки делимости.        4

2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.        4

2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.        5

2.3 Признаки делимости на 7.        7

Глава III. Признаки делимости в практических задачах и фокусах.        7

Экспериментальная часть        9

Заключение        9

Литература        10

Приложение 1        11

Введение.      

На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялся исследовательской работой на данную тему.

Цель исследования: изучение признаков делимости натуральных чисел до 100, дополнение уже известных признаков делимости натуральных чисел нацело, изучаемых в школе.

Для достижения цели были поставлены задачи:

1. Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.
2. Найти  универсальный признак делимости на любое натуральное число.
3. Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также попытаться сформулировать признаки делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Методы исследования:

-поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при определении способов умножения;

- практический метод при решении примеров;

- анкетирование учащихся школы о знании признаков делимости.

Гипотеза исследования: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел.

Практическая значимость: материал данной исследовательской работы можно использовать в 6 – 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».

Глава I. Определение и свойства делимости чисел.

1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.  

Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа.  Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7).

Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка.

Свойства делимости:

1. Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.
2. Нуль делится на любое b, не равное нулю.
3. Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.
4. Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

1.2. Свойства делимости суммы и произведения:

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.
2. Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число.
3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число.
4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

5)         Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.

Кроме этого, изучая признаки делимости чисел, я познакомился с понятием «цифровой корень числа».  Возьмём натуральное число. Найдём сумму его цифр. У результата также найдём сумму цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Полученный результат называется цифровым корнем числа. К примеру, цифровой корень числа 654321 равен 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?»

Глава II. Признаки делимости.

2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса математики 6 класса:

• Деление на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или нулём, то число делится на 2.Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8- четная.
• Деление на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 (число 567 делится на 3, т.к. 5+6+7 = 18, а 18 делится на 3.)
• Деление на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём, то число делится на 5 (число 130 и 275 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел являются 0 и 5, но число 302 не делится на 5, т.к. последней цифрой числа не являются 0 и 5).
• Деление на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (676332 делится на 9 т.к. 6+7+6+3+3+2=27, а 27 делится на 9).

• Деление на 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0).

2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.

Поработав с различными источниками, я узнал еще другие признаки делимости. Опишу некоторые из них.

• Деление на 4. Здесь стоит обратить внимание на последние две цифры – если образуемое ими число делится на 4, то и все число делится на 4. Кроме того, все числа, оканчивающиеся двумя нулями, так же делятся на 4.
• Деление на 6. Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3. Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его цифровой корень делится на 3. (Например,678 делится на 6, так как оно четное и 6+7+8=21, 2+1=3) Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. (73,7*4+3=31,31 не делится на 6, значит и 7 не делится на 6.)
• Деление на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. (12 224 делится на 8 т.к. 224:8=28). Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4 + 5 *2 + 2 = 48.
• Деление на 4 и 25.  Если две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4 или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 1500 делится на 4 и 25, т. к.  оно оканчивается двумя нулями, число 348 делится на 4, поскольку 48 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 48 не делится на 25, число 675 делится на 25, т.к. 75 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 75 не делится на 4).
• Деление на 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на 11 (число 593868 делится на 11, т.к. 9 + 8 + 8 = 25, а 5 + 3 + 6 = 14, их разность равна 11, а 11 делится на 11).
• Деление на 12. Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 4. Например. 127344 делится на 12, т.к. оно делится на 3 и на 4. Проверим признаки делимости на 3 и на 4.1+2+7+3+4+4=21, 21:3=7, 44:4=11.
• Деление на 13.   Число делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 354862625 делится на 13? 625-862+354=117 делится на 13, 117:13=9, значит, и число 354862625 делится на 13.  
• Деление на 14.   Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Пример: Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.  

• Деление на 15. Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Например: 1146795

1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.

• Деление на 19. Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.                                                             Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

Применим последовательно признак делимости. Число десятков  в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

1) 1 0 2  +2 ∙ 6= 114

2) 11+ 2∙4=19

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно,  число 1026 делится на 19.

• Деление на 23. Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся 288 + 3*42 = 414 и 4 + 3*14 = 46.
• Деление на 30. Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0, и сумма всех цифр делится на 3.
• Деление на 59. Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.
• Деление на 79. Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.
• Деление на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.
• Деление на 100. На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули.

2.3 Признаки делимости на 7.

1. Возьмем для испытания число 5236. Запишем это число следующим образом: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=103*5+102*2+10*3+6 («систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3); 33*5 + З2 *2 + 3*3 + 6 = 168.Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.  Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7. 168:7=24, 5236:7=748.

2. В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать с крайней правой и умножать не на 3, а на 5. (5236 делится на 7, так как 6*53+3*52+2*5+5=840, 840:7=120)

3. Этот признак менее легок для осуществления в уме, но тоже очень интересен. Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7=5.

4. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 363862625 делится на 7? 625-862+363=126 делится на 7, 126:7=18, значит, и число 363862625 делится на 7, 363862625:7=51980375.  

5. Один из самых старых признаков делимости на 7 состоит в следующем. Цифры числа нужно брать в обратном порядке, справа налево, умножая первую цифру на 1, вторую на 3, третью на 2, четвёртую на -1, пятую на -3, шестую на -2 и т.д. (если число знаков больше 6, последовательность множителей 1, 3, 2, -1,-3,-2 следует повторять столько раз, сколько нужно). Полученные произведения нужно сложить.  Исходное число делится на 7, если вычисленная сумма делится на 7. Вот, например, что дает этот признак для числа 5236.    1*6+3*3+2*2+5*(-1) =14. 14: 7=2, значит и число 5236 делится на 7.

6. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 число 49, которое получаем по этому признаку: 15* 3 + 4 = 49.

Глава III. Признаки делимости в практических задачах и фокусах.

Задача 1.  

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543  золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение: 3543+500=4043, но 4043 не делится на 3.

Задача 2.  Семеро друзей.

У одного гражданина было семь друзей. Первый  посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий – каждый третий вечер,  четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер. Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?

 Решение: Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7.

НОД (2,3,4,5,6,7)=420.

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача 3.  

Ваня задумал число простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчивается, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите пример таких чисел.

 Решение: Только на 7.

Ответ: 167, 257, 347, 527.

Задача 4.  

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

 Решение:

Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498. Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98,98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.

Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов, у него останется на счету 404 доллара. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300, в результате он снимет 2 доллара, и у него останется 498 долларов.

Фокус. Число Шехерезады.  

Предлагаю  Вам написать на   листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число.

        Это число разделите на 7. Затем полученный результат    разделите на 11. А теперь полученный результат разделите на 13. У Вас  в результате получится задуманное Вами  число.

Решение:

Секрет фокуса: когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем разделив последовательно на 7, 11, 13, мы раздели его  на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.

Экспериментальная часть

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-8 классов. В опросе приняли участие 26 ребят. Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1. Как вы думаете, существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?
2. Есть ли признаки делимости для других натуральных чисел?
3. Хотели бы вы узнать эти признаки делимости?
4. Известны ли вам какие-либо признаки делимости натуральных чисел?

Опрос показал, что ребятам знакомы в основном  признаки делимости, которые изучаются в школе. Многие ребята хотят познакомиться с новыми признаками делимости.

Заключение

Работая с разными источниками, анализируя найденный материал по исследуемой теме, я убедился в том, что существуют признаки делимости и на другие натуральные числа. Например, на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, что и подтвердило правильность выдвинутой мной гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Результатом исследовательской работы стал систематизированный материал в виде таблицы «Признаки делимости чисел», который можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовке обучающихся к ОГЭ и ЕГЭ.

В   дальнейшем   предполагаю   продолжить   работу   над   применением признаков делимости чисел к решению задач.

На внеурочном занятии по математике я познакомил своих одноклассников с признаками делимости.

Литература

1. Виленкин Н.Я.,  Жохов В.И.,  Чесноков А.С.,  Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс : учеб.для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.
2. Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с.
3. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.В.Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва.: Просвещение,1984. - 289с.
4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. - 97с.
5. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Триада-Литера,1994. -199с.
6. Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин. -М.: Педагогика, 1989.-352 с.

Приложение 1

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ