Исследовательская работа "Оригами в геометрии треугольника"

Содержание

Введение

Японская мудрость издревле гласит

«Великий квадрат не имеет пределов».

Попробуй простую фигурку сложить.

И вмиг увлечет интересное дело.

А. Гайденко.

Блуждая по ресурсам интернета, я увидел красивые поделки из бумаги. Вспоминаю, что сам когда-то мастерил кораблик и самолётик.

Однажды, выполняя очередное домашнее задание по геометрии, я задумался над вопросом: «Можно ли с помощью листа бумаги продемонстрировать доказательство теорем, решение задач?»

Оказалось, сгибать бумагу – это целое искусство. И у японцев оно называется «оригами».Оригами актуально и в настоящее время. Интересное и увлекательное занятие. Это занятие увлекает и взрослых и детей.Помогает развить аккуратность, усидчивость, творчество, воображение, что необходимо и для успешного обучения в школе.С помощью оригами можно знакомиться, изучать и повторять основные геометрические фигуры (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник) и их свойства, понятия (сторона, угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры).

Самая распространённая фигура в геометрии– это треугольник, который бывает разных видов. Первое знакомство с этой фигурой происходит в детском саду. Дети узнают, что треугольники отличаются друг от друга. И на этом знакомство детей с данной фигурой не заканчивается, а продолжается в школе. Школьники изучают виды и свойства треугольника и в 5классе, и в 6 классе. А вот в 7, 8 и 9 классах решают задачи и доказывают теоремы с треугольником. Рассмотрение этого вопроса с помощью оригами  позволит повторить и расширить знания об оригами и геометрии треугольника, достичь умения решать геометрические задачи с помощью листа бумаги.

Исходя из вышесказанного тема работы «Оригами в геометрии треугольника»

Цель работы - установить связь искусства оригами  с геометрией треугольника.

Задачи работы:

1) определить  понятие  оригами, историю его возникновения;

2) изучить связь искусства оригами с геометрией треугольника, исследовать возможность применения оригами в геометрии треугольника;

3) с помощью оригами  доказать, решить некоторые геометрические задачи о треугольниках,  выполняя бумажные модели.

Объект исследования – искусство оригами.

Предмет исследования – применение оригами в геометрии треугольника.

Методы –теоретические (анализ литературы, поиск информации в Интернет-ресурсах).

 Гипотеза – основу этого исследования составило мнение о том, что с помощью оригами можно объяснить, решить задачи и доказать теоремы, в которых основной фигурой является треугольниках.

Главным источником информации при написании работы был Интернет. На различных сайтах были найдены статьи, словари.

Глава 1. Что такое оригами?

1. Понятие «оригами»

Слово оригами в японском языке означает «сложенная бумага», так как в переводе с японского «ори» означает складывание, «ками» -  бумага.

В свободной энциклопедии «Википедия» говорится, что оригами — это «вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги». [6]

В толковом словаре Кузнецова это понятие раскрывается так: «искусство изготовления декоративных изделий из бумаги путём сгибания её в различных направлениях (возникло в Японии)».[8]

Словарь иностранных слов русского языка толкует понятие оригами, как  «старинное японское искусство конструирования из бумаги разного рода изображений декоративного характера (путем ее перегибания, разрезания и комбинирования)». [7]

Таким образом, оригами – это искусство изготовления фигурок путём сгибания бумаги, зародившееся в Японии.

1.2. История возникновения  и развития оригами

«Несмотря на то, что первый станок по производству бумаги был изобретен в Китае, история оригами берет свое начало в Японии.Именно японцы в начале 8 века начали складывать различные фигурки... В те времена бумага являлась очень дорогим материалом, поэтому доступна она была только храмам и монастырям. Монахи делали специальные бумажные коробочки под названием «санбо», в которых приносили жертвы богам. Эти первые поделки оригами изготовлялись без использования каких-либо инструментов, а материалом являлась исключительно бумага» [5].

То есть первоначально оригами использовалось в религиозных обрядах. Долгое время этот вид искусства был доступен только представителям высших сословий, где признаком хорошего тона было владение техникой складывания из бумаги.Оригами было значительной частью японских церемоний. Самураи обменивались подарками, сложенными из бумажных лент, считая их символами удачи. Сложенные из бумаги бабочки использовались во время празднования свадеб. Лишь после второй мировой войны оригами вышло за пределы Востока и попало в Америку и Европу, где сразу стало бурно развиваться. В Европе складывание из бумаги тоже было частью церемоний, существовали традиционные модели: шляпы, лодки и домики. В 60-х годах XX века искусство оригами стало распространяться по всему миру. В настоящее время оригами превратилось по-настоящему в международное искусство.

1.3.Виды оригами

Оригами – это доступное искусство, потому что для него требуется лишь листок бумаги. Для оригами можно использоватьлюбую бумагу. Но для изготовления каждой фигуры надо знать определённый порядок складывания бумаги. Законченная фигура оригами называется моделью, метод складывания модели называется проектом, а нарисованные инструкции для модели называются набором схем.

Существует несколько техник оригами:

• Простое оригами. Стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом. Простое оригами ограничено использованием только складок горой и долиной. Целью данного стиля является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками.
• Классическое оригами. «В классическом оригами используется один квадратный равномерно прокрашенный листочек бумаги без ножниц и клея. Из него собирают разнообразные фигуры - это традиционные самолетики, кораблики, журавлики, лягушечки, цветочки, мордочки животных».[1]
• Одной из популярных разновидностей оригами является модульное оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей). Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путём вкладывания их друг в друга. Появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться.

Таким образом, имея лист бумаги  и зная технику оригами можно создать красивые и полезные модели.

Глава 2. Оригами в геометрии треугольника

Практика и изучение оригами связаны с некоторыми вопросами математики.  Основной формой для конструированияфигурок из бумаги является квадрат. Согнуть квадрат по диагоналям – найти центр квадрата. Новую складку на листе бумаги можно путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий.

Анализируя учебники по геометрии  7, 8 и 9 классов А.Г. Мерзляка, были выделены темы, задачи и теоремы о треугольниках: виды треугольников и их свойства, сумма углов треугольника,замечательные точки и линии в треугольнике (построение медианы треугольника, точки пересечения медиан треугольника; построение биссектрисы треугольника, точки пересечения биссектрис треугольника; построение высоты треугольника и нахождение точки пересечения высот треугольника), симметрия треугольника.

Проанализировав теоремы и задачи о треугольнике из учебников геометрии выяснили, что некоторые из них можно доказать и решить с помощью приёмов простого оригами. Вот некоторые из них.

I. Построить медианы произвольного треугольника. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

№ 135. Начертите произвольный треугольник и проведите все его медианы» [2, с. 50]

Решение:

1. Вырезаем из бумаги произвольный треугольник ABC.
2. Совмещаем точкуА с точкой С, найдя середину АС точку H
3. Аналогично находим середины сторон AB точку L и BC с точку M
4. Сгибаем по линии HB, CL, AM.
5. Отрезки HB, CL, AM – являются медианами, которые пересекаются по линиям сгиба в точке О, что и требовалось найти. См. Приложение 1.

II. Построить биссектрисы произвольного треугольника и доказать, что биссектрисы пересекаются в одной точке.  

№ 136. Начертите произвольный треугольник и   проведите   все   его   биссектрисы. [2, с. 51]

Решение:

1.Вырезаем из бумаги произвольный треугольник ABC.

2.Совмещаем сторону AB с AC, найдя биссектрисуА

3.Аналогично совмещаем стороны BС cAC,найдя биссектрисуС,также совмещаем стороныABcBC, найдя биссектрисуВ

4. БиссектрисыА,В,С по линиям сгиба пересеклись в точку О,что и требовалось построить. См. Приложение 1.

Это решение с помощью оригами можно использовать и для доказательства Следствия 1. «Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке»из теоремы 21.2. «В любой треугольник можно вписать окружность». [2, с. 139]

III. Построить высоты треугольника и доказать, что высоты пересекаются в одной точке. Данная задача разрешима только для остроугольного треугольника, т.к. в тупоугольном треугольнике две высоты проходят вне треугольника, а в прямоугольном треугольнике – по катетам, т.е. сторонам треугольника.

№ 132. Начертите треугольник: 1) остроугольный; 2) прямоугольный; 3) тупоугольный. Проведите из каждой вершины треугольника высоту. [2, с. 50]

Решение задачи для остроугольного треугольника:

1. Вырезаем остроугольный треугольник АВС.

2.Совмещаем точкуА с точкой Н, которая лежит на стороне АС, такимобразом,чтобы линия ВН была перпендикулярна АС, проводим полинии сгиба, получая высоту ВН.

3.Аналогично повторяем действия со сторонами АВ и ВС, получаявысоты  CL  и  AM.

4.BH, CL, AM – высоты, которые по линиям сгиба пересеклись в точкеО, что и требовалось найти. См. Приложение 1.

В учебнике по геометрии А.Г. Мерзляка (8 класс) в рубрике «Когда сделаны уроки» введено понятие прямая Эйлера. Это прямая, на которой лежат центр описанной окружности, центроид и ортоцентр любого треугольника. Новые понятия объяснены. Оказывается, что центроид треугольника – это точка пересечения медиан треугольника, ортоцентр – точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Эти точки называют замечательными точками треугольника. «Использование такого эмоционального эпитета вполне обоснованно. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?»[3, с. 105]

IV. Докажем теорему о сумме углов в треугольнике: «Сумма углов треугольника равна 180°» [2,с. 103].

Доказательство:

1. Вырезаем из бумаги произвольный треугольник АВС с основанием АС.
2. Перегибаем треугольник по линии ВD так, чтобы основание легло само на себя.
3. Совмещаем вершины треугольника А, В и С в точке D.
4. Наглядно убеждаемся, что все три угла треугольника в сумме являются развернутым углом, а градусная мера развернутого угла 1800.Что и требовалось доказать. См. Приложение 2.

V. Построение равностороннего треугольника в квадрате.

Доказательство:

1. Вырезаем из бумаги произвольный квадрат ABCD.

2. Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD, совмещая сторону ABcCD,проведём по линии сгиба.

3. Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба, получив точкуK,которая образует с точкой А линию.

4. Согнем квадрат по линии AK. Сторону АВ совместим с отрезком АN. Проведём по   линии  сгиба АК.

5. Согнем квадрат по линии DK. Сторону CD совместим с отрезком DL. Проведём по   линии  сгиба DK

6. Получили треугольник AKD.

7. Совмещаем сторону AD с DK, визуально видно, что стороны совпали.

8. Совмещаем сторону AD с AK, визуально видно, что стороны совпали.

9. Следовательно, AD=DK=AK, значит треугольник AKD- равносторонний.

Что и требовалось найти. См. Приложение 3.

VI. Докажем с применением приёмов оригами ключевую задачу «Свойство прямоугольного треугольника» из параграфа 18 учебника по геометрии А.Г.Мерзляка: «Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы».[2, с. 117]

Доказательство:

1. Вырезаем из бумаги произвольный квадрат ABCD.

2. Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD, совмещая сторону ABcCD,проведём по линии сгиба.

3. Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба, получив точку K,которая образует с точкой А линию.

4. Согнем квадрат по линии AK. Сторону АВ совместим с отрезком АN. Таким образом, А разделится на три равные части:  ВАК =NАК =NАD = 30°.

5. Треугольник ADN- прямоугольный (т.к. D=900), в которомNAD=300.

6. Совмещаем точку А с D,получая точку X на линииAN.Отсюда следует,что AX=DX.

7. Треугольник AXD- равнобедренный, значит DAX =ADX=300.Отсюда следует,что в треугольнике XDNXDN=600.

8. Т.к. в треугольнике ADNAND=600, то треугольник XDN-равносторонний, значит DX=DN=NX=AX.

9. В прямоугольном треугольнике ADN сторона DN-катет, противолежащий углу 300,который равен половине гипотенузы AN. Что и требовалось доказать.                          См.  Приложение 4.  

VII. В учебнике по геометрии А.Г. Мерзляка, 9 класс, последняя глава называется «Геометрические преобразования». В этой главе происходит знакомство с разными видами преобразований, одно из которых осевая симметрия. В параграфе 18 «Осевая симметрия» написано, что равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии (это прямая, содержащая высоту, проведённую к основанию треугольника), «равносторонний треугольник имеет три оси симметрии». [4, с. 161]. Докажем одну из задач этого параграфа с помощью оригами.

№672. Доказать, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.[4, с. 164]

1.Вырезаем из бумаги равнобедренный треугольник АВС с основаниемАС.

2.Совместим точку А с точкойС, находим середину АС - точку Н. По линии ВН сгибаем треугольник и проводим, таким образом, мы нашли медиану треугольника АВС, проведённую из вершины равнобедренного треугольника коснованию АС.

3. Докажем, что ВН – ось симметрии равнобедренного треугольника АВС. Еще раз сгибаем треугольник по линии медианы ВН, наглядно убеждаемся в том, что сторона АВ наложилась на сторону ВС, аАсовпал сС. Отсюда следует, что треугольник АВН наложился полностью на треугольник СВН, значит, медиана ВН является осью симметрии треугольника АВС. Что и требовалось доказать. См. Приложение 5.

В итоге, можно утверждать, что оригами можно использовать для решения задач и доказательства теорем. А, значит, искусство оригами и геометрия треугольника взаимосвязаны.

Заключение

Оригами – древнее искусство создания фигурок из бумаги. Это бумажное занятие увлекает и детей, и взрослых. Зародившись в Японии, распространилось по всему миру и стало любимым занятием многих.

Математика объясняет приёмы оригами.А оригами может стать основой для изучения такого раздела математики, как геометрия. В ходе работы было установлено, что связь искусства оригами сгеометрией треугольника существует.Рассмотренные геометрические теоремы и задачи о треугольнике были доказаны и решены с помощью приёмов простого оригами.  

Цель работы, которая была намечена, достигнута, гипотеза оправдалась.

Данная работа может быть продолжена в геометрии многоугольников. Будет полезна учащимся, так как позволяет посмотреть на вопросы геометрии с другой, пространственной, стороны. Тем самым изучение некоторых тем геометрии будет интересным и более понятным.

Список использованных источников

1. Виды оригами. [Электрон.ресурс]. Режим доступа: http://pokasijudoma.ru/origami/vidy-origami.html. - (Дата обращения: 28. 09. 2017).
2. Геометрия : 7 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 192 с.
3. Геометрия : 8 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2016. – 208 с.
4. Геометрия : 9 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2017. – 240 с.
5. Гладущак, О. История оригами. История возникновения оригами [Электрон.ресурс]. – 24.02.2015 // «SYL.ru»: информационный портал. – Режим доступа: https://www.syl.ru/article/170897/new_istoriya-origami-istoriya-vozniknoveniya-origami. - (Дата обращения: 24.09.2017).
6. Оригами.  [Электрон.ресурс]. // «Википедия»: свободная энциклопедия. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Оригами. - (Дата обращения: 12. 09. 2017).
7. Словарь иностранных слов русского языка.  [Электрон.ресурс]. //  Энциклопедии & Словари: коллекция энциклопедий и словарей. - Режим доступа: http://enc-dic.com/fwords/Origami-25880/. – (Дата обращения: 12.09.2017).
8. Толковый словарь Кузнецова.  [Электрон.ресурс]. //  Энциклопедии & Словари: коллекция энциклопедий и словарей. - Режим доступа: http://enc-dic.com/kuzhecov/Origami-21082.html. – (Дата обращения: 12.09.2017).

Приложения

Приложение 1.

1. Построить медианы произвольного треугольника.

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Построить биссектрисы произвольного треугольника.

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Построить высоты произвольного треугольника.

Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Приложение 2.

Доказательство теоремы о сумме углов в треугольнике

Приложение 3.

Построение равностороннего треугольника в квадрате

Приложение  4.

Доказательство ключевой задачи «В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы»

Приложение 5.

Доказательство задачи «Прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его осью симметрии»