Проект Тайна простых чисел

Муниципальное образовательное бюджетное учреждение

«Сясьстройская средняя общеобразовательная школа №1»

Проект

Тайна простых чисел

Выполнили :

Богданова Лина, Винцукевич Юлия

Руководитель проекта:

Янгузова Екатерина Николаевна

Г.Сясьстрой

2018

Содержание

Введение

«В сочетании цифр есть безупречная магия, не чувствуют

 ее лишь люди, начисто лишенные воображения»

Борис Акунин

Простые числа в математике играют важную роль. Из них с помощью умножения получаются все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Но эта проблема до сих пор остается нерешенной. Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Как сказал Евклид: самого большого простого числа не существует.

Впервые о простых числах мы узнали в 6 классе на уроке математики, когда  изучали тему «Простые и составные числа». Нас заинтересовало само название этих чисел. И  мы решили изучить литературу по этой теме и исторические сведения о простых числах. Оказалось, что у этих чисел есть тайна.

Мы поставили перед собой цель понять принцип выделения простых чисел из натурального ряда, выяснить, существует ли самое большое простое число, познакомиться со свойствами простых чисел.

Простые числа следуют одно за другим, однако формулы нахождения простых чисел не открыто и в наши дни.

Однако, нами выявлено противоречие: Простые числа известны математикам с древних времён, и само название «простые» говорит о примитивности этого множества. Но при этом эти числа выделили в отдельную группу, тем самым указывая на их исключительные свойства.

С учётом гипотезы для достижения цели были определены следующие задачи:

1) Теоретическая: ознакомиться с информацией о простых числах в математической литературе: понятие простого числа, исторические факты, методы нахождения простых чисел, современное состояние изучаемого вопроса;

2) Практическая: выяснить, существует ли математическая формула для нахождения простых чисел; существует ли самое большое простое число; исследовать плотность простых чисел в пределах 5000;

3) Творческая: создание  математической  модели «Скатерть Улама».

Глава 1.Теоретические основы

1. Определение простого числа

«Просто́е число́ (др.-греч. πρώτος ἀριθμός) — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя» (5)

Например: 3 – простое число. Оно нацело делится на 1 и на само себя, т.е. на 3.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которые строятся остальные натуральные числа»(9)

Остановимся на некоторых этапах развития теории о простых числах.

2. Этапы развития теории простых чисел в древности и средние века

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, который придумал именно Эратосфен.

«Древнегреческий математик Эратосфен,  (276 год до н. э.—194 год до н. э.) —, астроном,географ, филолог и поэт. Первый известный учёный, вычисливший размеры Земли. Живший более чем за 200 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 245 году до н.э. царь Птолемей III Эвергет пригласил Эратосфена в Афины для работы в Александрийской библиотеке, где уже трудились его учитель Каллимах и Аполлоний Родосский. Эратосфен откликнулся на приглашение, в возрасте около тридцати лет он приехал в Александрию, где и остался до самой смерти. Через пять лет после приезда он сменил Аполлония Родосского на посту главы Александрийской библиотеки. Как глава библиотеки, Эратосфен занимался обучением детей монарха — будущего правителя Птолемея IV и его сестры (а впоследствии и жены) Арсинои.  В 246г. до.н.э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка. Он умер в 194 году до н.э., потеряв должность главы библиотеки, к тому же он ослеп. Эратосфена постигла голодная смерть, но, вероятно, не от безденежья, а как довольно жестокий способ самоубийства. Приведем способ, которым пользовался Эратосфен.

Выпишем несколько подряд  идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим не зачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее не зачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Теперь берем семерку, а остальные числа, кратные 7,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, и, в конце концов, добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа (они обведены в кружок) – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена.»(10) 

Евклид

«Простыми числами занимался и древнегреческий математик Евклид (IIIв. до н.э.). В своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, он доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число. 

Теорема Евклида: «Первых простых чисел существует больше любого указанного числа их». Вот доказательство этой теоремы: 
Предположим, что существует некое наибольшее простое число p. Тогда перемножим все простые числа, начиная с числа 2 и заканчивая числом p, и увеличим полученное произведение на единицу. Результат этих действий обозначим M. 
2*3*5*…*P+ 1=M 
Если число M составное, то оно должно иметь по крайне мере один простой делитель, кроме самого себя и единицы. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, 7, … p. Поскольку при делении M на каждое из них получаем в остатке один. Следовательно, число M либо само простое, либо делится на простое число большее p. Значит предположение, что существует наибольшее простое число p, неверно и множество простых чисел бесконечно. Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа. 
И своей теоремой  две с лишним тысячи лет назад Евклид лишил математиков надежды получить когда-нибудь полный список простых чисел.» (13)

В 1603 г. итальянский математик Пьетро Антонио Катальди составил таблицу простых чисел от 2 до 743.

Один из рекордов поставил в своё время Эйлер,

найдя простое число  2 147 483 647.

Леонард Эйлер (1707–1783)—

великий ученый XVIII века.

 Леонард Эйлер указал на формулу P = n2 – n + 41. Однако при n = 41 формула перестаёт «работать». Способ вычисления простых чисел задаётся двумя чередующимися формулами: (3×m) + n и (3×n) + m,   где m - нечётные числа последовательности натуральных чисел,  а n - чётные.

В 1770 году Немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальные усилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей до миллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители.

В 1845 году французский математик Жозедо Бертран, исследуя таблицу простых чисел, в промежутке от 1 до 6 000 000 обнаружил, что между числами n и 2n-2 , n>3, содержится по крайне мере одно простое число. Например:

если n=4 получаем число 2*4-2=6. Между числами 4 и 6 действительно одно простое число 5.

Если n=7, то 2*7-2=12. Между 7 и 12 простое число 11.

В дальнейшем это свойство получило название постулата Бертрана, хотя самому ученому не удалось его доказать

Попытки найти общую формулу для получения простых чисел продолжаются и в наши дни, но они не увенчались успехом.

3. Современные исследования

 Станислав Мартин Улам (1909-1984) – известный  польский и американский математик, поляк по происхождению.

Окончил Львовскую Политехнику, ученик Банаха. Переехал в Принстон США) в 1936 году и позднее участвовал в создании водородной бомбы в рамках ядерного проекта Лос-Аламосской лаборатории; внёс большой вклад в развитие математических методов, доказал множество теорем, предложил вычислительный метод Монте-Карло, выдвинул теорию ядерного ракетного двигателя.

Также им сформулирована известная теорема Борсука — Улама.

Совместно с Энрико Ферми и Джоном Паста сформулировал парадокс в теории хаоса, сейчас называемый парадокс Ферми – Паста – Улама. В теории чисел известна, так называемая, скатерть Улама.

Суть и цель его метода заключается в выявлении простых чисел из натуральных.

«Скатерть Улама  была открыта случайно — однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1, и, двигаясь по спирали против часовой стрелки, записывал все натуральные числа до 100. Без всякой мысли Улам обводил все простые числа кружками. Каково было его удивление, когда он увидел, что простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых линий!

 Это великолепная находка математика, который, в отличие от обычных людей, прекрасно чувствовал цифры и числа.

Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют “скатерть Улама”), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.» (15)

Именно в этом и заключается неожиданный геометрический феномен простых чисел.

Современным исследователем данного вопроса является Алексей Алексеевич Корнеев, который метод Улама назвал «Методом числового вмещения»

«А.А.Корнеев утверждал, что при анализе этого метода не было сделано должных выводов и обобщений в отношении смысла этого феномена. Корнеев предлагает провести практические исследования в сфере астрономии для обнаружения особых геометрических феноменов и особых объектов, подобных расположению простых чисел на скатерти С. Улама. Кроме этого, Корнеев утверждает, что и сами числа изучены недостаточно, у них есть скрытые качества! Не зря ряд чисел удивительным образом встраивается во все природные явления.» (10)

"Наибольшим известным простым числом по состоянию на январь 2018 года является число Мерсенна M77 232 917 = 277 232 917 − 1. Оно содержит 23 249 425 десятичных цифр; в книге с записью этого числа было бы около девяти тысяч страниц. Его нашли 26 декабря 2017 года в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS. Предыдущее самое большое известное простое число, открытое в январе 2016 года, было на миллион знаков короче.» (2)

Выводы к главе 1:  До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел. Формулы нахождения простых чисел не найдено.

Раздел 2. Практическая работа

1. Отыскание простых чисел с помощью метода «Решето Эратосфена»

 Проведены исследования чисел от 1000 до 1050 методом  «Решето Эратосфена»  и найдены такие простые числа, как 1009, 1013, 1019, 1021, 1031.

В ходе изучения таблицы простых чисел мы узнали, что среди них есть такие числа, как «Близнецы» и «Тройняшки».

«Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. получили образное название « близнецы ».(12)

«Три числа, которые отличаются на 2, называются « тройняшками » (13)

2.2 Создание  модели объекта «Скатерть Улама»

Результатом нашей работы стала математическая модель «Скатерть Улама», которая может служить  наглядным пособием на уроках  математики при изучении темы «Простые и составные числа»

Выводы к главе 2:   Среди известных простых чисел можно найти интересные закономерности, а Скатерть Улама позволяет визуально увидеть как можно больше простых чисел.

Заключение

Простые числа - загадка с более чем 2000-летней историей, на протяжении которой многие ученые по крупицам вносили свой вклад в изучение этих чисел.

Изучая литературу, указанную в списке, и проанализировав  теоретический материал  по теме, нами были определены  ключевые понятия:

• простое число
• числа «Близнецы»
• числа  « Тройняшки»
• «Решето Эратосфена»
• «Скатерть Улама»

Мы узнали, что простые числа  играют основополагающую роль во многих областях науки, особенно в математике.

Установили  некоторые закономерности и свойства в ряду чисел.

Узнали, что помощью найденных учеными методов можно отыскать  простое число больше числа 997, указанного в таблице учебника «Математика, 6»,

Но, мы выяснили, что предела простых чисел установить нельзя, так как числа бесконечны, а формулы для их отыскания нет.

Простые числа имеют магическую силу и в настоящее время исследования в этой области  продолжаются.

Таким образом,  цель проекта достигнута, поставленные в проекте задачи решены.

 Выдвинутая гипотеза подтверждена: простые числа необходимы для изучения в школьном курсе математики, т.к. обладают рядом интересных свойств, с помощью которых можно выполнять математические преобразования.

Список литературы

Васильев И.В., Гутенмахер В.Л. Арифметика и принципы подсчёта //Квант.-1983.-№1

Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике.-Челябинск: Взгляд,2005.

Гальперин Г.А. Просто о простых числах//Квант.-1987.№4.

Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские  математические кружки.-Кирово:АСА,1984

 Математическая энциклопедия (в 5 томах). — : Советская Энциклопедия,

1977. — Т. 4.

Савин А.П. Математические миниатюры.-М.: Детская литература 1991.

[Электронный ресурс ] - http://www.edu.ru/ Российское образование. Федеральный портал.

[Электронный ресурс ] - http://school-collection.edu.ru/Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Энциклопедический словарь юного математика» Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.

[Электронный ресурс ] https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число

[Электронный ресурс ] https://ru.wikipedia.org/wiki/Эратосфен

[Электронный ресурс ] https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа-близнецы

[Электронный ресурс ] http://desyatbukv.blogspot.ru/2010/04/blog-post_30.html

[Электронный ресурс ] https://ru.wikipedia.org/wiki/Евклид

[Электронный ресурс]https://ru.wikipedia.org/wiki/Улам,Станислав