Проектная работа на тему "Проценты вокруг нас"

Казанский федеральный университет

Институт психологии и образования

МКУ «Отдел образования Исполнительного комитета Кайбицкого муниципального района Республики Татарстан»

МБОУ «Большекайбицкая средняя общеобразовательная школа Кайбицкого муниципального района Республики Татарстан»

IV зональная научно-практическая конференция школьников «Поиск»

Проектно-исследовательская работа  «Проценты в нашей жизни»

Выполнила:

Шакирова Гузелия Рустамовна,

ученица 10 класса

МБОУ «Большерусаковская средняя

общеобразовательная школа

Кайбицкого муниципального района

 Республики Татарстан»

Руководитель проекта:

СадриеваГузялХалимовна,

учитель математики первой

квалификационной категории

с. Большие Кайбицы

2017 год

Оглавление

I. Введение………………………………………………………………3

1. Зачем нужны проценты
2. История возникновения процентов.

II. Основное содержание………………………………………………6

1. Основные задачи на проценты…………………………………..6
2. Процентные вычисления в жизненных ситуациях…………….7
3. Банковские операции…………………………………………….9
4. Задачи на смеси и концентрации………………………………..11
5. Задачи на вступительных экзаменах……………………………12
6. Опрос учащихся………………………………………………….14

III. Заключение………………………………………………………...15

IV. Список литературы……………………………………………….16

V. Приложение…………………………………………………………17

I. Введение.

1. Зачем нужны проценты.

Понимание процентов и умение производить процентные расчёты, в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Своей работой я хочу продемонстрировать применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства.

 Цели моей работы:

1. Показать необходимость знаний процентных вычислений для решений большого круга задач.
2. Показать широту применения процентных расчётов в реальной жизни.

Задачи моей работы:

1. Овладеть компетенцией производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности.
2. Порешать основные задачи на проценты

Практическая ценность моейработы в том, что его можно  использовать  учениками и преподавателями в качестве пособия при подготовке к  аттестации выпускников 9 классов и к итоговой аттестации в форме ЕГЭ по математике.

2. История возникновения процентов.

Проценты – одно  из математических понятий, которое часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции составляет 8% в год,  банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.

    Слово «процент» происходит от латинского  procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчёт процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

     Денежные расчёты с процентами были особенно распространенные в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат  вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли  к другим народам.

    В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.          

Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе - особой записи десятичных дробей.

    Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

   Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощение в скорописи буквы tв наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента.

   Существует и другая версия возникновения  этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершённой наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо  cto напечатал %.

В некоторых вопросах  иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского  promille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему её развитию.      

   Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100 процентов».

  Если речь идёт о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100%. Например 1% от зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это сто сотых частей зарплаты. Т.е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берётся в размере 13%, т.е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т.е. более чем на половину состоит из чистого хлопка. 3,2% жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира.)

   Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на 30%, то это уже говорит о серьёзности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятие соответствующих мер.

II. Основное содержание.

1. Основные задачи на проценты.

1. Нахождение процентов данного числа.

 Чтобы найти, а % от в, надо в*0,01а.

П р и м е р. 30% от 60 составляет: 60*0,3 = 18.

2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что, а %  числа  х  равно в,   то  х = в: 0,01а

П р и м е р. 3% числа х составляют 150.

х = 150:0,03;

х =  5000.

3. Нахождение процентного отношения чисел.

 Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%:

а /в* 100%.

П р и м е р. Сколько процентов составляет 150 от 600?

 150 / 600 * 100% = 25%.

4. Изменение величины в процентах.

           Одна величина больше (меньше) другой на р%.

а)Если, а больше в на р%, то

 а = в + 0,01 рв = в(1 + 0,01р).

б) Если, а меньше в на р%, то

 а = в – 0,01 рв = в(1 – 0,01р).

Объединив а) и б), запишем задачу в общем виде: увеличили число, а на р%, а затем полученное уменьшили на р%

                а(1 + 0,01р);   а(1 + 0,01р)(1 – 0,01р) = а(1 – (0,01p)2)        (*)

З а м е ч а н и е. Результат не изменяется, если увеличение (уменьшение) следует за уменьшением (увеличением).

Увеличили числоа на р%. На сколько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы получить а?

Р е ш е н и е.

а( 1 + р/100) – а(1+р/100) * х/100 = а,

а( 1 + р/100)(1- х/100) = а,

1 – х/100 = 100/(100+р),

х/100 = р/(100+р),

х = 100p : (100 + р)               (* *)

 Если при вычислении процентов на каждом последующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (проценты на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов:

в = а (1 + 0,01р)п ,

Где а – первоначальное значение величины;

в – новое значение величины;        

р – количество процентов;

п - количество промежутков времени.

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так

в = а*(1 + 0,01р1)(1+0,01р2) . . . (1 + 0,01рп).

Пример 1.  Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год ещё на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?

Так как проценты находятся от величины, полученной после начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов.

Пусть зарплата рабочего была х, тогда  в = х(1+ 0,1)(1 + 0,2) = 1,32х

 1,32х – х = 0,32х,   на 32%.         Ответ: на 32%

Пример 2.  Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?

Пусть х – искомое число процентов, тогда используя формулу  (*) имею: ( 1 + 0,01х )4 = 16. Из этого уравнения получаю, что х = 100%.    

 Ответ: на 100%.

Пример 3.Цена товара была повышена на 12%. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

а – первоначальная цена,    р – процентные снижения.

а + 0,12а = 1,12а – цена после повышения.

1,12а – 1,12а · 0,01р – после снижения.                        

По условию      1,12а – 1,12а · 0,01р = а    →   р = 10

Ответ: 10

2. Процентные вычисления в жизненных ситуациях

Сюжеты задач взяты из реальной жизни – из газет, объявлений, документов, журналов.

Задача 1.  Дневная норма потребления витамина С составляет 60мг. Один мандарин в среднем содержит 35мг витамина С. Сколько (приблизительно ) процентов дневной нормы витамина С получил человек, съевший один мандарин?

Эта задача на нахождение процентного отношения чисел.

(35 / 60) · 100 % ≈58 %

Ответ: 58 %

Задача 2. При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 10200 рублей. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

Решение.

1) (10200 – 1400) · 0,13 = 1144р. – налог.

2) 10200 – 1144 = 9056р.

Замечание. При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 1400 р.. на одного ребенка., налог 13% берётся от оставшейся суммы.    

Ответ:  9056 р.

Задача 3.  Заработок рабочего повысился на 15 % , а цены на продукты и другие товары повысились на 20 %. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить меньше продуктов и товаров, чем прежде?

Решение.

Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 р. и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 р. за килограмм, т.е. 10кг. После повышения на 15%заработок рабочего стал11,5р. (10 + 0,15 · 10)., а  цена продукта после повышения цены на 20 % ─    1,20 р. за 1 кг ( 1+ 1·0,20). Теперь рабочий может купить 11,5 : 1,2 ≈9,6 (кг), т.е.  (10 – 9,6 ): 10 = 0,04, т.е. на 4% меньше, чем прежде.

Ответ: на 4%меньше.

Задача 4.  В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составляет 6 р. 20к. вместо 5 р. 37к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14.6 % .

Решение.

Разность тарифов составляет 0,83р., а её отношение к старому тарифу равно 0,14562…. Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,6 %

Ответ: да, соответствует.

Задача 5. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 20 р. в связи с инфляцией она возросла на 25 % . Во сколько раз повысилась стоимость проезда в автобусе?      

Задача 6. При покупке стиральной машины стоимостью 10500р. покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу, дающую право на 5 %  скидки. Сколько он заплатит за машину?

Задача 7.Спортивный магазин проводит акцию. Любая футболка стоит 200 рублей. При покупке двух футболок  - скидка на вторую футболку 80%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух футболок в период действия акции?

Задача 8  Вапреле 2015г. население за используемую электроэнергию платило 2, 09р. за 1кВт.  Через 2 года платеж составил 2,40 р. за 1кВт. На сколько процентов повысилась цена на электроэнергию?  

3. Банковские операции.

Уже в далёкой древности широко было распространено  ростовщичество – выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлось лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20% и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на год, возвращала ему по происшествие года не менее 1200 этих же единиц.

Известно, что в 15-16 вв. в Западной Европе широко распространились банки – учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. Тех кто берёт в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т.е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчикам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада. Таким образом, средства, помещённые на хранение в банк, через определённый период времени приносят некоторый доход, равный сумме начисленных за этот период процентов.

Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчикам, а с другой – дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.  

В зависимости от способа начисления проценты делятся напростые и сложные.

Простые проценты: Увеличение вклада So по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранение определяются исходя только из первоначальной суммы вклада So рублей независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S0 рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р % от первоначальной суммы S0 . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет  S0 (1 + 0,01р ) рублей. р % называют годовой процентной ставкой.  Через два года начисленные проценты составят 2S0 · 0,01р, через п  лет начисленные проценты составят:  Sп =S0(1 + п·0,01р ).

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счёта сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, So, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами.

4. Задачи на смеси и концентрации

Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций – смешивание товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот различной концентрации, сплавление металлов  с различным содержанием некоторого металла и пр. При решении задач данного типа используется следующие допущения:

1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор(сплав), то выполняются равенства:

V = V1 + V2 – сохраняется объем;

m = m1 + m2 – закон сохранения массы.

2. Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора).

3. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

Задачи на смеси, растворы и сплавы называют ещё задачами на процентное содержание или концентрацию.

Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества т в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема:        а = т:М. Отсюда получаем т = аМ,           М = т : а. Доля чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси. Складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя.

Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называют его долю, выраженную процентным отношением: с = а · 100%,  а = с:100%.

  Так же считаю полезным предложить формулу, по которой рассчитывают концентрацию смесей (сплавов):

n = mв /mр, где

n - концентрация

mв - масса вещества в растворе (сплаве),

mр - масса всего раствора (сплава).

Приведу старинный способ решения следующей задачи на сплавы и смеси.

Задача.

При смешивании 5%- ного  раствора кислоты с 40 %-ным раствором кислоты получили 140 г  30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?                                                

Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

                5

30

                40

Рассмотрим пары 30 и 5;  30 и 40. в каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

                                                          5               10               30 – 5 = 25

                                             30

                                                         40               25              40 – 30 = 10

Из нее делается заключение, что 5% - ного раствора следует взять 10 частей, а 40% - ного  раствора – 25частей, т.е. для получения 140г   30% - ного раствора нужно взять 5% раствора 40г, а 40% -ного – 100г.  

( 140 : (10ч +25ч) = 4,  4*10=40,  4*25=100)

Старинный способ решения задач на смешивание (сплавление) двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ.

Предположим, что смешиваются хга%-ного раствора кислоты (или 0,01а · хг) и   у г   в % - ного раствора кислоты (или 0,01в· у г). Пусть, для определенности, а< с < в. Так как в полученных (х+у) г смеси кислоты стало содержаться с % , т.е. (х+у)0,01с г, то получаем следующее уравнение:  

0,01 ах + 0,01 ву = 0,01с(х+у). Отсюда х/у = (а – с): (с – в). Но именно это отношение и дает старинный способ

   а            в - с

                                           с

           в               с –а

5. Задачи государственной итоговой аттестации

Задачи на проценты прочно вошли в школьный курс математики, как пример задач, демонстрирующих применение математические знаний на практике и даже в повседневной жизни. Задачи на проценты неизменно присутствуют в контрольно-измерительных материалах (КИМ) по курсу средней школы и в демонстрационной версии письменной работы по алгебре для итоговой аттестации выпускников основной школы.  Результаты итоговых аттестаций школьников, включая ЕГЭ, показывают, что по-прежнему процентная тема остается проблемной.

В пример приведены следующие задачи. Остальные задачи с решением помещены в приложении № 1.

Задачи ЕГЭ

1.  Агрофирма  предполагает продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов агрофирма должна повысить цену на свою морковь, чтобы получить за неё 3,5% больше денег, чем в прошлом году.

Решение.

Пусть q0 – объем продаж прошлого года;

р0 – цена продаж прошлого года;

р0q0 – выручка прошлого года;

q1 – объем продаж текущего года;

р1 – цена продаж текущего года;

р1q1 – выручка текущего года.

По условию задачи р1q1 = 1,035 р0q0 ,  причем q1 = 0,9q0 , р1 = (1+ х)р0; где х – доля повышения цены на морковь.

Значит, (1+ х)р0 · 0,9q0 = 1,035 р0q0,

0,9(1 + х ) = 1,035

0,9х = 1,035 – 0,9

х = 0,15.   Значит, агрофирма должна повысить цену на морковь на 15%, чтобы получить прибыль на 3,5% больше, чем в прошлом году.

Ответ: 15%

2. В бидон налили 3 литра молока однопроцентной жирности и 7 литров молока шести процентной жирности. Какова жирность полученного молока(в процентах)

Решение.

При решении этой задачи можно воспользоваться формулой

 Значит, жирность полученного молока  –   4,5%

Ответ: 4,5%

6. Мониторинг общественного мнения

В жизни часто важно знать мнения людей по самым разным вопросам. А как узнать мнения людей? Для этого проводят специальные опросы общественного мнения.

Я, при содействии учителя математики, среди учащихся 7-11 классов нашей школ провела опрос. Вопросы опроса были о нашем районе в связи с 26-ти летием Кайбицкого района.

 Проголосовало 19 человек из 25, что составило 76 % от общего количества. Участникам опроса было предложено следующие вопросы:

1. Назови день рождения Кайбицкого района?  Сколько ему лет?
2. Имеет ли Кайбицкий район свой флаг? Свой герб? Что там изображено? Можешь ли ты его описать?
3. Площадь территории Кайбицкого района?

 А) 1995,4 кв.км    Б) 99154,4 кв.км   В) 99,4кв.км   Г) 995,4 кв.км

     4.  С какими районами (республиками) граничит Кайбицкий район?

     5. Какой национальный состав Кайбицкого района?

Представители какой нации преобладают?

     6. Сколько человек проживает в Кайбицком районе?

          А) 160000 чел.   Б) 1650 чел.   В) 16209 чел.   Г) 1640200чел.  

После обработки результатов получилась такая картина

IV. Заключение

Ценность моего реферата в том, что им могут воспользоваться как ученики, так и учителя при подготовке к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Поставленные цели и задачи я считаю выполненными.

В заключение хочу привести слова министра М.И. Калинина «…Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе…»

V. Список литературы

1. Глейзер Г.И. История математики в школе : пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
2. Захарнова А.Е. Учимся решать задачи на проценты //Математика для школьников 2006 №2 С.23-30
3. Канашева Н.А. О решении задач на проценты // Математика в школе. - №5. – 1995. – С.24
4. Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты // Математика в школе. – 1998. -  № 4.
5. Симонов А.С. Сложные проценты  // Математика в школе. – 1998. - № 5
6. Соломатин О.Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси // Математика в школе. – 1997. - №1. – С.12-13
7. Ященко И.В ОГЭ- 2016 Математика Типовые экзаменационные варианты с.80, 86

VI. Приложение № 1

1. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Решение.

1,2х + 1,7у = 1,35(х + у),

где х р. – стоили лыжи два года назад; у р. – стоили ботинки два года назад.

Ответ: 70%

2. Во время сезонных распродаж цена товара  ежедневно снижалась на 10 % по сравнению с ценой в предыдущий день. В первый день распродажи цена куртки была 3000 рублей. определите, сколько раз снижалась цена куртки , если она была продана по цене на 813 рублей меньше первоначальной?

Решение.

Ответ: цена снижалась три раза.

3.Зарплату повысили на р %. Затем новую зарплату повысили на 2р % . В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

Решение:

Его корнями являются числа    -160 и 10. По условию задачи подходит второй корень, тогда  2р = 2 · 10 = 20.

Ответ: на 20 %

4.  Некоторая сумма была помещена в банк, и после первого периода хранения проценты, начисленные на вклад, составили 300руб. Владелец вклада снял со счёта 800руб. После второго периода хранения и начисления процентов сумма на вкладе стала равной 2750 руб. Сколько процентов начислялось по вкладу, если процентная ставка для первого и второго периодов хранения была одинакова?

Решение.

Пусть А – исходная сумма, внесенная вкладчиком в банк, а р – процентная ставка банка, которая для первого и второго периодов хранения была одинакова. Получим систему уравнений:

Ответ: 10 %

4. Участок леса содержит 96 % сосен. Лесозаготовительная компания планирует вырубить на этом участке 150 сосен, в результате чего их содержание понизится до 95 %. Сколько сосен останется на участке?

Решение.

 Обозначим через А число всех деревьев на участке, тогда число сосен равно 0,96А. После вырубки участок должен содержать 0,96А – 150 сосен.

С другой стороны, после вырубки на участке должно остаться   А – 150  деревьев, из которых сосен будет 0,95(А – 150).

Получаем уравнение

0,96А – 150 = 0,95(А – 150), А = 750.

Следовательно, после вырубки участок должен содержать    

 0,96 · 750 – 150 = 570 сосен.

Ответ: 570 сосен.

6.  На распродажепосле Нового года цена сервиза дважды снижалась на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена сервиза каждый раз, если до снижений она составляла 5000 рублей, а после двух снижений сервиз продали за 3200 рублей?

Решение.

Пусть каждый раз цена снижалась на х процентов. Тогда цена сервиза после первого снижения составила   (100 – х):500     рублей, а после второго снижения она составила

По условию задачи эта величина равна 3200 рублей.получим уравнение:

Решим его:

(100 – х2) = 6400

100 –х= 80

х= 20.  

Таким образом , каждый раз цена сервиза снижалась на 20%.

Ответ: 20%

7. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100 г  9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

Решение.

В 100 г  9%-го раствора содержится 9г уксуса. Если 9г уксуса составляют 2% раствора, то вся масса раствора равна (9 : 2 ) · 100 = 450 (г).  Значит, надо добавить  450 – 100 = 350 (г) воды.

Ответ: 350

8.   Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

Решение.

В 2 кг сплава содержится 80% меди,  в 6 кг сплава содержится 60% меди.

Получаем 8кг сплава.   Обозначу  с – концентрацию меди в получившемся сплаве.   0,8*2  +  0,6*6  =  0,01с * 8

1,6 + 3,6 = 0,08с

5,2 = 0,08с

с = 5,2: 0,08

с = 65

Ответ: 65

Тренировочные задания для подготовки к ОГЭ  2016 г.

1.Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные – 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?

Решение:

Свежие фрукты содержат 93% воды, отсюда следует,  что они содержат 100% -93% = 7% сухого вещества. А в высушенных фруктах – 100% - 16% = 84%. Так как масса сухого вещества постоянна, в 21 кг высушенных фруктов этого вещества будет 21 * 0, 84 = 17,64 кг. Это число соответствует 7% амсвежих фруктов. Значит, масса свежих фруктов 17,64кг : 0,07 = 252кг.

Ответ: 252кг

2.Поступивший в продажу в сентябре мобильный телефон стоил 2400 рублей. В октябре он стал стоить 1320 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с сентября по октябрь?

Решение:

1ый способ.  * 100% = 55%;    100% - 55% = 45%.

Ответ:  45%.

2ой способ. 2400руб.  -1320руб.  = 1080руб. *100% = 45%

Ответ:  45%.