Метод рационализации

Комитет по образованию администрации г. Улан-Удэ

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»

XXII городская научно-практическая конференция

 «Шаг в будущее»

Номинация: «алгебра»

«Метод рационализации неравенств»

Выполнила: Калашникова Людмила,

 ученица 11 класса

МАОУ «СОШ №37»

Научный руководитель:

Зверькова Галина Александровна,

учитель математики

г. Улан-Удэ

2015

Рецензия

    Учителя математики высшей категории Г.М. Коневой на исследовательскую работу ученицы МАОУ «СОШ № 37» г. Улан-Удэ Калашниковой Людмилы.

 Тема исследования: «Метод рационализации»

   Целью данного исследования являлось изучение нестандартного метода решения неравенств.  Заявленная тема работы соответствует ее содержанию, автор смогла обосновать ее актуальность.

  Автором исследования проделана большая работа: изучена литература по данной теме,

изучен самостоятельно метод рационализации, не входящий в школьную программу, подобраны задания, при решении которых применяются все изученные способы. В 11 классе ей проведено лекционное и практическое  занятие по данной теме с целью подготовки к ЕГЭ. Большое внимание автор уделила исследованию задач через поиск методов для  наиболее рационального решения.

  Автор грамотно структурироваласвое исследование. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, приложения.

   Во введении автор дает обоснование выбора темы, приводит аргументы, свидетельствующие о значимости данного исследования, показывает необходимость проведения такой работы с целью подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. В теоретической части дает обзор  изученного метода. В экспериментальной – его применение. Это свидетельствует о глубине интереса автора к данной теме, серьезном подходе к исследованию.

   В заключении автор делает собственные выводы по исследуемой теме, показывает значение данной работы.

    Значимость работы состоит в том, что она актуальна, имеет практическое применение. Автор стремится к овладению новыми знаниями, умеет их приобретать самостоятельно и применять на практике.

   Работа Калашниковой Людмилы соответствует требованиям, предъявляемым к учебным исследованиям, и заслуживает высокой оценки.

    Учитель математики высшей категории: _______________________/ Г.М. Конева/

Содержание

                                                                                                                                              Стр.

1. Введение                                                                                                                             3

2. Теоретическая часть                                                                                                          5

           2.1.  Алгоритм метода рационализации

           2.2. Доказательство утверждений метода рационализации

3.   Экспериментальная часть                                                                                               8

4. Заключение                                                                                                                        12

5. Список использованной литературы                                                                               13

6. Приложения                                                                                                                       14

Введение

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

Ермаков В.

Неравенства являются важной частью математического аппарата и играют фундаментальную роль в большинстве её разделов. Стандартные методы решения  неравенств подробно рассматриваются на школьных уроках математики. Однако, они часто оказываются достаточно трудоемкими и  занимают большое количество времени.

Метод рационализации (метод замены множителей) позволяет упростить и сократить время решения  данных неравенств. Этот метод заключается в замене сложного выражения на более простое, равносильное данному  на области определения выражения. Использование данного метода упрощает решение, позволяет достаточно просто рационализировать многие иррациональные неравенства, неравенства с модулем, логарифмические и показательные неравенства с постоянным и переменным основанием, а так же сложные комбинированные неравенства.

В представленной работе исследуются неравенства на применение метода рационализации для решения иррациональных,  показательных, логарифмических и содержащих модуль неравенств. Решения задач вытекают из теоретического материала. Решая тесты ЕГЭ, обратила внимание на то, что в них присутствуют задачи, которые не всегда можно решить стандартными методами. В таких случаях стоит использовать способы с более коротким, рациональным и удобным решением.

Поэтому  решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение заданий ЕГЭ.

   Эта работа является результатом  дополнительных занятий математикой, изучения  и анализа научно-популярной и учебной литературы, задач и способов их решений.

Актуальность темы:

     С современном мире самообразование - является ключевым фактором развития общества. Человек всегда должен стремиться к познанию нового, особенно, если эти знания могут найти своё практическое применение.  Исследование метода замены множителя  дает возможность расширить полученные на уроках знания, научиться решать неравенства  новыми способами, а в дальнейшем применять эти знания на олимпиадах и ЕГЭ.

Цель работы:

Изучение нового метода решения неравенств и возможности овладения этими методами учащимися 11 классов.

  Задачи:

1. Изучить научно-популярную и учебную литературу по данной теме;
2. Познакомиться с новым методом решения неравенств;
3. Подобрать задачи по данной теме;
4. Исследовать задачи на применение изученного метода и найти наиболее рациональное решение;
5. Провести занятие для учащихся 11 класса.

Объект исследования:

Показательные, логарифмические, иррациональные неравенства и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

            Гипотеза:

  С помощью изученных методов можно найти более рациональное решение задания №17 ЕГЭ.

Глава 1 Теоретическая часть

Определение: Говорят, что у двух выражений х) и х) совпадает знак на области определения х), если для любого х из области определения х) выражениех) тоже определено и при этом если х)> 0, то и х) > 0; если х)< 0, то и х) < 0; если

х)= 0, то и х) = 0

Определение: Два неравенства называются равносильными на множестве М, если множества их решений совпадают. Неравенства, не имеющие решения, так же являются равносильными.

Алгоритм метода рационализации

1. Найти ОДЗ
2. Привести исходное неравенство к виду ∨ 0(справа 0 !), где ∨ - один из знаков неравенств:а множители un и vm представляют собой показательные, логарифмические, рациональные, иррациональные выражения, выражения с модулями и другие. В таком виде нужен только знак каждого множителя, а не его значение. Исследуемый метод состоит в том, чтобы с помощью равносильных преобразований, заменять такие множители на другие, «более удобные»  линейные множители, совпадающие по знаку с исходными на первоначальной области определения.
3. Решить полученное неравенство методом интервалов.
4. Учесть ОДЗ,
5. Записать ответ

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором  неравенство G(x) 0 равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).  

Доказательства полученных выражений

1. ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

Пусть , т.е. , причема>0; а≠1; f>0; g>0 (*)

Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f

откуда следует неравенство (, верное на области определения выражения .

Если а >1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство .

Обратно, если выполняется неравенство  на области (*), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств
                   и                  

Из каждой системы следует неравенство

>0.

Аналогично рассматриваются неравенства вида F<0, F≥0, F≤0.

1. ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

Пусть

Заменим

Если  0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции- f

Откуда следует неравенство

Если а>1, то f>. Следовательно, .

б)∨ 0

Доказательство:

 Пусть

Заменим данное неравенство на .

Если  0<а<1, то a-1<0, f-1<0. Отсюда следует неравенство

Если а>1, то a-1>0, f-1>0, откуда следует то же неравенство.

2. ∨ 0  ∨ 0

Так  как
,то используя замены 1а и 1б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения  

3. ∨ 0  ∨ 0

Из неравенства  следует . Пусть число а>1, тогда

. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем

Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.

1. ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

. Пусть некоторое число а>1, тогда . Откуда следует, что

Применив замену 1б, получаем ,

Дано неравенство Пусть а>1, тогда

Используя замену 1, получаем  

Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.

5. ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

Так как неравенство , то

6.  - ∨ 0  ∨ 0

:

Так как неравенство  - , то

по условию

Глава 2  Экспериментальная часть

     Исследованы  следующие виды неравенств: иррациональные, логарифмические, показательные, логарифмические по переменному основанию, неравенства с модулем.

    Многие выражения можно разложить на множители и привести к виду, записанному в таблице, применяя равносильные преобразования.

Например:  -  - 5 =  -

   При этом стоит помнить, что возводить неравенство в четную степень можно только при тех значениях переменной, при которой обе части неравенства неотрицательны.

     При решении логарифмических неравенств с постоянным основанием проще использовать другие способы.

     Метод рационализации упрощает  решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в  основании. Данный метод позволит избежать рассмотрения совокупности двух систем неравенств, с учетом основания, когда оно будет больше 0 или находиться в пределах от 0 до 1.

Пример 1. Решите неравенство log2x+3 x2< 1.

Решение. Запишем неравенство в виде log2x+3x2 – 1< 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

(2x + 2)(x2 – 2x – 3) < 0

2x + 3 > 0

2x+ 3≠ 1;  х≠0

(x + 1)(x + 1)(x – 3) < 0

x> 1,5

x ≠ 0; х≠-1

Ответ: (-1.5; -1) (-1; 0)  (0; 3).

Так же, при решении показательных неравенств,  удобно использовать исследуемый метод

Пример 2

Приведем к каноническому

виду∨ 0:

применим метод рационализации:

Ответ: [0;2]

Пример 3

ОДЗ:

 7-3х>0                     -3х>-7        х<

7-3х≠1          ⬄       -3х≠-6          ⬄        х≠2

х+6>0                         х>-6         х>-6

ОДЗ:  (-6;2) U (2;2)

1 способ. Метод рационализации.

Используя метод рационализации, с учетом ОДЗ перейдем к неравенству:
(7-3х-1)(х+6-1)≤0
(-3х+6)(х+5)≤0
(-3х+6)(х+5)=0
х=2         х=-5

С учетом ОДЗ получим решение неравенства       (-6;-5]U(2;2)

2 способ.  Так как основание логарифма выражение, содержащее переменную, то при его решении следует рассмотреть  совокупность двух систем неравенств:

  7-3х>1,    

 .              ⬄

0<7-3х<1,

 .                        

-3х>-6           х < 2        х<2

 х+6≤1        ⬄        х -5        х≤-5                    

-7<-3х<-6        >х>2        2<х<2

 х+6≥1        х≥-5        х≥-5

Решение совокупности систем неравенств    (-∞;-5]U(2;2).
С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства             Ответ: (-6;-5]U(2;2)

Вывод: рациональнее применить метод замены множителя.

  Метод рационализации удобен при решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Пример 4.

Решите неравенство:

;   > 0

Используя метод рационализации, перейдем к равносильному неравенству

Модули и корни, содержащие переменную так же встречаются внутри логарифмических неравенств, где тоже возможно использовать метод не только к логарифму, но и к модулю, и к корню.

Пример 5

.

Решение:

Ответ:  .

Пример 6  

.

Решение:

Ответ: .

Заключение

В результате выполненной работы:

1.  Были изучены различные источники по теме «Метод рационализации»;

2.  Был изучен новый метод решения показательных, логарифмических, иррациональных неравенств и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

3.  Были подобраны задачи из тестов ЕГЭ;

4.  Были проведены исследования различных неравенств по данной теме и найдены наиболее рациональные решения;

5.  Было проведено занятие в выпускном математическом классе по данной теме.

   Таким образом  можно решать олимпиадные задачи и задачи ЕГЭ, подбирая к ней самое рациональное, выгодное и короткое решение.  Зная несколько способов, а не один, мы идём на экзамены или олимпиады, заранее подготовленными. Поэтому, представленная работа , не только интересная, но и полезная.

     В настоящее время обучаюсь в 11 математическом классе. Как и для многих выпускников, для меня важно получить высокие баллы ЕГЭ. Самостоятельно и с помощью учителя решаю задания профильного  уровня  экзамена, изучаю редко используемые формулы и методы, упрощающие решение задач. Думаю, что изучение предложенного метода может оказать помощь  выпускникам школы при сдаче ЕГЭ по математике и подготовке к олимпиадам.

Литература

1. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.
2. КИМы ЕГЭ за 2012-2015 г
3. Решаем задание С3 методом рационализации Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова , :-ЛЕГИОН, Ростов-на –Дону, 2013

Задания для самостоятельного решения

1. Решите неравенство

.Ответ:

2. Решите неравенство

< 1.Ответ:  (log310; + ).

3. Решите неравенство

.Ответ:  .

4. Решите неравенство

.Ответ:  .

5. Решите неравенство

.Ответ:  .

6. Решите неравенство

 Ответ: (;-9) U(-3; +

7. Решите неравенство

                   Ответ:

8. Решите неравенство

                                 Ответ:  

9. Решите неравенство

 Ответ:  

10. Решить неравенство  

Ответ. .