Применение чётности при решении задач

Научно-практическая конференция учащихся городского округа г. Кулебаки

«Старт в науку - 2016»

ПРИМЕНЕНИЕ ЧЁТНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

проект

(математика)

                                                                                   Выполнила Чучелова Екатерина,                                                                                        

                                                                                    учащаяся 5а класса МБОУ школы №8

                                                                                   Руководитель: Желтова А.В.,              

                                                                                   учитель математики МБОУ школы №8

г. Кулебаки

2016

Оглавление

Введение

 Однажды на уроке математики, когда мы изучали тему «Делимость чисел», учитель показала нам фокус с монетами: Попросила  ученика спрятать в  одной руке пятирублёвую, а в другой — десятирублёвую  монету. Затем попросила  умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3,  результаты сложить, и сообщить лишь, является сумма чётной или нет.  После чего, учитель определила,   в какой руке пятирублёвая монета, а в какой – десятирублёвая монета. Фокус повторили после урока несколько раз и всякий раз учитель правильно определяла в какой руке, какая монета.  Секрет фокуса заключается в использовании свойств чётности натуральных чисел.

 Меня заинтересовала эта тема, и я решила изучить чётность подробнее.

Объект исследования –  чётность натуральных чисел.

Цель исследования – изучение свойств чётности и применение их к решению задач, выявление области применения.  

Задачи  исследования:

• Изучить научно – популярную литературу по теме исследования.
• Изучить  свойства чётности натуральных чисел и научиться решать задачи на их применение.

Гипотеза исследования: чётность натуральных чисел можно использовать при  решении  задач.

Глава 1.  Чётность натуральных чисел

1.   Чётные и нечётные  натуральные числа

Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, начиная с 1 и до бесконечности, называются натуральным рядом.

Например: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;...

Натуральные числа бывают четными и нечетными.

 Чётное число — целое число, которое делится на 2. Чётные числа – это те числа, которые оканчиваются цифрами 0; 2; 4; 6; 8.

 Нечётные числа – это те числа, которые оканчиваются цифрами 1; 3; 5; 7; 9. Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка.

Если число  m чётно, то оно представимо в виде m = 2 k, а если нечётно, то в виде        m = 2 k + 1, где k –натуральное число.

Числа на чётные и нечетные поделили последователи Пифагора. Первым приписывалась энергия мужской силы, вторым – женской. Полагалось, что мужские числа приносят удачу и счастье. Женские же, наоборот, считались несчастливыми.

В Китае,  из древне,   нечётные числа отождествляются с понятием «ян» — небесным, неизменным (непреложным) и благоприятным. Чётные — с понятием «инь» — земным, изменчивым и зачастую неблагоприятным.

2.    Свойства  чётности

Для решения задач используются свойства чётности:

1. Сумма двух чётных чисел чётна. Сумма двух нечётных чисел четна. Сумма чётного и нечётного чисел – нечётна.

2. Сумма любого количества чётных чисел чётна.

Доказательство:  при последовательном вычислении суммы всегда все промежуточные результаты будут чётными, согласно свойству 1, либо: все чётные числа делятся на 2, поэтому из их суммы можно вынести множитель  2 за скобку.

3.Сумма чётного числа нечётных чисел чётна, сумма нечётного числа нечётных чисел нечётна.

Доказательство: если нечётных чисел – чётное число (2k), то разобьем их на пары (всего k пар). Сложим числа в каждой паре (сумма двух нечётных чисел – чётная). Получим сумму k чётных чисел, которая чётна согласно свойству 2. Если дано  нечётное число (2k+1) нечётных чисел, то возьмем все числа, кроме одного, т.е.  2k чисел. Их сумма чётна. Прибавим к ней оставшееся нечётное число и получим, что сумма всех чисел нечётна по свойству 1.

4. Сумма нескольких целых чисел чётна тогда и только тогда, когда среди них чётное число нечётных чисел.

Доказательство: сложим отдельно все чётные и отдельно все нечётные числа. Первая сумма всегда чётна (свойство 2), вторая чётна тогда и только тогда, когда в ней чётное число нечётных чисел (свойство 3). Если вторая сумма чётна, то сумма всех  чисел чётна, если она нечётна, то сумма всех чисел  нечётна (свойство 1), поэтому чётность суммы всех чисел определяется указанным в условии правилом.

5. Разность двух чётных чисел чётна. Разность двух нечётных чисел чётна. Разность чётного и нечётного чисел в любом порядке – нечётна.

6. Разность двух чисел имеет ту чётность, что и их сумма. Например: 3+2=5 и 3-2=1 – оба нечётны.

Можно заметить, что а+b=(а-b)+2b, т.е. сумма и разность двух чисел различаются на чётное число, следовательно, имеют одинаковую чётность.

7. Если один из множителей - чётное число, то и произведение чётно.

8. Если все множители нечётны, то и произведение нечётно.

        Рассмотрим некоторые задачи, которые ярко иллюстрируют применение  свойств чётности:

1.Чётно или нечётно число 1+2+3+4+…+2000?

Решение:  в приведенной сумме чётных и нечётных слагаемых по 1000 штук. Если число нечётных слагаемых чётно, то и сумма чётна. Сумма чётных слагаемых - чётна.  

Ответ: чётно.

2. Верно ли равенство 12+23+34+…+99100 = 20002007?

Решение: каждое слагаемое есть произведение чётного и нечётного числа, а значит, оно чётное (если один из множителей - чётное число, то и произведение чётно).  Сумма чётных слагаемых всегда чётна. Поэтому равенство неверно.

Ответ: нет.

Глава 2.  Применение чётности при решении задач

2.1.  Задачи на разрезание

Использование идеи чётности позволяет решать разнообразные задачи, в условии которых ничего не говорится о чётности.

Задача 1. Имеется 13 листов бумаги. Некоторые разрезали  или на 3, или на 5 частей. Затем некоторые из листов  опять разрезали  или на 3, или на 5 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 листов?

Решение.

        В условии задачи не сказано, сколько листов разрезали  на части каждый раз и насколько именно частей, поэтому перебирать возможные варианты сложно.

Будем рассуждать так:  если один лист разрезать  на 3 части, то листов станет на 2 больше, а если один лист разрезать  на 5 частей, то листов  станет на 4 больше. Разрезая лист или на 3, или на 5 частей, мы увеличиваем их общее число или на 2, или на 4, т. е. на чётное число листов.  Первоначальное число листов  13  -  нечётное, и, прибавляя  к нему каждый раз  чётное число листов,  нельзя  получить чётное число 100, так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная (свойства 1 и 4).

Ответ: нельзя.

        Исследуем,  как изменится решение, если разрезать на чётное число частей.

Задача 2. Имеется 13 листов бумаги. Некоторые разрезали  или на 4, или на 6 частей. Затем некоторые из листов  опять разрезали  или на 4, или на 6 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 листов?

Решение.

        В условии задачи не сказано, сколько листов разрезали  на части каждый раз и насколько именно частей.

Если один лист разрезать  на 4 части, то листов станет на 3 больше, а если один лист разрезать  на 6 частей, то листов  станет на 5 больше. Разрезая лист или на 4, или на 6 частей, мы увеличиваем их общее число или на 3, или на 5, т. е. на нечётное число листов.   Первоначальное число листов  13  -  нечётно.  Если к нему прибавить нечётное число  нечётных слагаемых, то получить чётное число 100 возможно, так как получим чётное число нечётных чисел. Если к нечётному числу 13 прибавить чётное число  нечётных слагаемых, то получить чётное число 100 невозможно.

Таким образом, отвечая на вопрос задачи  «Можно ли после нескольких таких операций получить 100 листов», скажем : «Да»

Например, сначала 10 листов разрезать на 6 части – добавится 50 частей, и 3 листа разрезать на 4 части – добавится 9 частей.

13 + 50 + 9 = 72 части

Затем, ещё 5 листов разрезать на 6 частей – добавится 25 частей и 1 лист на 4 части –добавится 3 части.

72+ 25 + 3 = 100 частей

Мы к числу 13 добавили 75 + 12 = 87 частей

 Ответ: можно

        А если первоначальное число листов чётно?

Задача 3. Имеется 12 листов бумаги. Некоторые разрезали  или на 3, или на 5 частей. Затем некоторые из листов  опять разрезали  или на 3, или на 5 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 листов?

Решение.

        Если один лист разрезать  на 3 части, то листов станет на 2 больше, а если один лист разрезать  на 5 частей, то листов  станет на 4 больше. Разрезая лист или на 3, или на 5 частей, мы увеличиваем их общее число или на 2, или на 4, т. е. на чётное число листов.  Первоначальное число листов  12  - чётное, и, прибавляя  к нему каждый раз  чётное число листов,  можно   получить чётное число 100, так как сумма  любого числа чётных слагаемых чётна.

Например, сначала  5 листов разрезать на 3 части – добавится 10 частей, и 5 листов разрезать на 5 частей – добавится 20 частей.

12 + 10 + 20 = 42 части

Затем, ещё 14 листов разрезать на 5 частей – добавится 56 частей и 1 лист на 3 части –добавится 2 части.

42 + 56 + 2 = 100 частей

Ответ: можно.

Задача 4. Имеется 12 листов бумаги. Некоторые разрезали  или на 4, или на 6 частей. Затем некоторые из листов  опять разрезали  или на 4, или на 6 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 листов?

Решение.

        Если один лист разрезать  на 4 части, то листов станет на 3 больше, а если один лист разрезать  на 6 частей, то листов  станет на 5 больше. Разрезая лист или на 4, или на 6 частей, мы увеличиваем их общее число или на 3, или на 5, т. е. на чётное число листов.  Первоначальное число листов  12  - чётное. Если к нему прибавить  чётное число нечётных или чётных слагаемых, то   можно   получить чётное число 100.

Например, сначала  10 листов разрезать на 6 частей – добавится 50 частей, и 2 листа разрезать на 4  частей – добавится 6 частей.

12 + 50 + 6 = 68 частей

Затем, ещё 4 листов разрезать на 4 частей – добавится 12 частей и 4 листа на 6 частей –добавится 20 частей.

68 + 12 + 20 = 100 частей

Задача 5. Можно ли квадрат размером 25 х 25 разрезать на прямоугольники 1 х 2?

Решение:

 Площадь квадрата равна квадрату его стороны.  Площадь прямоугольника    .  Число 625  не делится на 2 . Значит,  квадрат размером         25 х 25 нельзя разрезать на прямоугольники 1 х 2.

Ответ: нет.        

2.2.  Размен денег

Задача 6. Можно ли разменять 20 рублей  семью монетами, достоинство каждой из которых 1 руб. или 5 руб.?

Решение.

        В задаче требуется чётное число 20 представить в виде суммы нечётного числа 7 нечётных слагаемых  1 и 5.

Если взять любые две монеты, то получится чётное число рублей:

1 + 1 = 2,     1+5 = 6,     5 + 5=10,

поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей. Если же добавить седьмую монету достоинством 1 руб. или 5 руб., то получится нечётное число рублей.    

        Следовательно, 20 руб. нельзя разменять семью монетами по 1 руб. и 5 руб.

Ответ: нельзя.

Задача 7. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1 , 3 и 5 рублей?

Решение. 

        Каждая купюра – нечётное число рублей.

В задаче требуется нечётное число 25 представить в виде суммы чётного числа 10 нечётных слагаемых  1, 3 и 5.

Сумма чётного числа нечётных чисел чётна, поэтому не может равняться 25.

Ответ: нельзя.

2.3.   Не отрывая карандаша  от бумаги

Рассмотрим задачи, в условии которых нет чисел, но,  тем не менее,  именно идея чётности позволяет решить их.

Задача 8. Можно ли не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисовать одним росчерком:

а) распечатанный конверт

б) нераспечатанный конверт

Нарисовать, соблюдая условия задачи, распечатанный конверт умеют многие, а вот нарисовать нераспечатанный конверт не удалось ещё никому. В чём тут дело? Обратим внимание на то, что в одних точках сходится чётное число линий, назовём их чётными узлами, а в других нечётное число линии, назовём их нечётными узлами.

Отметим, что если узел нечетный, то в нём обязательно должно или начинаться, или заканчиваться рисование линии. Если же узел чётный, то в нём не обязательно начинать или заканчивать рисование линии — его можно пройти один или несколько раз, но если всё же если в нём начать рисование линии, то в нём же нужно и закончить.

Обозначим  чётные и нечётные узлы соответственно буквами «ч» и «н».

На распечатанном конверте  два нечетных узла, поэтому, начав рисование в одном из них и пройдя по всем линиям по одному разу, закончим рисование в другом нечётном узле. Так как на рисунке  имеется два нечётных узла и у линии, которую мы рисуем, одно начало и один конец, то распечатанный конверт можно нарисовать, соблюдая условия задачи (на рисунке  стрелками показано направление движения карандаша).

На нераспечатанном конверте  нечётных        узлов больше двух. Начав рисование линии в одном из них, невозможно его закончить во всех остальных нечётных узлах одновременно, так как искомая линия имеет одно начало и один конец. Поэтому нераспечатанный конверт нельзя нарисовать, соблюдая условия задачи.

Задача 9. Какие из приведенных  фигур можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

1)

2)

3)

Решение.

Все фигуры на первом рисунке можно  нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, т.к. нет "нечетных" узлов.  

Все фигуры на втором рисунке можно  нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, т.к. "нечетных" узлов 2. Начать надо  в одном из этих узлов, а закончить рисунок в другом узле.

         Фигуры на третьем  рисунке невозможно нарисовать таким способом, т.к. "нечетных" узлов в первой фигуре 4, а для куба таких узлов 8.

В следующих задачах ничего не говорится о карандаше и бумаге, но идея решения такая же.

Задача 10. Почтальон разнёс почту во все дома деревни, после чего зашёл с посылкой к Феде. На рисунке  показаны все тропинки, по которым проходил почтальон, причём, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды. В каком доме живёт Федя? Каков мог быть маршрут почтальона?

Решение.

Воспользуемся идеей чётности. Выясним,  есть ли нечётные узлы, и если есть, то сколько? Нечетных узлов  два:  Почта и  дом 5. Провести  линию,  не  отрывая карандаша от бумаги можно при условии, что обход начнется в одной из нечетных узлов и закончиться в другом нечётном узле. Поэтому почтальон начал обход в нечетном узле Почта, а закончил его в доме Феди, который  является нечётным узлом, т.е. в доме 5.

От почты идём к дому №7- 6- 5- 4- 3- почта- 1- 3- 2- 1-7- 5. Мы дошли до дома 5, и не прошли не по одной и той же дорожке ни разу.

 Ответ: Федя  живет в доме 5.

Задача 11.  Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возможных маршрутов.

Решение.

Среди залов музея есть только два — 5-й и 8-й, которые имеют  нечётное число дверей. Значит, начать можно в одном из них, а закончить в другом. В остальных залах чётное число дверей — они будут пройдены по одному разу, а 6-й и 7-й залы (в которых по 4 двери) — два раза.

Возможные маршруты:

5, 1, 2, 6, 5, 9, 10, 6, 7, 11, 12, 8, 4, 3, 7, 8.

8, 7, 11, 12,  8, 4, 3,  7, 6, 2, 1, 5, 6, 10, 9, 5.

Заключение

        В ходе исследования  я изучила вопросы, связанные с   чётностью натуральных чисел и её свойствами, выделила некоторые виды задач, при решении которых используется идея чётности.

        Практически все задачи, в которых используется чётность, не относятся к тем, которые решают на уроках математики. Чаще всего такие задачи встречаются на олимпиадах.  Поэтому работа над проектом для меня стала  подготовкой к олимпиаде по математике.

В процессе  работы подтвердилась выдвинутая мной  гипотеза. Действительно чётность  можно использовать при решении задач.

В ходе исследования мы выявили целый ряд задач, решение которых не может быть рассмотрено на уровне ученика 5 класса, поэтому работа по данной теме может быть продолжена по мере изучения школьного курса математики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Медников Л. Э. Чётность—4-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2013.60 с : ил.
2. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Математика. 5 класс, - М.: Просвещение, 2015
3. Шарыгин  И.Ф., Шевкин А.В. Математика: задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений.- М.: Просвещение, 2012 .-80с