Жизнь и деятельность Пифагора

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 8 г.Поронайска

Жизнь и деятельность Пифагора

Выполнил ученик 8 класса Гулаенко Виталий

Учитель: Сафенкова Е.Н.

г.Поронайск, 2015

Содержание:

1. Биография Пифагора
2. Разгром пифагорейского союза
3. Пифагорейская школа.
4. Пифагор и литература
5. Литература

Биография

Пифагор Самосский (570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

Он родился около 570 года до нашей эры в Сидоне, Финикия на острове Самос . Меньше пяти километров голубой воды залива Кушада отделяло остров от берегов Малой Азии.

Мать Пифагора звали Пифазис. Это имя она получила от собственного мужа в честь   Пифии, жрицы Аполлона. Пифия предсказала Мнесарху и его жене появление на свет сына, который превзойдет всех в уме и красоте. Сын также был назван в честь
  Пифии. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Первые познания он получил от своего отца Мнесарха, ювелира, резчика по драгоценным камням: в те времена эта профессия требовала многосторонней образованности. Он был достаточно богат, чтобы дать сыну хорошее воспитание. В детстве Пифагор много путешествовал с отцом, посетил Сирию, Италию.

Пифагор с ранних лет стремится узнать как можно больше. Как всякий отец, Мнесарх мечтал, что сын будет продолжать его дело — ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. Среди учителей юного Пифагора были Ферекид Сиросский и старец Гермодамант. Первый привил мальчику любовь к науке,
  второй – к музыке, живописи и поэзии Гомера. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады», а также прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.

Воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. По совету Фалеса Пифагор отправляется в Египет за знаниями. Отец Пифагора был достаточно влиятельным гражданином острова Самос, и был достаточно близко знаком с правителем острова тираном Поликратом. Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён в таинства, запретные для прочих чужеземцев. То есть прибыл Пифагор в Египет фактически в качестве посла или консула острова Самос (по современным представлениям). Такая роль Пифагора дала ему возможность посетить многие из храмов Египта и участвовать в обсуждениях со священниками самых разных вопросов. Он прошел по дорогам Египта и 12 лет жил в Вавилоне, затем в Финикии, Сирии, побывал в долине   Евфрата и несколько лет жил у халдеев. После этого через Мидию и Персию переходит в Индостан, где также проводит несколько лет.  В Египте Пифагор приобщается к математике и создает из нее центр своей философской системы. В Вавилоне он изучает восточные религии. Пифагор вводит в   обращение слово «философ». До него ученые называли себя мудрецами – теми, кто «знает». Пифагор называет себя философом – тем, кто «пытается узнать». Согласно Порфирию – главному источнику сведений о Пифагоре, в храме Диосполисе он был принят в духовенство после совершения всех необходимых обрядов для допуска к храму.

 Научившись всему, что дали ему жрецы, он двинулся на Родину в Элладу.

Ямвлих сообщает:

«Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.»

Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей.

В Кротоне Пифагор задумывает создать собственную философскую школу. Она сыграла важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Одной из особенностей   школы было почти священное почитание учителя. Только тех, кто прошел многие ступени знаний, Пифагор называет своими ближайшими учениками и допускает во   двор своего дома, где беседует с ними.  Пифагорейцы занимаются геометрией, математикой, гармонией, астрономией.

Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору, какие - его воспитанникам. И еще неизвестно, он ли вывел прутиком на песке чертеж Пифагоровой теоремы, известной сегодня каждому школьнику. Они часто гуляли и на прогулках занимались наукой, так что очень вероятно, что теорема родилась на песке. Так же как и доказательство того, что сумма внутренних углов любого треугольника равна двум прямым. Так же, как геометрические решения квадратных уравнений. И может быть, в радостном удивлении склонились они однажды над зыбким чертежом своим, боясь, что ветер унесет первое в истории доказательство несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны.

Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора. Сейчас известно, что эта теорема была известна до него, но именно Пифагор первым доказал ее.

Ещё раз напомним, что и  до Пифагора древние египтяне знали о том, что    треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители, и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более пяти сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось.

Рассказывают - это опять лишь легенда, - что, когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в жертву 100 быков. Немецкий поэт Шамиссо много веков спустя написал об этом стихи. Он говорил в них, что со времен Пифагоровой жертвы все скоты на земле дрожат от страха, когда открывают что-нибудь новее. Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Гераклит утверждал, что Пифагор ученее всех современников, хотя и считал, что в гении его есть "худое искусство - магия", противная богам. "Они признали математические начала за начала всего существующего", - пояснял Аристотель. Четные числа, например, допускавшие раздвоение, казались пифагорейцам более разумными, олицетворяли некое положительное явление. Так число получало характер, теряло вечное абстрактное начало, как теряют абстракцию числа 2 или 5 для школьника, выводящего мелом "пифагоровы штаны". Число 4, например, олицетворяло у пифагорейцев здоровье, гармонию, разумность. Мистика цифр оказалась очень живучей и дожила до наших дней. Много веков спустя после смерти Пифагора церковники "изобрели" "чертову дюжину", объявили 12 знаком счастья и нарекли 666 "числом зверя". Но в преклонении перед гармонией цифр, перед незыблемостью математической логики было и великое откровение, которое Гегель называл смелостью, о которой писал Энгельс: "Подобно тому, как число подчинено определенным законам, так подчинена им и вселенная; этим впервые высказывается мысль о закономерности вселенной".

Пифагор изучал акустику. Он нашел, что все музыкальные интервалы подчинены простейшим рациональным числовым отношениям. Он изучал астрономию, считал Землю шаром, первым вывел наклон эклиптики и планетных орбит и построил свою систему мира, опять-таки отражающую, по его мнению, великую гармонию чисел. Он даже душу математизировал, утверждая, что "душа - солнечные пылинки".

Пифагор одним из первых заявляет, что Земля является центром Вселенной и имеет   форму шара, а Солнце, Луна и прочие планеты имеют собственную траекторию
движения.

В целом можно с уверенностью сказать, что изучение космоса и постижение, благодаря этому, структуры мироздания, было одним из важнейших направлений деятельности Пифагора. Примечательно следующее свидетельство Аристотеля:
"Для чего именно из всех существующих вещей природа и бог породили нас? Пифагор, когда его об этом спросили, ответил: 'Чтобы наблюдать за небосводом'".
В честь Пифагора названы малая планета (астероид) номер 6143 и лунный кратер Pythagoras.

Вот некоторые заповеди Пифагора и его учеников:
- Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
- Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать...
- Не пренебрегай здоровьем своего тела...
- Приучайся жить просто и без роскоши.
- Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.

В возрасте примерно 60 лет Пифагор женится на Феано, одной из своих учениц. У
  них рождается 3 детей (два сына и дочь), и все они становятся последователями
  своего отца.   Пифагор принимает большое участие в политической жизни Кротона. По его инициативе создается аристократический правящий орган – «Совет трехсот».
  Пифагор сам возглавляет его в течение примерно 25 лет. Постепенно «Совет   трехсот» распространяет свое влияние и на соседние города.  

Разгром пифагорейского союза

Среди последователей и учеников Пифагора оказалось немало представителей знати, которые пытались изменить законы в своих городах в соответствии с пифагорейским учением. На это наложилась обычная борьба той эпохи между олигархической и демократической партиями в древнегреческом обществе. Недовольство большинства населения, не разделяющего идеалов философа, вылилось в кровавые мятежи в Кротоне и Таренте.

Ямвлих со ссылкой на Аполлония, который пользовался архивами из Кротона, излагает разгром пифагорейцев в Кротоне так:

«Пифагорейцы образовали большое сообщество (их было более трёхсот), но оно составляло лишь небольшую часть города, который уже не управлялся согласно тем же обычаям и нравам. Впрочем, пока кротонцы владели своей землёй, и Пифагор находился у них, сохранялось государственное устройство, существовавшее от основания города, хотя были недовольные, ожидавшие удобного случая для переворота. Но когда завоевали Сибарис, Пифагор уехал, а пифагорейцы, управлявшие завоёванной землёй, не распределили её по жребию, как хотело большинство, то затаённая ненависть вспыхнула, и множество граждан выступило против них… Родственники пифагорейцев относились с ещё большим раздражением к тому, что те подают правую руку только своим, а из близких — только родителям, и что они предоставляют своё имущество для общего пользования, а от имущества родственников оно отделено. Когда родственники начали эту вражду, остальные с готовностью присоединились к конфликту… Через много лет… кротонцами овладели сожаление и раскаяние, и они решили вернуть в город тех пифагорейцев, которые ещё были живы.»

Много пифагорейцев погибло, выжившие рассеялись по Италии и Греции.

Согласно Порфирию и сам Пифагор погиб в результате антипифагорейского мятежа в Метапонте, однако другие авторы не подтверждают этой версии, хотя охотно передают историю о том, будто бы удручённый философ уморил себя голодом в священном храме.

Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)                  Шартрский собор, статуя Пифагора

Пифагорейская школа.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести «пифагорейский образ жизни». Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников. О силе его воздействия на слушателей говорит такой факт: «Когда он однажды произнес речь, направленную против роскоши, то все женщины отнесли свои нарядные платья в храм Геры, так как ни одна из них не решалась показаться на улице в дорогом одеянии».

 Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа и, тем более, естествоиспытателя, принесли Пифагору успех. Говорят, что Пифагор был первым человеком, который назвал себя философом. В самом деле, мир обязан как раз ему этим термином. До него умные люди называли себя мудрецами, что означало человек, который знает. Пифагор же был гораздо скромнее. Он ввел в обращение термин - философ, который определил как «тот, кто пытается найти, выяснить». Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Для всех было у него одно правило: беги от всякой хитрости; отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошь, от города – смуту, от семьи – ссору. Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышления, – когда идешь ко сну и когда пробуждаешься ото сна. День пифагорейцу надлежало закончить стихами: «Не допускай ленивого сна на усталые очи, прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: «Что я сделал? Что не сделал? И что мне осталось сделать?», и начинать день со стихов: «Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, душой раскинь, какие дела тебе день приготовил».

Эти стихи современны и по прошествии двух с половиной тысячелетий.

Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы шли на морской берег встречать рассвет, делали гимнастические упражнения, принимали завтрак. В конце дня совершали совместные прогулки, морское купание и ужинали, а после ужина – возлияние богам и чтение. Как видим, пифагорейцы с равным усердием заботились о физическом и духовном развитии.

В основе религиозно-философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире. «Числа – суть боги на земле», – говорил он. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизнью. Обучение в школе было двухступенчатое. Одни ученики назывались «математиками», т. е. познавателями, а другие – «акусматиками», т. е. слушателями. Математики – те, кто изучал суть науки, акусматики – те, кто прослушивал обобщенный свод знаний. Акусматики представляли первую ступень в школе Пифагора. Наиболее одаренные акусматики переводились в математики, им разрешалось видеть учителя, вести с ним научные споры. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа древними греками мыслились зримо в виде камешков (популярные сегодня слова «калькуляция», «калькулятор» произошли именно от счета камешков, разложенных на песке или на счетной доске – абаке).

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур; эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством. [2, 3]

Поработав с биографией ученого, мы узнали много интересного о жизни этого замечательного человека, но для меня остался открытым вопрос о происхождении теоремы, названной в честь ученого, о способах доказательства и ее применении.

Теорема Пифагора и способы её доказательства.

«Теорема Пифагора имеет множество других названий: «теорема невесты», «теорема нимфы», «теорема бабочки», «теорема ста быков», «бегство убогих».  

Зато не найти никакой другой теоремы, имеющей столько всевозможных названий. Во Франции и Германии в Средневековье теорему Пифагора  называли «мостом ослов» или «бегством убогих», потому что перед экзаменом, содержащим вопросы по этой теме, начинался массовый отток нерадивых студентов. У математиков арабского Востока эта теорема получило интересное название – «теорема невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Эвклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчёлкой, бабочкой (по-гречески – «нимфа»). Но  словом  «нимфа» греки называли ещё и некоторых богинь, а также молодых женщин и невест.

        При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертёж, перевёл  слово «нимфа»  как «невеста», а не  как «бабочка». Так появилось ласковое название знаменитой теоремы Пифагора – «теорема  невесты».

        Какие тайны содержит теорема Пифагора, чтобы посвящать ей   написание данной работы:

1) Во-первых, это символ математики. «Великий Гаусс предлагал её использовать в качестве первого сообщения внеземным цивилизациям о существовании на Земле разумной жизни, проведя в лесах России огромные вырубки в форме  «пифагоровых штанов», чтобы этот чертёж видно было из космоса».

2) Во-вторых, теорема Пифагора представляет нам богатейший материал для обобщения – важнейшего вида мыслительной деятельности, основы теоретического мышления, которым в совершенстве владеют многие учёные.

        Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Формулируется следующим образом: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

        Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и  математику Пифагору Самосскому (VI в. до н.э.).  Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей (копий ещё более древних манускриптов) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно, за несколько тысячелетий до него.

        «О наиболее известном частном случае теоремы – «египетском треугольнике» со сторонами 3,4 и 5 говорится в папирусе, который историки относят к 2000 году до н.э.».  

        «Более 25 веков знаменитая теорема Пифагора известна людям». В настоящее  время  существует  несколько  сотен  доказательств этой теоремы».

        Заслуга же Пифагора состояла в том, что учёный  первым открыл доказательство этой теоремы.   Открытие теоремы Пифагором окружено множеством красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Так, оптимист Михаил Ломоносов  писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А вот ироничный Генрих Гейне видел  развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».

Вот как звучит знаменитая теорема Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

«Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н.э.), сделанный Герхардом Клемонским (начало XII века), в переводе на русский язык гласит:

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

В Geometria Culmonensis (ок. 1400 г.) в переводе теорема читается так:

«Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В первом русском переводе евклидовых  «Начал», сделанном Ф.И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».^[1]

        В настоящее время теорема звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Пифагор и литература.

Многие при имени Пифагора вспоминают его теорему, но мало кто знает, что он имел отношение не только к математике, но и к литературе…

Пифагор - это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями…

• Мысль — превыше всего между людьми на земле.
•  Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).
• Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).
•  По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).
• Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).
• Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели,  к труду).
• В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).                          

Легенда о смерти Пифагора.

Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в

колеблющемся свете факелов все увидели распростертого  на земле

Старца и неподалеку от него - мальчика 12 лет с лицом, перекошенным от ужаса.

- Кто это? - спросил начальник караула у мальчика.

- Это Пифагор, - ответил тот.

 - Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет  гражданина с

таким именем.

-Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был

скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили

его и убили.

- Сколько их было?

-Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в

сторону и накинулись на него.

Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца.

- Конец, - сказал он.

                            Любовный треугольник Пифагора

Здесь не помогут ямб и дольник,

хорей и дактиль грудь не выставят.

Попав в любовный треугольник,

готовься выдюжить и выстоять,

на плечи взять хрустальным грузом

сознанье: разобьешься вдребезги! -

И по его гипотенузе

пройти, страховкою побрезговав;

измерить все своим аршином,

и торопясь - ведь все мы смертные! -

его углы, его вершины

постичь без всякой геометрии:

лбом - об углы! Вершины - приступом

сердечным, нитроглицериновым

(уж если кудри серебристые,

не дорожить же сердцевиною!)

Ни теореме Пифагора

не поддается он, ни времени -

Любви Бермудский Треугольник

разносторонний, тазобедренный...

 Пребудет вечной истина, как скоро

 Ее познает слабый человек!

 И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

 Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

 За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать.

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Монета с изображением Пифагора

  Литература:

1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича.
2. Волошин А.В. Пифагор. – М.: Просвещение, 1993.
3. Газета «Математика», № 21, 2006.
4. “Энциклопедический словарь юного математика”
5. А.П. Юшкевич «История математики в средние века»  М., 1961.
6. http://festival.1september.ru
7. http://powerpoint.net.ru
8. pifagor.htm
9. http://forum.edunet.uz/lofiversion/index.php/t83.html
10. articles/690.html
11. res113317.html
12. p78.htm
13. http://pifagor.edunet.uz/biografy.htm