Считаем без калькулятора

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №5 г. Сергиева Посада»

Научное объединение учащихся

«Земляне»

Творческая работа

по теме:

«Считаю без калькулятора»

Автор: Пукалева Полина, 7 «Д» класс

Руководитель: Строгалина Надежда Николаевна,

учитель математики

Сергиев Посад

2014 г.

♦  Цели и задачи………………………………………………………………..

♦  Введение………………………………………………………………….…..

♦  Арифметические способы быстрого счёта……………………………..        

♦ Алгебраические способы быстрого счёта………………………….……..

♦ Как считали в старину?................................................................................

♦ Заключение……………………………………………………………………

♦ Литература………………………………………………………………….

• Найти как можно больше различных необычных способов вычислений.
• Научиться их применять.
• Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Мне всегда нравилось играть с числами. По дороге  в детский сад я любила решать задачки, которые мама сочиняла для меня. Мы называли это «утренней математической зарядкой». Когда я пошла в школу, я стала задумываться, как можно считать быстро в уме. Несколько способов устного счета мне показала учительница начальных классов. А, став старше, я стала читать дополнительную литературу и узнала, что существует множество других способов.

В своей работе я постаралась проанализировать разные способы быстрого счета без калькулятора.

Известный педагог С.А. Рачинский в своих "Заметках о сельских школах" сообщает, что он вел занятия с мальчиками преимущественно по устному счету.

"На мой вопрос, сколько будет 84 • 84, один мальчик мгновенно ответил: 7056.

— Как ты сосчитал? — спросил я его.

 — Я взял 50 • 144 и выкинул 144.

Действительно: 50 • 144 - 144 = 7200 - 144 = 7056.

Мальчик моментально сообразил, что 84 • 84 = 7 -12-7 • 12 = 7 -7 • 12 • 12 = = 49 • 144, или

 50 • 144 - 144.

Лучшего упрощения нельзя и придумать.

(В А. Игнатьев)

                                 1.1.Умножение и деление на 4

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают. Например:

26∙4=(26∙2)∙2=108

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2. Например:

148: 4= (146:2):2=? (Попробуйте решить)

                                1.2        Умножение и деление на 5

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить его на 0,2. То есть  удвоить число и отделить запятой последнюю цифру. Например:

245:5=245∙0,2=49

Чтобы умножить число на 5, умножить на 10 и разделить на 2. Например:                                                127·5= (127·10): 2=  635

                                1. 3.        Умножение на 25

Чтобы  умножить  число  на  25,  надо число умножить на 100 и разделить на 4. Например:

34·25 = (34·100): 4 = 850

                                1. 4.        Умножение на 1,5

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Например:

24∙1,5 = 24+12 = 36;

129∙1,5= 129+64,5=193,5.

                                1. 5.        Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например:

241·9 = 2410- 241=2169.

                                1. 6.        Умножение на 11

1) Чтобы умножить число на 11, к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число. Например:

241·11=2410 + 241 =2651.

2) Чтобы умножить двухзначное число на 11,  на месте десятков пишут сумму цифр изначального числа, например:

39∙11=300+10(3+9)+9=300+100+10∙2+9=429.

Если сумма больше 10, то к сотням добавляют единицу.

1.7. Задания на закрепление материала.

213∙4=?        66∙1.5=?          32∙9=?        567∙5=?

736:5=?        234∙11=?        52∙11=?        12∙25=?

следующие способы  опираются на алгебраические формулы

2.1.Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), надо число его десятков умножить на число десятков, увеличенное на 1(на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25 (6·7=42). Ответ: 4225. Например:

952=9025;        1252= 15625.

9·10        12·13

Число, оканчивающееся цифрой 5, записывается в виде 10n+5, где n - число десятков. Используя формулу квадрата суммы, получаем:

(10n + 5)2=(10n)2+2·10n·5+5²=100n2+ 100n + 25=100n·(n+1)+25.

2.2. Умножение по формуле разности квадратов (a— b)·(a+b)=a2—b2 

На числовых примерах представлены возможности ее использования.

Примеры:

1. 98·102= (100 — 2)·(100 + 2) = 1002 —22 = 10 000-4=9996.
2. 43·37= (40 + 3)·(40 — 3) =402-32= 1600-9= 1591.
3. 94·96= (95— 1)·(95+1) =952—12 = 9025-1=9024.

2.3. Умножение двузначных чисел, близких к 100.

Если нужно перемножить два числа, близких к 100 (например, 92 и 97), то:

1)Найдите число, которое в сумме с данным числом дает 100,
и запишите его под соответственным числом:

92                               97

+                             +

8                                 3;

        2)Вычтите из одного множителя число, которое недостает до 100 во втором множителе (92 — 3 = 89);

        3)к результату припишите произведение чисел, дополняющих
данные числа до 100 (8·3 = 24), получаем   8924 .

         Если произведение представляет собой трехзначное число, то приписываются две последние цифры произведения, а третья цифра прибавляется к разности.

Примеры:

1)86 · 98;     86-2 = 84;         14·2 = 28.

    +     +

    14    2

Ответ: 8428.
     2)  88 · 91;     88-9 = 79;    12·9=108

    +    +

  12    9

Ответ: 8008 (к 79 приписали две последние цифры числа 108, а единицу добавили к разряду сотен).

Трудно сказать, кто и когда изобрел счет. Люди научились считать еще в древности. Начало счета и измерений ученые находят уже у первобытных народов. Очевидно то, что счет возник из практических потребностей, ведь уже на очень ранней ступени развития человек должен был подсчитывать количество добычи, урожая, поголовья и стоимость стада, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счёт времени. Древнейшие меры измерений связаны с человеческим телом: шаг, локоть, фут (ступня). Это говорит о том, что сначала люди научились измерять длину. А так как измерение предполагает умение считать, то у людей появилась необходимость разработать приемы различных вычислений.

Сначала люди использовали для счета пальцы рук. Так зародилась используемая и ныне десятичная система счисления, в основу которой лег десяток (количество пальцев рук).

Со временем способы счета стали  совершенствоваться. С возникновением цивилизации потребность в счете увеличилась, люди стали придумывать разные методы для облегчения счета. Далее я предлагаю рассмотреть несколько старинных методов, которые можно использовать и в наши дни.

3.1. Сложение многозначных чисел

При сложении многозначных чисел устно складывают цифры каждого столбца, результаты последовательных сложений записывают, затем находят общий результат. Желательно сделать проверку слева направо

Пример:           25 432               проверка:  12

                         45 754                                    27

                         38 268                                      18

                         39 564                                         20

                                18                                            18

                             20                      149018

                 18

               27        

              12____

              149018        

3.2. Способы умножения многозначных чисел

3.2.1. Метод «решетки»

Этот способ носит романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение). Рисуется решетка, в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений, точнее, числа из таблицы умножения. Решетка является прямоугольником, разделенным на квадратные клетки, которые, в свою очередь, разделены пополам диагоналями. Слева (сверху вниз) писался первый множитель, а наверху — второй. На пересечении соответствующей строки и столбца писалось произведение стоящих в них цифр. Затем полученные числа складывались вдоль проведенных диагоналей, а результат записывался в конце такого столбика. Результат прочитывался вдоль нижней и правой сторон прямоугольника.

567∙3984=2258928

«Такая решетка, — пишет Лука Пачиоли, — напоминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь»

            3.2.2.древнеиндийские методы

       Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили  употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

       Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от  того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

        Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:    

                           537∙6=3222

   (5 ∙ 6 =30)                                     30     (дальше приписывается 0)

   (300 + 3 ∙ 6 = 318)                        318

   (3180 +7 ∙ 6 = 3222)                    3222

В Индии также широко использовался особый способ умножения чисел, называемый  способом крестика или хиазм (молния).

Состоит он в том, что сразу находят цифры произведения одну за другой справа налево. Покажем, как это делается, на примере 47∙76:

Подписываем множитель под  множимым, но при этом цифры пишем в 2 раза реже (с промежутками). Ищем цифру единиц произведения. Но единицы могут получиться лишь от умножения единиц множимого на единицы множителя, как показано черточкой между ними, т. е. от умножения 7 на 6. Получаем 42, цифру 2 подписываем под единицами, а 4 десятка запоминаем.

Теперь ищем десятки   произведения. Они могут получиться от умножения десятков множимого на единицы множителя и от умножения единиц множимого на десятки множителя, что показано крестиком. Имеем 4∙6 + 7∙7 = 73, да 4 в уме, всего 77 десятков. Пишем под крестиком 7, а 7 сотен запоминаем.

Ищем цифру сотен произведения. Сотни могут получиться от произведения десятков множимого на десятки множителя, как показано черточкой, т. е. 4 надо умножить на 7, получаем 28, да 7 в уме, всего 35 сотен, которые и  пишем.

3.2.3.древнеегипетский метод

 ♦ 1……….86♦                                         

    2……….172

    4……….344

    8……….688

   16……….1376

   32……….2752

 ♦64……….5504♦

  65∙86=5504+86=5590

Этот метод в книге был дан без объяснения. И мне пришлось поломать голову над его расшифровкой. Попробуйте и вы догадаться, в чем его суть. Свое объяснение я привожу в электронной версии работы. Для облегчения вам предлагается этот же пример, но множители поменялись местами:

                                   1……….65

♦2……….130♦

♦4……….260♦

  8……….520

♦16………1040♦

                   32………2080

♦64………4160♦

86∙65=4160+1040+260+130=5590

3.2.4.крестьянский метод

Русские крестьяне умели умножать и без таблицы. Их способ умножения использовал лишь умножение и деление на 2. Чтобы перемножить два числа, их записывали рядом (рис. 3), а затем левое число делили на 2, а правое умножали на 2. Если при делении получался остаток, то его отбрасывали. Затем вычеркивались те строчки в левой колонке, в которых стоят четные числа. Оставшиеся числа в правой колонке складывались. В результате получалось произведение первоначальных чисел. Я предлагаю два варианта записи решения:

               86……….65

  ♦43……….130♦

  ♦21……….260♦

    10……….520

   ♦5………1040♦ использовали итальянские купцы в 18-19 веках.  

     2………2080

   ♦1………4160♦

     86∙65=130+260+1040+4160=5590

3.3. умножение на пальцах.

Каждый вспомнит, как трудно заучивать наизусть таблицу умножения. Между тем эту работу можно существенно облегчить, если воспользоваться одним старым способом вычисления на пальцах. Вот как описывает его Магницкий на примере вычисления умножения семь на семь: Загнем на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. В рассмотренном примере на каждой из рук будет загнуто по 2 пальца.

Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых, то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения (в дано примере 4 десятка и 9 единиц). Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел,  больших 5.

А вот еще один способ запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: Первый палец слева обозначим 1, второй за ним – 2 и т.д. до десятого, который означает 10.

Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается 9. Тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.  

6∙9=54

 (5 пальцев справа - десятки, 4 пальца слева – единицы)

3.4. палочки Непера

В таблицу умножения Пифагора шотландский математик Непер (1550-1617 гг.) внес некоторые изменения, пользуясь которыми можно значительно упростить умножение и деление многозначных чисел. Непер отделил в таблице Пифагора косой чертой десятки произведения от единиц, в результате таблица приняла следующий вид:

Числа верхней строки принимаются за множимое, а левой вертикали — за множитель. Произведение находится так же, как и по таблице Пифагора. Например: 7 • 8 = 56; десятки (5) отделены от единиц (6) диагональю. Если десятков в произведении нет, то на их месте пишется нуль.

Дальше Непер придал всей таблице подвижной характер, разрезав ее по вертикали на 10 полосок. По числам первой горизонтальной строки (множимое) путем перестановок составляются любые числа, а по вертикали, прикладывая 11-ю полоску (множитель), находят произведения их на любые числа от одного до девяти. Если в середине числа встречаются нули или повторяющиеся цифры, то для умножения таких чисел делаются запасные полоски. Так, если нужно набрать число 1676, необходимо заготовить вторую полоску произведений числа 6. Для числа 2007 нужна вторая полоска произведений нуля. Таблица для удобства пользования наклеивается на картон или тонкую фанеру и разрезается на полоски. В таком виде полоски известны под названием палочек Непера.

Палочки Непера облегчают умножение и деление многозначных чисел, особенно в соединении со счетами.

Умножение многозначного числа на однозначное

Например: 214 умножить на числа от 1 до 9

214 • 1 =214

214 • 2 = 428

214- 3 = 642 (3 дес. + 1 дес.)

214 • 4 = 856 (4 дес. + 1 дес.)

214 • 5 = 1070 (5 дес. + 2 дес.)

214 • 6 = 1284 (6 дес. + 2 дес.)

214 • 7 = 1498 (7 дес. + 2 дес.)

214 • 8 = 1712 (8 дес.+ 3 дес.; 6 сот. + 1 сот.)

214 • 9 = 1926 (9 дес.+ 3 дес.; 8 сот. + 1 сот.)

Умножение трехзначного числа на двузначное         

З92∙79

сводится к последовательному умножению множимого сначала на десятки, а  - потом на единицы множителя.

Складываем неполные произведения

        27440    (392 • 7 дес.)

                                  +  3528        (392 • 9 ед.)

        30968

Счет очень важен в нашей повседневной жизни. Поэтому надо тренировать мозг, стараясь использовать как можно больше методов быстрого счета. Надеюсь, моя работа, в которой я постарался собрать накопленные  нашими предками знания, а также разработанные мною способы, поможет и тем, кому нравится математика, и тем, кто испытывает затруднения.

1) А. П. Савин и др. «Я познаю мир. Математика.», 1997

2) Л. М. Фридман «Изучаем математику», 1995

3) А. Я. Котов «Вечера занимательной арифметики», 1967

4) С. Н. Олехник и др. «Старинные занимательные задачи», 1985

5) Энциклопедия для детей. «Математика», 2003

6) С. Акимова «Занимательная математика. Нескучный учебник», 1998.

выводы

Я считаю, что в данной работе я выполнил поставленные цели и задачи:

1. Постарался найти с помощью дополнительной литературы, собственных наработок, учителя как можно больше различных необычных арифметических способов вычислений.

2. Я узнал, что существуют методы, основанные на знании и применении формул сокращенного умножения.  

3. Я применяю самые интересные или более легкие способы на практике при счете. Правда, некоторые способы я еще не очень хорошо понял, наверное, потому, что мы еще не изучали в школе эти формулы.  Но, я знаю, что со временем и более сложные методы я хорошо освою.

4. Я узнал, какими способами считали в старину. В этой работе я описал алгоритмы и показал применение следующих методов:

  * решетчатое  умножение

* древнеиндийские  методы

* древнеегипетский  метод

* метод  русских  крестьян

5.  Каждый помнит, как трудно заучивать наизусть таблицу умножения. Между тем эту работу можно существенно облегчить, если воспользоваться одним старым способом вычисления на пальцах. Его описание я нашел в книге о работе Магницкого и привел в данной работе. Кроме того, зная, как сложно запоминают ученики умножение на 9, я разыскал подобный способ вычисления на пальцах.

6. Теперь я знаю, что использовали вместо калькулятора в 16-17 веках кроме счёт. В то время были широко распространены палочки Непера, которыми можно значительно упростить умножение и деление многозначных чисел.

Шотландский математик Непер (1550-1617 гг.), внес некоторые изменения в таблицу умножения,  придал всей таблице подвижной характер, разрезав ее по вертикали на 10 полосок. Этот способ помогает тем, кто не может быстро считать в уме. Кстати, пятиклассники в школе ППРК с удовольствием пользуются палочками Непера.

7. Больше всего мне понравились старинный метод сложения  многозначных чисел, палочки Непера, умножение на пальцах.