Прогрессия- вчера,сегодня,завтра

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОДИНЦОВСКАЯ  ГИМНАЗИЯ №13

(143000,Московская область,г.Одинцово,ул.Молодёжная,д.3-А)

тел.593-27-24

КОНКУРСНАЯ РАБОТА

«Золотое сечение» (математика)

« Прогрессия – вчера, сегодня, завтра»

исследовательская работа

Выполнила:                                                                                                                                                           Астахова София, 9 класс                                                        Московская область,

г.Одинцово, ул.Садовая, дом 22А

Руководитель:                                                                                 Дьякова Татьяна Владимировна,                                                                                 учитель математики

Одинцовской гимназии № 13

Одинцово

2017

Оглавление

Введение…………………………………………………………..…………..стр.3

I. Прогрессии «вчера»……………………………………………………...стр.4-7

1.1.Из истории прогрессий.….………..….…………………………..……...стр.4

1.2.Первые задачи………………..…...………….….…………….……….…стр.5

1.3.Прогрессии в старинных задачах..…………………………………….стр.6

II. Прогрессии «сегодня»...…………………………..………………..… стр.7-12

2.1. Прогрессии в литературе …………………..…………………….…..…стр.7

2.2  Прогрессии в повседневной жизни……………..……………….……..стр.8

2.3  Прогрессии и решение уравнений…………………………………...…стр.9

2.4  Прогрессии в медицине………………………..…………………….стр.9-10

2.5 Прогрессии в биологии……………………………………………….…стр.10

2.6   Прогрессии в физике……………….………………………………….стр.11

III. Прогрессии «завтра»………………………………………………...стр.12-13

IV. Прогрессии в условиях города Одинцово………………..……………стр.13

III. Заключение…………………………………………………………….. .стр.14

Литература…………………………………………………………………..стр.15

Введение.

Наша жизнь полна различных вычислений. Овладение математическими знаниями помогает в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры.

Изучая математику внимательнее, можно заметить, что рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

При изучении разных разделов алгебры часто ученики спрашивают : « А зачем нам это нужно?». Вот и при знакомстве с прогрессиями перед нашим классом встал вопрос: возможно ли  применять формулы прогрессий в жизни и если да, то как?  С учетом этого я выбрала следующую тему исследовательского проекта:  «Прогрессии - вчера, сегодня, завтра». Я решила исследовать какие существуют   возможности использования знаний о прогрессии , в частности ответить на вопросы : как они применялись раньше, в каких сферах их используют сейчас и будут ли они востребованы в будущем? Можно ли увидеть  прогрессию в природе, науке и других областях жизни человека? Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  

Актуальность  исследования заключается в том, что  теоретические знания имеют широкое применение в жизни, а понимание этого мотивирует учеников к активному обучению.

Проблема исследования выяснить какая существует возможность практического применения материала темы «Прогрессии»

Предмет исследования задачи, решаемые с помощью использования формул прогрессий .

Объект исследования   прогрессии в практических задачах

В основу исследования положены способы использования формул прогрессий в древности, в настоящее время, в различных областях человеческой деятельности и перспективы применения.

Гипотеза. С помощью знаний о прогрессиях  можно выполнять вычисления  реальных объектов; знания , получаемые в школе , имеют практическую значимость

Цель работы – исследовать сферы применения прогрессий для решения практических задач, научиться  использовать формулы в их решении.

Задачи:

•  Определить когда и как стали применять прогрессии

•  Рассмотреть  сферы использования прогрессий

• Исследовать задачи, решаемые с помощью прогрессий

• Составить задачи на использование формул прогрессий

Методы исследования:  

поиск, анализ, решение, систематизация

Этапы работы:

1.Изучить литературу по данной теме.

2.Провести работу по решению задач , практической направленности.

3. Составить перечень наук , использующих формулы прогрессий

Работа носит практико-ориентированный характер, так как      практическая значимость работы заключается в возможности использования результатов исследования на уроках алгебры и в повседневной жизни.

II. Прогрессии «сегодня»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...                                           A.С. Пушкин  

2.2. Прогрессии в повседневной жизни

Многие процессы в нашей привычной жизни развиваются в «прогрессии», некоторые быстрее, другие постепенно. Посмотрим ,например , такие жизненные ситуации.

Удивительно, как быстро разбегаются по деревне слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела всю деревню: все о ней знают, все слышали.

Задача 1: В деревне 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине деревни? Если слух распространяется по деревне и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

 в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

9.15 121+81 ·3 =364 (человек);

9.30 364+243 ·3=1093 (человек);

9.45 1093+729 ·3=3280 (человек);

10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек)

Задача 2:За 16 дней Карл у Клары украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше , чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день?
Решение.
S16=1/2 (28a1+ 3*15) *16
472=16*a1 + 360
a1=(472-360) : 16=7
a16= 7+3 * (16-1) = 52
Ответ: 52 коралла украл Карл в последний день.

Задача 3: Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?
Решение. Применив формулу An=a1+d(n-1), получаем:
a10=100+50(10-1)=550$
a1=100; d=50; n=365; Sn=?
Применив формулу Sn=2a1+d(n-1)/2 * n
S365=200+50(365-1)/2 *365=4234000

Ответ: размер наследства 4234000.

2.3Прогрессии и решение уравнений.

Знания, полученные при изучении прогрессий, можно применять для решения уравнений, соответствующих теме.

Решить уравнение:

(х2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39)=4500

РЕШЕНИЕ.

Слагаемые, стоящие в левой части уравнения, образуют арифметическую прогрессию. В прогрессии 20 членов (это число нечётных членов последовательности).

а1 =х2+х+1,  а2=х2+2х+3, а3=х2+3х+5

а2-а1=х2+2х+3-х2-х-1=х+2

а3-а1=х2+3х+5-(х2+2х+3)=х2+3х+5-х2-2х-3=х+2*d=x+2

S20=(a1+a20)/2 20

а20=х2+20х+39

S20=(x2+x+1+x2+20x+39)/2* 2

10(2x2+21+40)=4500

2x2+21x+40=450

2x2+21x-410=0

D=441+3280=3721, D>0

X1= (-21+61)/4=10

X2=(-21-61)/4=-20,5

ОТВЕТ: х=10; х=-20.

2.4. Прогрессии и медицина

Прогрессии можно заметить и в медицине, будь-то распространение инфекции, или схема принятия лекарств, надо только её увидеть.

Задача1: Грипп – острое инфекционное заболевание дыхательных путей, вызываемое вирусом гриппа. Входит в группу острых респираторных вирусных инфекций (ОРВИ). Периодически распространяется в виде эпидемий. Источником заражения является больной человек. Основной путь передачи – воздушно-капельный. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Представим, что население поселка N составляет 5461 человек. Через сколько дней заболеют гриппом все жители поселка?

 (an)- геометрическая прогрессия

a1 = 1; q= 4.  

Найти ak=5461, где k – порядковый номер дня, когда все в поселке заболеют.

Решение: ak= a1* q^(k-1)

5461=1* 4^(k-1)  

4^(k-1)=5461

Так как, 4^6=4096, а 4^7=16384, то человек заразит  всех в поселке уже вначале 7-го дня .

Ответ: 7 дней.

Задача 2:  Больной принимает гомеопатическое лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

 (a_n)- арифметическая прогрессия

a1 = 5

d=5    

an: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

Найти :〖 S〗_n

Решение : а =а1+d(n-1)  

40=5+5(n-1),    

n=8

S  (2 a(1 )+d( n-1))/2 n ;    

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период.  Всего он принял 180+40+180=400 (капель), тогда всего больной выпьет  400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька.

2.6. Прогрессии в физике

В некоторых задачах физики есть процессы , происходящие по закону арифметической и геометрической прогрессий.

Задача 1:После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 4 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

Решение: (b)- геометрическая прогрессия, в которой b=760, q=0,8,

n=4

Необходимо найти b.

Ответ: через 4 движения поршня давление внутри сосуда станет равным 389,12 мм.рт.ст.

Задача 2:Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

Решение:  (b)-арифметическая прогрессия, в которой b=7, d=3. Найти необходимо b.

Ответ: за 8 секунду тело пролетит 28 метров.

III. Прогрессии «завтра»

В основе банковских расчётов процентов лежит также принцип прогрессии, например  начисление процента на процент. То есть с определенной периодичностью проценты присоединяются к сумме вклада и в дальнейшем они начисляются уже на увеличенную сумму депозита. Еще такую схему начисления называют сложным процентом. Рассмотрим такие задачи:

Задача 1: Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

Решение: (a )- арифметическая прогрессия, где  a = 880, а разность арифметической прогрессии равна 0,4a .

aad = a+0,4a·3= 2,2a= 880;  a=

Ответ: первоначальный вклад равен 400 рублей.

Задача 2: 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

Решение: (a )- арифметическая прогрессия, где a = 750, а a =1500.

  a  = a  + 4d, d =  187,5 рублей составляет ежегодный прирост на вклад.

750 руб -100%

187,5руб – х%

х=

Ответ: вклад в банке под 25% годовых.

Задача 3: Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?

Решение:  (b )- арифметическая прогрессия, b =1200; b =1650;

Так как цена товара увеличилась в два раза, то она стала равна 2100 рублей.

b = 2b ;  2100 = 1050+50(n-1)

50(n-1) = 1050

n-1 = 21

n = 20

Ответ: через 20 повышений.

IV. Прогрессии в условиях города Одинцово

Я попыталась придумать простейшие задачи, имеющие значение для жителей нашего города Одинцово.

• 1. В кинотеатре «Юность» в первом ряду в зале №1  21 кресло. В каждом последующем на 2 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько кресел в 20 ряду?
• 2. Баковский  завод установил новое оборудование стоимостью 1700 долларов. Ежегодное амортизационное исчисление 150 долларов. После достижения стоимости 200 долларов оборудование списывается. Сколько лет прослужит оборудование?
• 3. Родители  погашают ежемесячный займ в банке «Возрождение». Его шестая и десятая выплаты 345 и 333 рубля. Считая, что выплаты –арифметическая прогрессия, определите 15-ую выплату.

И таких практико-ориентированных задач можно сочинить много. Они привлекают внимание и их гораздо интереснее решать.

Заключение.

На уроках алгебры 9 класса изучается тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Я убедилась, что прогрессия играет немалую роль не только в школьном курсе алгебры, но и во многих сферах человеческой деятельности, а также в дальнейшем обучении, например задания на эту тему встречаются и в ГИА, и в ЭГЕ.

Важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения. Многие задачи решаются с помощью формул арифметической и геометрической прогрессии,

Изучение темы «Прогрессии» с точки зрения её прикладного характера обогатили меня новыми знаниями,  расширили кругозор . Я узнала когда и как стали использовать знания о прогрессиях. Мною были решены и составлены интересные, практического содержания задачи. Полученные знания достаточно легко применяются на практике. В результате исследовательской деятельности мною сделана презентация, в которой описываются  сферы применения прогрессий с примерами задач. Эта информация будет полезна ученикам параллельных классов, учителям для проведения уроков . В  дальнейшем я планирую научиться решать сложные задачи из ЭГЕ, в основе которых лежит прогрессия .