МУНИЦИПАЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

             ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ   УЧРЕЖДЕНИЕ            «АЛЕШКОВИЧСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ  ШКОЛА»

                                    Р Е Ф Е Р А Т

                                на  тему:

      «ПРИЗНАКИ  ДЕЛИМОСТИ  ЧИСЕЛ»

                                                   Выполнила: Рыхтикова В.

                                                   ученица  6 класса

                                                   Руководитель: Ковалева Ж.Н.

                             Алешковичи -2015

                                            СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………..3

Глава 1.Признаки делимости  натуральных чисел…………………..4-6

Глава 2.Теоремы о делимости произведения и суммы                                      натуральных чисел……………………………………………………. 6

Глава 3.Задачи для самопроверки…………………………………….7

Заключение……………………………………………………………..9 Список использованной литературы………………………………...  10

                                                                       Поучай и учись лучшему.

                                                                                       Фалес

                                          Введение               

          Математические знания в далёком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика  руководила  дальнейшим развитием математики. И в наше время  практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Чтобы решать их, необходимо не только владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые.

         Для того чтобы вырасти думающим, творческим человеком, необходимо ещё в школе заниматься в кружках, читать книги о жизни и творчестве великих, выдающихся людей,  размышлять над нестандартными задачами, стремиться узнать что – то новое, самостоятельно преодолевать трудности, вырабатывать привычку напряжённо работать.

        Целью моей работы является изучение признаков делимости натуральных чисел. Для достижения цели ставились следующие задачи:

1. Ознакомиться с научной литературой по данной теме.
2. Ознакомиться с информацией по данному вопросу в интернете.
3. Создать презентацию по теме: «Признаки делимости натуральных чисел».

       Практическая значимость работы определяется тем, что знания, полученные при написании реферата можно использовать на уроках математики при вычислении примеров, решении задач, а также для сдачи выпускных экзаменов.

Глава 1.Признаки делимости  натуральных чисел

         С тех пор, как человечество изобрело обыкновенные и десятичные дроби, мы можем применять операцию деления к любым величинам. Однако,  понятие  делимость чисел обычно рассматривают на множестве натуральных чисел. Когда мы говорим «число делится», то подразумеваем, что деление происходит без остатка и результатом деления также является натуральное число.

         Признак делимости – правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять фактическое деление.

      Существует несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа.

Признак делимости на 2.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число  делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число не делится на 2.

Пример:  678 : 2,  т.к. число заканчивается чётной цифрой 8.

Признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3, если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Пример:  768 : 3,  т.к. 7+6+8=21,  21:3.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях не делится.

Пример:   1564 : 4,  т.к. 64 : 4;                                                                                          191300  : 4,  т.к. запись числа оканчивается двумя нулями.

Признак делимости на 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Пример:  225 : 5,  т.к. число оканчивается цифрой 5;   19730 : 5,  т.к. запись числа оканчивается цифрой 0.

Признак делимости на 6.                                                                                                         Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3.

Пример:    3948  :  6,   т.к. 3948  : 2,    3+ 9 +4 +8 = 24,  24: 3;                                                                                             69534 : 6,  т.к.  69534 : 2,  6+9+5+3+4= 27,  27 : 3.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8, если три его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Пример:  79088 : 8,  т.к. 088 : 8;                                                                                            729000 : 8,  т.к. последние три цифры -  нули.

Признак делимости на 9.

Если сумма числа делится на 9,то и число делится на 9,если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Пример:   5121 : 9,  т.к. 5+1+2+1=9,   9:9.

Признак делимости на 10.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Пример:   1380 : 10,   т.к. число оканчивается цифрой 0;  7690 : 10,  т.к. число оканчивается цифрой 0.

Этот признак легко распространить на любые степени десятки. Число делится на 100, когда две его последние цифры являются нулями, на 1000, когда в конце три нуля и т.д.

Признак делимости на 11.

Если сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, то число делится на 11 (или отличается от неё на число, которое делится на 11.)

Пример:  19327:11,  т.к.1+3+7=9+2;

809182:11,  т.к. (8+9+8)-(0+1+2)=22,  22:11.

Я бы хотела обратить внимание на число 11. Ясно, что двузначное число делится на 11, если оно состоит из одинаковых цифр. Трёхзначное число делится на 11, если его средняя цифра равна сумме двух крайних  или если сумма первой и последней цифрравна средней цифре  плюс 11. Например, 495 делится на 11, так как 4 + 5 = 9,  а 957 делится на 11, так как  9 +7 = 5 + 11.Признак делимости на 12.

Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4.

Пример:    5784 : 12,     т.к. сумма цифр числа равна 24, а 24: 3                                    и две последние цифры числа  образуют число, которое делится на 4  (84 : 4).

Признак делимости на 15.

Число делится на 15, если оно одновременно делится на 3 и на 5.

Пример:    6345: 15,   т.к. сумма цифр числа равна 18,  (18 : 3),   и запись числа оканчивается цифрой 5.

Признак делимости на 25.

Число делится на 25, если две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.

Пример:  13450 : 25,  т.к. 50:25;     91275 : 25,  т.к. 75:25;                                        100200 : 25, т.к. запись числа оканчивается двумя нулями.

            Легко запоминающихся признаков деления  на простые числа типа 7, 11, 13, 17, 23, …к сожалению, нет. За долгую историю развития техники устного счёта  учёные - математики выявили и сформулировали общие  особенности делимости таких чисел. Их можно найти в википедии. А в заучивании признаков делимости  на составные числа нет необходимости. Составные числа можно разложить на простые множители и применить к ним нужные признаки делимости.

Глава 2.Теоремы о делимости произведения и суммы натуральных чисел

Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Например,  произведение  475· 1230 · 73 делится на 3, так как второй сомножитель удовлетворяет признаку деления на 3 – сумма его цифр 1+2+3+0=6 делится на 3.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма этих чисел делится на это число.

Например, сумма  475 + 1230 +85 делится на  5, так как каждое слагаемое удовлетворяет признаку деления на 5.

Пользуясь теоремой о делимости суммы можно  «съэкономить»  время  на вычислениях, например,         Математики не любят много писать. Длинные предложения и повторы одних и тех же слов хороши при объяснении решения, но при его записи желательно пользоваться условными обозначениями. Для термина «делится»  можно использовать символ  ⁞  вертикальное многоточие.

Глава 3. Задачи для самопроверки

Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Раскладываем делитель - число 12 на простые множители. 12 = 3×4=3×2×2.
Следовательно, заданное число после вычеркивания чисел должно делиться на 3 и 4 или на 2, еще раз на 2 и, наконец, на 3.
На 2 делятся чётные числа, поэтому 1 в конце вычеркиваем сразу. Останется 18161512.
Но нам нужно, чтобы оно делилось на 2 дважды, т.е. делилось на 4. 
Признак делимости на 4 утверждает, что для этого на 4 должно делиться двузначное число, образованное последними двумя цифрами. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры числа 18161512 вычеркивать нельзя. Они гарантируют делимость числа на 4 (на обе двойки).
Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы на 3 делилась сумма его цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3×8 + 1 - можно вычеркнуть одну из единиц, но по условию задачи нужно вычеркнуть еще две цифры;
25 = 3×7 + 4 - нет двух цифр для вычеркивания, сумма которых равнялась бы 4, т.к. последние цифры 1 и 2 трогать нельзя;
25 = 3×6 + 7 - сумма двух вычеркнутых цифр будет равна 7, если вычеркнуть 6-ку и любую из единиц, кроме последней.
Итак, возможные ответы: 811512 или 181512. Выбираем один из них, например

Ответ:181512

Для решения подобных задач нужно знать  признаки делимости натуральных чисел. Чем больше мы знаем  признаков, тем быстрее решим  задачу.

Задача 1.

Приведите пример  пятизначного  числа  кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача 2.

Приведите пример  трёхзначного числа  кратного 15, произведение цифр которого равно 30. В ответе укажите ровно одно такое число.

                                         Заключение

          Основной целью работы было изучение признаков делимости натуральных чисел. Для реализации поставленной цели было выполнено следующее:

1.Проведен анализ научной литературы.

2.Проведен анализ информации, полученной из интернета.

3.Создана презентация по теме: «Признаки делимости чисел».

         Подводя итоги работы можно отметить, что цель, поставленная при выполнении работы, была достигнута, а задачи реализованы.

        Реферат может быть использован на уроках математики, на занятиях математического кружка, во внеурочных занятиях по математике.

                           Список литературы

1. Учебник. МАТЕМАТИКА- 6. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, и др.

 М.: Мнемозина, 2009г.

2.Ресурсы сети интернет:

http://www. wikipedia.org

http://www.referat.ru