"Софизмы:обман или ошибка"

Исследовательская работа

на тему: «Софизмы»

Выполняла:

ученица  9А класса

МБОУ «Средняя общеобразовательная

школа №20 им. А.А.Хмелевского  

 г. Курска

Акатова Таисия Максимовна  

Руководитель:

учитель математики

Кораблина О.А

Курск 2017

Содержание

1. Введение
2. Понятие и классификация софизмов
3. Алгебраические софизмы
4. Геометрические софизмы
5. Логические софизмы
6. Статистическое исследование
7. Заключение
8. Литература

Введение

Почему я выбрала эту тему для своей работы?

Я считаю эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы.

Цели:

1. Познакомиться с софизмами
2. Показать значимость математических софизмов при изучении математики.
3. Показать как получаются абсурдные выводы

Задачи:

1. Дать определение понятию «софизм»
2. Классифицировать различные виды софизмов
3. Понять, как найти ошибку в софизмах

Основная гипотеза проекта:

Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Понятие и классификация софизм

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества( 5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами.

Классификация

Алгебраические софизмы

2∙2=5

Решение

1 Способ

Запишем верное равенство

16 - 36 = 25 – 45

А дальше выполним несколько преобразований:

16 - 36 + 20 ¼ = 25 – 45 + 20 ¼

42 – 2 ∙4 ∙ 9/2 + (9/2)2 = 52 – 2 ∙ 5 ∙ 9/2 + (9/2)2

(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2

4 - 9/2 = 5 - 9/2

4 = 5

2∙2=5

Ответ: Если квадраты выражений равны, то сами выражения могут быть, а могут быть противоположны.

2 Способ

4:4=5:5.

4(1:1)=5(1:1)

1:1=1

4=5 , т.е. 2 ∙ 2= 5

Ответ:

4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).

4:4=4(1:4)

1=2

Решение

Пусть a = b, тогда

a ∙ b = b2      ab = a2     a2= b2

ab – b2= a2 – b2

b (a – b) = (a – b)( a + b)   Разделим на (a – b)

b = a + b

b = 2b

1=2

Ответ: Так как a=b, то a-b=0, а на ноль делить нельзя.

Геометрические софизмы

Разрезанный треугольник

Условие:

Дан треугольник, составленный из четырёх частей (на рисунке). После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется новый, не занятый ни одной частью, квадрат.

Ответ: Секрет в том, что синий и красный треугольники имеют неравные углы, что визуально незаметно из-за слишком малой разницы. Поэтому на первом рисунке создаётся излом внутрь, а на втором — наружу. Это легко проверить наложением и вычислениями

Вычислением:

Sтреугольника= (13∙5)/2= 32,5 кв ед

Площадь треугольника  не равна сумме площадей частей, из которых они составлены. Так как

Sжел= 7 кв ед

Sзелен= 8 кв ед

Sкрасн= 12 кв ед

Sсин= 5 кв ед

Сложим все результаты и получим 32.

Отношение длин катетов синего треугольника 5:2, а красного — 8:3, поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы.

Гипотенузы в обоих треугольниках на самом деле является ломаными линиями. Если наложить треугольники друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь.

Логические софизмы

Дележ верблюдов

Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащих ему верблюдов так, чтобы старшему досталась половина всех верблюдов, среднему – треть, младшему – девятая часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде, внимательно выслушал и разделил по завещанию. Как ему это удалось?

Ответ:

Мудрец пустился на уловку. Он добавил к стаду своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 ∙ ½ =9 верблюдов, средний 18 ∙ 1/3 = 6 верблюдов, младший 18 ∙ 1/9 = 2 верблюда), мудрец взял верблюда назад и все остались довольны. Мудрец- тем, что сделал доброе дело, а братья тем, что им досталось даже больше, чем отец завещал.

Как это произошло однако?

Ответ : все дело в том, что части, на которые по завещанию должны были  делить стадо сыновья , в сумме не составляют 1

Пропавший рубль

Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе. Выпили. Официант  принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе почему-то решил, что поданный на этот столик кофе стоит 25 рублей, и  велел вернуть посетительницам   5 рублей. Официант взял деньги и побежал догонять подруг, но пока бежал. Подумал. Что им будет трудно делить на троих 5 рублей, и поэтому решил отдать им по 1 рублю. А два рубля оставить себе. Так и сделал.

Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9∙ 3 = 27 рублей. Да два рубля осталось у официанта. А где ещё 1 рубль?

Ответ:

Задача сформулирована так, чтобы запутать читателя. Подруги заплатили 27 рублей. Из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе. А 2 рубля – у официанта. И никого пропавшего рубля!

Статистическое исследование

Я решила провести исследование на знание софизмов и провела опрос среди 24 учеников 9 класса. На первый вопрос: «Что такое софизмы?»

100% - ответили, что не знают

Ситуация неутешительная. Тогда я решила показать  свою работу ученикам. После повторного опроса динамика была намного лучше. На первый

 вопрос: «Что такое софизмы?»

96%- ответили, сто знают

4% - ответили, что прослушали

Я задала еще один вопрос: «Понравилась ли вам эта тема? Хотели бы вы узнавать подобное на уроках математики?»

86% - ответили, что хотели.

Таким образом, я выяснила, что подобные беседы, нравятся и будут сильно помогать ученикам старших классов в развитии интереса к математике. Я считаю, что необходимо ввести тему «Софизмы» в общеобразовательный курс по математике.

Заключение

Софизмы являются логически неправильными рассуждениями, выдаваемыми за правильные и доказательные.

Софизм – это обман. Но обман тонкий и закамуфлированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть

Они очень поучительны и интересны. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Такой подход при обучении математики способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика-это живая наука.

Литература

1. «Занимательная математика». Автор Гаврилова Т.А. Издательство Волгоград изд. «Учитель» 2003.
2. «Занимательная математика». Автор Акимова. Издательство Санкт-Петербург «Трион» 1998
3. «В царстве смекалки». Автор Игнатьев Е.В. Издательство Москва «Наука» 1979