Мини-проект по математике "Теорема Виета"

Слайд 1

Теорема Виета Выполнила ученица 8 класса МБОУ СОШ с.Кенада Кремлёва Диана руководитель Анохина Елена Викторовна, учитель математики и информатики 2017-2018 учебный год История математики

Слайд 2

«Вся математика-это, собственно, одно большое уравнение для других наук» Новалис

Слайд 3

Содержание : 1. Цели проекта 2. Введение - историческая справка 3. Основное содержание - Теорема Виета - Интересно - Задание№1 - Задание№2 -Задание№3 -Задание№4 -Задание№5 -Самостоятельная работа - Теорема, обратная теореме Виета -Алгоритм решения квадратных уравнений -Ещё четыре хитрости о квадратных уравнениях 3. Вывод 4. Список литературы

Слайд 4

Цели проекта: 1. Ответить на вопрос: «Почему Виета называют «Отцом алгебры». 2.Изучить и доказать теорему Виета и ей обратную. 3.Создать интерактивное пособие по теме для использования на уроке алгебры 8 класса. 4.Рассмотреть разнообразные задания по этой теме.

Слайд 5

Отец алгебры Франсуа Виет(1540-1603)был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. Математика была его увлечением, однако не смотря на это, он добился в ней больших результатов. Виет ввёл буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений, что дало возможность записывать общими формулами корни и другие свойства уравнения. Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, усложняло решение и часто приводило к ошибкам. Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть той зависимости, которая называется «теоремой Виета»

Слайд 6

Виет увлекался астрономией и приступил к работе над усовершенствованием тригонометрических таблиц. Он издал в Париже в 1579 г «Математический канон»- таблицы, в которых используются десятичные дроби. Свои алгебраические идеи Виет изложил в сочинении «Введение в аналитическое искусство», в котором предложил преобразовать алгебру в мощное математическое исчисление. Он писал: «Все математики знали, что под их алгеброй и алмукабалой были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, легко решаются десятками с помощью нашего искусства». Виет нашёл аналогичные формулы также для уравнений четвёртой и пятой степеней. Он ввёл термин «коэффициент». Математики первой половины XVII в. Развили идеи Виета и усовершенствовали его обозначения. Символика Декарта близка к современной. Он обозначал неизвестные не гласными, а последними буквами алфавита. Отсюда наши обозначения x, y, z.

Слайд 7

Немного истории Виет умел активно применять свои способности и знания к всевозможным трудным задачам не только из алгебры и геометрии. Известно, например, что он любил разгадывать зашифрованные письма. Во время войны Франции с Испанией вся тайная переписка испанцев свободно читалась французами, так как Виет всякий раз разгадывал испанский шифр, как бы его не запутывали вражеские шифровальщики. Не представляя себе могущества человеческого ума, испанцы думали, что французам помогает дьявол. Они даже жаловались римскому папе и просили его уничтожить эту “дьявольскую силу”.

Слайд 8

*** Ученик у доски уравненье решает Ровно все пишет, быстро считает. Ответ получился в уравнении точно, Расставил он все запятые и точки. Но за ответ ему ставят четверку Мальчик в смятении смотрит на доску: – Может ошибка допущена где-то? Нет! Он забыл теорему Виета! Дискриминант выводил очень сложный – Проще решить здесь было возможно. Мальчик своей не доволен отметкой Сел он учить теорему Виета. Один раз запомнил – сто раз применяй! И уравненья на “5” все решай!

Слайд 9

Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. x 1 · x 2 = q x 1 +x 2 = -p

Слайд 10

Доказательство Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p , а свободный член - буквой q : x² +px +q=0 Дискриминант этого уравнения В равен p ² -4q. Пусть D>0. Тогда это уравнение имеет два корня: x 1 =-p-√D и x 2 =-p+√D 2 2 Найдём сумму и произведение корней: x 1 + x 2 =-p-√D + -p+√D =-2p=-p ; 2 2 2 x 1 · x 2 =-p-√D · -p+√D =(-p)²-(√D)²=p²-(p²-4q)=4q=q 2 2 4 4 4 Итак, x 1 + x 2 =-p и x 1 · x 2 =q . При D=0 квадратное уравнение x ² +px+q=0 имеет один корень. Если условится считать, что при D=0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D=0 корни уравнения также можно вычислять по формуле x=-p ±√ D 2

Слайд 11

Запоминаем Чтобы лучше запомнить эти формулы можно выучить стихотворение «Теорема Виета». Поэтом по праву должна быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянство такого- Умножить ты корни и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе a И сумма корней тоже дроби равна, Хоть с минусом дробь та, что за беда: В числителе b в знаменателе a .

Слайд 12

Интересно Обратим внимание ещё на одно интересное соотношение- дискриминант уравнения равен квадрату разности его корней: D=(x 1 -x 2 ) ² . Из теоремы Виета вытекает, что приведённый квадратный трёхчлен с корнями x 1 и x 2 можно записать в виде ( x-x 1 )(x-x 2 ). Действительно, раскрывая скобки в этом произведении, получаем выражение x ² -(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2 = x²+px+q И наоборот, это разложение на множители можно использовать для доказательства теоремы Виета без вычислений. В самом деле, пусть дан квадратный трёхчлен x ² +px+q , а x 1 и x 2 -его корни. Замечаем, что ( x-x 1 )(x-x 2 )=x ² -(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2 Есть приведённый квадратный трёхчлен с теми же корнями x 1 и x 2 , что и данный. Разность двух трёхчленов равна ( p+x 1 +x 2 )x+(q-x 1 x 2 ). Это линейная функция относительно x. Причём поскольку оба многочлена обращаются в нуль в точках x 1 и x 2 , то и их разность обращается в нуль в тех же точках. Для линейной функции это возможно только в случае, если она тождественно равна нулю. Отсюда вытекает, что p=-(x 1 +x 2 ), а q=x 1 x 2 , т.е. теорема Виета. Это рассуждение, как и саму теорему Виета, можно обобщить на многочлены любой степени: Коэффициент при xn-1 в многочлене степени n равен сумме его n корней со знаком минус, а свободный член- произведению всех корней и числа (-1) ⁿ

Слайд 13

Алгоритм решения квадратных уравнений по теореме Виета 1.Разложить на множители свободный член. 2.Смотрим знак, если с >0 , то x 1 и x 2 имеют одинаковые знаки. Если с < 0, то знаки разные. 3.Теперь подбираем сумму - b , если знаки разные, то выясняем какой корень больше отрицательный или положительный. 4.Делаем проверку. Пример: x²-9x+20=0 1. 20= 4 · 5; 10 · 2; 1 ·2 0 2. +20; знаки одинаковые 3. +4; +5 4. D=b ² -4ac D=9 ² -4 · 1=81-80=1 x 1 =9- √ 1=9-1=8=4 2 · 1 2 2 x 2 =9+ √ 1=9+1=10=5 2 · 1 2 2

Слайд 14

Задание №1 Уравнение ax ² +bx+2=0, где a<0, имеет одним из своих корней число 3. Решите уравнение Решение: Применим теорему Виета к первому уравнению: x 1 ·x 2 =2a Так как x 1 =3, то x 2 =2 и следовательно, x 2 <0 . Обозначим x 2 =t, тогда второе уравнение примет вид at²+bt+2=0. Сравнив это уравнение с исходным, получим t 1 =3 ; t 2 =2, t 2 <0. 3a Учитывая, что x²=t , значение t2 отбрасываем, а из равенства t1=3 находим x²=3. Ответ: x 1,2 =±√3.

Слайд 15

Задание №2 Выберите уравнение, сумма корней которого равна -6, а произведение равно- 11. 1) x ² -6x+11=0 2)x ² +6x-11=0 3)x ² +6x+11=0 4)x ² +11x-6=0 5)x ² +11-6=0

Слайд 16

Задание №3 Если x1=-5 и x2=-1 –корни уравнения x ² +px+g=0 , то: 1) p=-6,q=-5 2)p=5,q=6 3)p=-5,q=-6 4)p=5,q=-6 5)p=6,q=-5

Слайд 17

Задание№4 Найдите сумму и произведение корней уравнения x ² -3x-5=0. 1)x 1 +x 2 =- 3 , x 1 · x 2 =-5 2)x 1 +x 2 =-5, x 1 · x 2 =-3 3)x 1 +x 2 =3, x 1 · x 2 =-5 4)x 1 +x 2 =5, x 1 · x 2 =-3

Слайд 18

Задание №5 Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему Виета. x ² +2x-8=0 1 )-4; -2 2 )4; 2 3 )4; -2 4 )-4;2

Слайд 19

C амостоятельная работа 1 вариант 1. x ² +x-2=0 2. x ² -x-56=0 3. x ² -2x-3=0 4. x ² -3x-108=0 5. x ² -10x+9=0 6. x ² -19x+90=0 2 вариант 1. x ² -x-2=0 2. x ² +x-72=0 3. x ² +2x-8=0 4. x ² +4x+3=0 5. x ² +10x+24=0 6. x ² +20x+75=0

Слайд 20

Ответы 1 вариант 1) -2 ; 1 2)8;-7 3)3; -1 4)12; -9 5)9; 1 6)10;9 2 вариант 1)-1; 2 2)8; -9 3)-4; 2 4)-1; -3 5)-6;-4 6)-15; -5

Слайд 21

Теорема, обратная теореме Виета Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p , а произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения x ² +px+q=0.

Слайд 22

Доказательство По условию m+n=-p , а mn=q . Значит, уравнение x ² +px+q=0 можно записать в виде x ² -(m+n)x+mn=0 Подставив вместо x число m , получим: m ² -(m+n)m+mn=m ² -m ² -mn+mn=0 Значит, число m является корнем уравнения. По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения. Пример: Решим уравнение x+3x-40=0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Найдём дискриминант: D= 3 ² +4 · 40=169 По формуле корней квадратного уравнения получаем: x=-3 ±√ 169 ; x=- 3 ± 13. 2 2 Отсюда: x 1 =- 8; x 2 =5. Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнение x+3x-40=0 коэффициент p авен 3, а свободный член q равен -40 . Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40.Значит по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения x+3x-40=0

Слайд 23

Ещё четыре хитрости при решении квадратных уравнений. Очень часто при поступлении в вуз учащиеся сталкиваются с уравнениями, где коэффициенты- слишком большие числа, и при нахождении дискриминанта в уравнении учащиеся получают такие большие числа, из которых трудно извлечь квадратный корень. Например, такое уравнение: 1999 x²-1997x-2=0 На самом деле, это уравнение решается устно. х 1 =1; х 2 =-2 1999

Слайд 24

На самом деле, это уравнение решается устно. Итак, ax²+bx+c=0. 1) Если a+b+ с=0, то x 1 =1 ; x 2 = c a Например: 5 x²+4x-9=0 ; x 1 = 1; x 2 =- 9 5 2)Если a-b+c=0 , то x 1 =-1 ; x 2 =-с a Например: 4 x²+11x+7=0 ; x 1 =-1 ; x 2 =-7 4

Слайд 25

3) Если a ± b+c≠0 , то можно устно решить другое уравнение: x ² +bx+ac=0 и его корни разделить на a . Например: а) 2 x ² –11x+5=0 (a ± b+c ≠ 0). Решаем устно по теореме Виета x ² -11x+10=0. Его корни 10 и 1, и делим на 2. Ответ: 5; 1 2 б) 6 x ² -7x-3=0 x ² -7x-18=0 Корни 9 и (-2). Делим числа 9 и (-2) на 6; x 1 =9 ; x 2 =-2 6 6 Ответ: 3; -1 2 3

Слайд 26

4) Используя пункты 1)-3), вы можете придумывать уравнения с рациональными корнями. Например, возьмём уравнение x ² -13x+36=0 (корни 4 и 9). 36 делим на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 36=36 · 1 36=6 · 6; 36=2 · 18; 36=9 · 4; 36=3 · 12; 36=12 · 3; 36=4 · 9; 36=18 · 2; Отсюда уравнения: 1x ² -13x+36=0 ; x²+13x+36=0 ; 9x²+13x+4=0 ; 36x²-13x+1=0 ; 36x²+13x+1=0 ; 6x²+13x+6=0 ; 2x²-13x+18=0 ; 2 x²+13x+18=0 ; 6x²-13x+6=0 ; 18x²-13x+2=0 ; 18x²+13x+2=0 ; 9x² - 13x+4=0 ; 3x²-13x+12=0 ; 3x²+13x+12=0 ; 4x²+13+9=0 ; 1 2x²-13x+3=0 ; 12x²+13x+12=0 ; 4x²-13x+9=0 . Одно уравнение дало ещё 17 уравнений с рациональными корнями.

Слайд 27

Вывод Применение теоремы Виета и ей обратной помогает при решении уравнений, проверки корней уравнений и решении многих алгебраических задач.

Слайд 28

Список литературы. Алгебра 8 класс, Ш.А.Алимов Алгебра 8 класс, Ю.Н.Макарычев Энциклопедия для детей том 11 математика Аванта+ Газета «Математика» 2002 Приложение к газете «1 сентября».