Пифагор и его теорема.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов № 32»

Авторы работы:

Кривова Софья ,ученица 9 А класса

Лямшева Снежана ,ученица  9А класса

.

Руководитель: Курлаева Н.А.

учитель математики

г. Саранск

2017 г.

1. Введение
2. 1. Из биографии Пифагора.
3. 2. Пифагор и пифагорийцы.
4. 3. Из истории создания теоремы Пифагора.
5. 4. Применение теоремы Пифагора.

   5. Мысли и афоризмы Пифагора.

6. Заключение

   Литература

                                                        Введение

             В прошлом учебном году на уроках геометрии мы познакомились  с теоремой Пифагора. Нам захотелось узнать, какие же еще открытия он сделал. Мы предположили, что кроме известной теоремы о сторонах прямоугольного треугольника, у него есть другие заслуги пред миром,  наверно не только в области математики.

       Пифагор (VI век до н.э) жил задолго до нашей эры. Но  и тогда было множество великих людей, прославивших себя и свое отечество в разных ипостасях. Чем Пифагор выделялся среди не менее выдающихся мыслителей своего времени?

Цель нашего исследования: узнать

• кто такой был Пифагор и какое отношение он имеет к одноименной теореме?
•  Что выдающегося в других областях. кроме математики, он ещё открыл?
• Существуют ли другие доказательства этой теоремы?
• Каково значение этой теоремы в жизни людей?
• Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?
• Имеет ли Пифагор какое-либо отношение к другим наукам?

Задачи исследования:

1) Выбрать область исследования

2) Собрать всю необходимую информацию о объекте исследования.

3) Систематизировать собранную информацию

4) Проанализировать результаты. Сделать вывод о  значении и области применения исследуемого материала.

    Что мы знаем об этом человеке? Что жил он много лет назад, написал несколько сочинений «О воспитании», «О государстве», «О природе», «О душе» и теорему Пифагора о соотношении сторон прямоугольного треугольника («Пифагоровы штаны — на все стороны равны»). Маловато для такой выдающейся личности. Давайте углубимся в его биографию и узнаем о нем больше.

                                               Биография Пифагора.

     Пифагор Самосский – великий греческий учёный.     Его имя  знакомо каждому школьнику Если вас попросят    назвать  одного древнего математика, то абсолютное большинство  назовут Пифагора. Его известность связана с названием теоремы  Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта  теорема  была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен  прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.

Про жизнь Пифагора почти ничего не известно, с его именем  связано большое количество  легенд. Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.

             Пифагор  имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".)

        Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.

    Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В 550 году до н. э  Пифагор         принимает решение         и отправляется в  Египет.  Итак, перед Пифагором  открывается         неизвестная страна  и неведомая культура. Многое  поражало и удивляло  Пифагора в этой стране, и после некоторых  наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит  через религию.

        Вместе с египетскими мальчиками сел за известняковые пластинки  и он возмужалый Эллин с черной  курчавой бородой. Но в отличие от своих меньших сотоварищей  уши бородатого Эллина были не на спине, да и голова стояла на месте. Очень скоро  Пифагор  далеко обогнал своих  однокашников. Но школа писцов была лишь первой ступенью на пути к тайному знанию.

         После одиннадцати лет обучения в Египте, Пифагор отправляется на Родину, где по пути попадает в Вавилонский плен.  Там он знакомиться с вавилонской наукой, которая была более развита,  чем Египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно  применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Бежав из плена, он не смог  долго оставаться на Родине из-за  царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил  переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

        Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.

Пифагор и пифагорейцы.

Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апеннинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который в последствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов:

        во-первых, стремиться к прекрасному и славному,

        во-вторых, быть полезным,

        в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

 Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения.

        Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

• учения о числах – арифметике,
• учения о фигурах – геометрии ,
• учения о строении Вселенной – астрономии.

Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.

Пифагорейцы учили, что Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых выражениях. Кто до конца изучит гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

        Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении Пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём.

Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей и что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и  их отношений. Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: "По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй". Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца". Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением". В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, практически не возможно определить, что сделал Пифагор, а что его ученики. Споры ведутся вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако, общего мнения нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями, например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; « огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.

 Но главным пифагорейским символом  -

символом здоровья и опознавательным

знаком – была пентаграмма или                                              

пифагорейская звезда – звёздчатый

пятиугольник, образованный диагоналями

правильного пятиугольника. Они учили, что мир состоит из пяти взаимосвязанных элементов (Огня, Воды, Воздуха, Земли и Эфира). Для отражения этой доктрины вокруг пентаграммы изображались пять букв:

• ύ — ύδωρ (вода) (самый верхний), символизирующая воду;
• Γ — Γαια (земля) (левый верхний), символизирующая землю;
• ί — ίδέα (правый нижний), символизирующая идею, или дух по другой версии — ίερόν (храм);
• έ — έιλή (верхний правый угол), символизирующая огонь;
• ά — άήρ (нижний левый угол), символизирующая воздух.

     Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции. В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты. О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

        Из истории

                                        Теорема Пифагора.        

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл  утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

      Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Бхасхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3 ² + 4 ² = 5²

было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

   Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры.

   В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

    В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то по крайней мере хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облеченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

В заключении приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

                       Доказательства теоремы Пифагора.

Древнекитайское доказательство 1. На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

      a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab

                                 a2 +b2 = c2      

                          Доказательство 2. (Дж. Гардфилд 1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции  находится как   произведение полусуммы  оснований на высоту

                     S =  

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S =

 Приравнивая данные выражения, получаем:

     или      с2 = a2 + b2

Старейшее доказательство 3. (содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL

 ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

 значит KL = LM = ME = EK = a-b.

                                                                                     .

                                    Доказательство 4 (простейшее).

а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

                                   История знаменитой теоремы

   Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «кол лекция» содержит около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема актуальна и интересна людям до сих пор.

               С греческих учёных началась «настоящая математика». Они очень любили спорить. Считали, что спор помогает найти самое правильное решение «в споре рождается истина». Они не просто заучивали правила, а доискивались причин: почему правильно делать так, а не иначе?

Пифагор верил, что всё на свете связано с числами. Поэтому он и его последователи счи тали, что, изучая свойства чисел, можно разга дать все тайны мироздания.  Теорема – это уже не правило, а закон.

Школа Пифагора много сделала, чтобы  придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Тайны Природы запечатлены в геометрических фигурах и числах – символах. Некоторые из них принесены с Востока Пифагором. Его знаменитый «Треугольник» (Тетрактис), вместе с «Квадратом» (Тетраграмматоном) и Кругом (Беспредельной Бесконечностью).

                                  Применение теоремы Пифагора

    Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора.

- теорема Пифагора применятся для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости и в пространстве;

- в строительстве и архитектуре (в некоторых зданий готического и ромaнского стиля);

  - с помощью теоремы Пифагора можно посчитать длину спирали.

Мысли и афоризмы Пифагора.

• На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом.
• Истинное отечество там, где есть благие нравы.
• Не будь членом учёного общества: самые мудрые, составляя общество, делаются простолюдинами.
• Почитай священными числа, вес и меру, как чад изящного равенства.
• Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.
• Ничему не удивляйся: удивление произвело богов.
• Если спросят: что есть древнее богов? - ответствуй: страх и надежда.
• Мысль - превыше всего между людьми на земле.
• Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).
• Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).
• По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).
• Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).
• Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).
• В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

                                   Менее известные выдумки                  

          Из мелких, но любопытных придумок  Пифагора в истории осталась кружка, носящая  его имя. Ее также называют  «кружкой   жадности».  Внешне она выглядит  как обычная кружка, только в центре находится небольшая колонка. Когда  ее  заполняют до определенного уровня, то она такой и остается. Но в случае, если ее наливают до краев, то все содержимое  вытекает, что объясняется  искусным использованием гидростатического давления. Такие кружки и сейчас пользуются  большим спросом  в Греции -  это отличный сувенир  и очень полезная  вещь для  тех, кто не знает меры в употреблении

Монохо́рд (др.-греч. μονόχορδον, лат. monochordum, однострунник), также (музыкальный) кано́н (др.-греч. κανών <μουσικός>) — инструмент, служащий для точного построения интервалов путём фиксации различных длин звучащей части возбуждаемой щипком струны. Состоит из основания (иногда — резонаторного ящика), на котором между двумя порожками (подставками) закреплена натянутая струна. Между порожками находится подвижная подставка (прижимающая струну снизу), перемещением которой фиксируют звучащую часть струны. На основание монохорда может наноситься шкала делений, маркирующая части струны. В Древней Греции (у пифагорейцев), в Средние века и в эпоху Возрождения монохорд служил для демонстрации соответствия определённых числовых отношений определённым музыкальным интервалам — в научных и учебных целях.

Заключение.

             Таким образом ,вклад Пифагора в развитие  науки бесценен. Именно он  первым развил теорию гармонии и совершил блестящие математические открытия Теорема Пифагора – рекордсмен по числу доказательств. Науке известны 367 способов её доказательства.

                Прошло уже много лет со времени доказательства теоремы, но несмотря на это, теорема Пифагора актуальна как никогда сегодня. Теорема, доказанная много веков назад, помогает развиваться современному обществу. Возможно, через несколько десятков лет будет изобретено еще не одно доказательство теоремы и, может быть, одно из них будет придумано именно нами.