Правильные многогранники

Введение:  Нас окружает множество предметов. Они отличаются формой, размерами, материалом, из которого изготовлены, окраской и многими другими качествами. Математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры, поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела, например:  куб, цилиндр, шар, конус и другие.

Гипотеза:  я считаю, что, изучив данную тему,  я смогу  расширить свой кругозор в этой области и донести полученную информацию до ребят.

Цель работы:

Собрать  информацию о правильных многогранниках   создать презентацию и модели правильных многогранников для урока математики.

Задачи: 
1) прочитать литературу, собрать информацию в сети Интернет;
2) узнать какие многогранники называются правильными и почему;

3) узнать, сколько существует правильных многогранников;
3) ознакомиться с учеными, давшими названия данным многогранникам;

4) исследовать и показать значимость многогранников в мифологии, природе, живописи, архитектуре;

5) создать некоторые модели правильных многогранников;

6) рассказать о правильных многогранниках одноклассникам.

        Многогранники это пространственные тела с плоскими гранями и прямолинейными ребрами, устроенные так, чтобы всякое ребро соединяло две вершины и служило общей стороной двух граней. Все многогранники имеют ряд общих свойств. Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника. Вершины многоугольников являются также и вершинами многогранника, а стороны многоугольников – ребрами многогранника.  Обратите  внимание: у многоугольника вершин столько же, сколько сторон, а у многогранника число вершин и число граней необязательно одинаково. Сегодня я расскажу и покажу вам геометрические фигуры, которые относятся к правильным многогранникам.

Сначала определим, чем отличаются правильные многогранники от просто многогранника. Гранями правильного многогранника являются правильные многоугольники. Это многоугольники, у которых все стороны равны. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Правильных многоугольников много. А сколько же тогда правильных многогранников?

Для существования многогранника должно выполняться следующее условие: сумма плоских углов при вершине должна быть меньше 3600.

Рассмотрим правильный треугольник. Сумма углов правильного треугольника 1800, значит угол правильного треугольника, равен 600. Из четырех правильных треугольников можно сложить – тетраэдр.   Сумма трех плоских углов 1200.

Рассмотрим при вершине четыре угла, их сумма составляет 2400. Данный правильный многоугольник называется  - правильный октаэдр и состоит из восьми правильных треугольников.

Рассмотрим при вершине  пять углов, их сумма при вершине составляет 3000. Данный правильный многогранник называется – правильный икосаэдр и состоит из двенадцати правильных треугольников.

Если при вершине взять шесть углов они в сумме составят 3600, они образуют окружность. Значит больше составить правильных многоугольников из правильных треугольников нельзя.

Рассмотрим правильный четырехугольник – квадрат. Возьмем три квадрата и образуем вершину. Каждый угол квадрата равен 900, в сумме образуют 2700, это меньше 3600.  Данный многогранник называется правильный гексаэдр, и состоит из 6 квадратов.  Также он имеет название параллелепипед или куб.

Если взять четыре квадрата они в сумме составляют 3600, значит составить больше правильных многогранников нельзя.

Рассмотрим правильный пятиугольник. Угол правильного многоугольника равен 1080, три угла в сумме составляют 3240, это меньше это меньше 3600.  Данный правильный многоугольник называется – правильный додекаэдр и состоит из двадцати правильных пятиугольников.

Если рассмотреть правильный шестиугольник, его угол равен 1200. Три плоских угла шестиугольника в сумме составляют 3600, значит, правильный многогранник составить нельзя.

Вывод правильных многогранников только 5. Правильный тетраэдр, правильный гексаэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр.  В геометрии данные геометрические фигуры называются - тела Платона.

Платон (Platon) (род. 427 - ум. 347 гг.до н.э.) - греческий философ. Родился в Афинах. Настоящее имя Платона было Аристокл. Но впервые упоминались многогранники еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Вспомним знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. Названия многогранников пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра» -грань; «тетра» - 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «икоса» - 20; «додека» - 12.  В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

Многогранники называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Правильные многогранники – самые уникальные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Доказательством тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображен на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живем внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Заключение:

1. Проводя исследования по данной теме, я изучил исторические данные по многогранникам; были изучены удивительные особенности строения правильных многогранников, их виды, особенности строения; рассмотрены интересные исторические гипотезы и факты. Мы увидели красоту, совершенство и гармонию форм этих тел, которые изучаются учеными на протяжении многих столетий и не перестают удивлять нас. Узнали, что в строении нашей, казалось бы, шарообразной планеты присутствуют правильные многогранники, что еще раз доказывает их значение в окружающем нас мире. И многие современные ученые склоняются к гипотезе, что вещества в природе состоят именно из этих уникальных фигур.
2. При построении разверток многогранников я научился работать с чертежными инструментами;
3. Создавая различные модели правильных многогранников расширил своё пространственное воображение.
4. В дальнейшем хотел бы изучить и научиться строить модели других пространственных фигур.

Подводя итоги, можно считать цели исследования достигнутыми.

Литература:

1. Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б. Суворов. Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. организаций – 3-е мзд. –М.:Просещение, 2015.
2. Н.Я. Виленкин За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия – 1996.
3.  Математика: Школьная энциклопедия – 2003.
4.  И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики – 1989

http://vidoka.ru/watch/Z-igwtaZWvw/Икосаэдр+Как+сделать+икосаэдр+из+бумаги+Оригами.html

Приложение 1

1. Разверстки правильных многогранников.

2.  Для того чтобы сплести тетраэдр, нужно:

3. Плетём куб: