теорема Стюарта

Слайд 1

Проектно –исследовательская работа : « Полезные формулы для вычисления чевиан треугольника » Номинация: Геометрическая миниатюра Работу выполнили: Уртаев Эдуард Плиева Камилла ученики 8 класса МКОУ СОШ с. Н.Батако Научный руководитель: Гагиева А.О.

Слайд 2

Цели исследования: Сбор и систематизация общих формул для нахождения замечательных элементов треугольника. Сведение результатов таблицу. Актуальность исследования: Полученные формулы можно применять при решении любых заданий школьного курса, прикладных задач, в том числе при сдаче ЕГЭ и ОГЭ. Предмет исследования широко применяется во многих научных дисциплинах: физике, черчении, моделировании и т.д.

Слайд 3

ВВЕДЕНИЕ Геометрия начинается с треугольника. В школьном курсе ученик получает знания, позволяющие ему из трёх известных элементов треугольника найти оставшиеся три – «решить» треугольник. Однако полученных знаний порой не хватает для рационального решения задач не только в дальнейшей школьной программе, но на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ , не говоря уже о собственных научных проектах учащихся, например по физике. В задачах на метрические соотношения в треугольнике часто приходится одну из вершин треугольника соединять с некоторой точкой противоположной стороны или её продолжением и вычислять длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с этой точкой. Для всех подобных задач можно указать очень простой и в то же время общий способ решения, основанный на предложении, содержащем одно из самых общих свойств треугольника. Это предложение известно под названием теоремы Стюарта. Эта теорема значительно упрощает решение многих задач на вычисление сторон, медиан и биссектрис треугольника. Мы решили собрать формулы для нахождения элементов треугольника, часто встречающихся в задачах, таких как расстояние между ними, медиана, биссектриса, высота или любая другая чевиана .

Слайд 4

Содержание: 1. Формулы высоты треугольника 2. Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике 3. Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника 4. Теорема Стюарта 4.1 Длина биссектрисы, проведенной из прямого угла на гипотенузу. 4.2 Длина биссектрисы, проведенной из острого угла на катет 4.3 Формулы биссектрисы в произвольном треугольнике 4.4 Формулы медианы произвольного треугольника 4.5 Формулы медианы прямоугольного треугольника 4.6 Задачи Заключение Использованная литература

Слайд 5

Чевиана — это любой отрезок в треугольнике, один конец которого является вершиной треугольника, а другой конец лежит на противоположной вершине стороне. Медианы, высоты и биссектрисы являются специальными случаями чевиан . а,в,с - чевианы треугольника MNK в а с M N K

Слайд 6

Формулы высоты треугольника H - высота треугольника a - сторона, основание b , c - стороны β , γ - углы при основании p - полупериметр, p= ( a+b+c )/2 R - радиус описанной окружности S - площадь треугольника Формула длины высоты через сторону и угол Формула длины высоты через стороны и радиус, описанной окружности Формула длины высоты через стороны

Слайд 7

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике H - высота из прямого угла a , b - катеты с - гипотенуза c 1 , c 2 - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой α , β - углы при гипотенузе Формула длины высоты через стороны Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы Формула длины высоты через катет и угол

Слайд 8

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника L - высота = биссектриса = медиана a - равные стороны треугольника b - основание α - равные углы при основании β - угол образованный равными сторонами

Слайд 9

Теорема Стюарта: Квадрат любой чевианы равен отношению суммы произведения квадратов боковых сторон на несмежные с ними отрезки основания к длине основания без произведения этих отрезков

Слайд 10

Теорема Стюарта Если даны треугольник ABC и на его основании BC точка D , лежащая между точками B и C , то имеет место равенство:

Слайд 11

Длина биссектрисы, проведенной из прямого угла на гипотенузу: L - биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град) a , b - катеты прямоугольного треугольника с - гипотенуза α - угол прилежащий к гипотенузе Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ): Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):

Слайд 12

Длина биссектрисы, проведенной из острого угла на катет: L - биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла a , b - катеты прямоугольного треугольника с - гипотенуза α, β - углы прилежащие к гипотенузе Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ): Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):

Слайд 13

Формулы биссектрисы в произвольном треугольнике L - биссектриса a , b - стороны треугольника с - сторона, на которую опущена биссектриса d , e - отрезки полученные делением биссектрисы γ - угол ABC , разделенный биссектрисой пополам p - полупериметр, p = ( a+b+c )/2 Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними Длина биссектрисы через полупериметр и стороны Длина биссектрисы через три стороны Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e

Слайд 14

Формулы медианы произвольного треугольника M - медиана, отрезок |AO| c - сторона на которую ложится медиана a , b - стороны треугольника γ - угол CAB Формула длины медианы через три стороны Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

Слайд 15

Формулы медианы прямоугольного треугольника M - медиана R - радиус описанной окружности O - центр описанной окружности с - гипотенуза a , b - катеты α - острый угол CAB Формула длины через катеты Формула длины через катет и острый угол

Слайд 16

Задача №1 В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 см и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании. Решение: Длину биссектрисы найдем по формуле: а=с=20см, в=5см, р= (20+20+5):2=22,5см в=5 с=20 а=20 L

Слайд 17

Задача №2 В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание, если медиана равна 3 см. Решение: Применим теорему Стюарта: 3 4 m 2 2

Слайд 18

Задача №3 Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сторон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника. Решение: Применим 20 18 24 А В С Д Р

Слайд 19

Задача №4 . Сторона AB треугольника ABC равна 3, BC =2 AC , E - точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, DE =1. Найти сторону AC . Решение:

Слайд 20

Вывод: Теорема Стюарта расширяет возможности решения задач по нахождению элементов треугольника, даёт возможность творчества при решении задач, учит видеть и находить связь между элементами треугольника.

Слайд 21

Заключение Исследовательская работа была интересной и в будущем мы хотим продолжить эту работу , чтобы найти другие формулу для упрощения вычислительной работы при решении геометрических задач.

Слайд 22

Литература: Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе. Сборник статей. Под редакцией П. В. Стратилатова. Москва — 1955. Г. И. Глейзер. История математики в школе. 9–10 класс. Москва «Просвещение». 1983 Московский государственный университет им. Ломоносова. Математика. И. Н. Сергеев, И. И. Мельников, С. Н. Олехник , Задачи вступительных экзаменов (1993–1997). Москва 1998. О. П. Зеленяк , Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Киев, Москва, ДМК, Пресс, 2008 П. С. Моденов , Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения, Москва «Книга по требованию». Н. Рыбкина «Сборник задач по геометрии для 6–9 классов средней школы», часть I, Планиметрия, «Просвещение», 1964. http://www.problems.ru Л. С. Атанасян и др , Геометрия: Доп.главы к шк.учеб.9кл.: Учебное пособие для учащихся шк . и кл . с углубл . изуч ..математики. М.: Просвещение, 1997.