Теорема Безу и схема Горнера
Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывается в виде таблицы, которая называется схемой Горнера. Тема не всегда хорошо воспринимается обучающими, поэтому особо ценно обьяснение этого материала учеником.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Теорема Безу, Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов | 104.2 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Этье́н Безу́— французский математик, член Французской академии наук (1758). Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося .
Теорема Б езу: остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен х-а равен р(а) (т.е. значению р(х) при х=а) Доказательство: разделим с остатком многочлен р(х) на двучлен х-а и получим некоторый многочлен q(x) , тогда p(x)=(x-a)q(x)+r , где p(x ) – делимое ; (x-a ) –делитель ; q(x ) – частное и r – остаток. Следовательно при х=а , тогда р(а)=(а-а) q(a)+r и p(a)=r Ч.иТ.Д .
Пример: разделим 2х 3 -3х 2 +2х+5 на х-1 Здесь а =1 и по теореме остаток от деления r равен 2* 1 -3*1 2 -2*1+5= 6 , проверим: 2х 3 -3х 2 +2х+5 [ _ х-1__ - 2х 3 -2х 2 ____ 2х 2 –х+1 -х 2 +2х+5 - х 2 +х____ х+5 - х-1__ 6
Если число а является корнем многочлена р(х) (то есть р(а)=0 ), то р(х) делится на х-а без остатка Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами Пусть а – целый корень приведённого многочлена А(х) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого к число А(к) делится на а-к . Если число а является корнем многочлена Р(х) , то этот многочлен можно представить в виде (х-а)Р 1 (х) , где Р 1 (х ) – многочлен n-1 -ой степени. Следствия теоремы:
Рассмотрим частный случай р(х)= bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex+f , разделив р(х) на х-а получим p(x)=(x-a)q(x) + r , где q(x) – некоторый многочлен вида q(x)=kx 3 +mx 2 +nx+s Итак, bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex+f =( kx 3 +mx 2 +nx+s )(х-а)+ r , Раскрыв скобки получим: bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex+f = kx 4 +(m- ka )x 3 +(n-ma)x 2 +(s- na ) x+r-sa Откуда следует, что k=b; m= ka+c ; n= ma+d ; s= na+e ; r= sa+f Схема Горнера:
k 0 k 1 k 2 k 3 … k n-1 k n а b 0 =k 0 b 1 = k 1 +b 0 a b 2 = k 2 +b 1 a b 3 = k 3 +b 2 a … b n-1 = k n-1 +b n-2 a b n = k n +b n-1 a В общем виде схема Г орнера выглядит следующим образом:
Разделим р(х)=2х 5 +х 4 -3х 3 +2х 2 +5 на х+2, здесь а= -2 т.к (х+2=х-а) Итак, 2х 5 +х 4 -3х 3 +2х 2 +5=(х-2)( 2 х 4 -3 х 3 + 3 х 2 -4 х+ 8 )- 11 Пример: b=2 c=1 d= -3 e= 2 f=0 l=5 а= -2 K= 2 m=2*(-2)+1= -3 n=(-3)*(-2)+(-3)= 3 s= -4 v= 8 r= -11
Решим уравнение: Р(х)= х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0 Решение: делители свободного члена :±1 ,±2,±3,±6. По следствию 2. Р( 1 )=1+5+5-5-6=0 Р (-1 )=1-5+5+5-6=0 1 5 5 -5 6 1 1 6 11 6 0 -1 1 5 6 0 (х-1)(х 3 +6х 2 +11х+6)=0 (х-1)(х+1)(х 2 +5х+6)=0 По следствию 4. х 2 +5х+6=0 х 1 = -3 ; х 2 = -2 Ответ: 1;-1;-3;-2 .
Итак, мы убедились, что теорема Безу и следствия из неё а также схема Горнера позволяют быстро и эффективно находить корни уравнений с целыми коэффициентами.
Спасибо за внимание!
Ах эта снежная зима
В какой день недели родился Юрий Гагарин?
Два морехода
Компас своими руками
Рисуем ветку берёзы сухой пастелью