Научно-исследовательская работа по геометрии «Параллельный перенос и симметрия в эвенкийских орнаментах»

Курумканское районное управление образования МО «Курумканский район»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«УЛЮНХАНСКАЯ  СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

671632, Республика Бурятия, с. Улюнхан, ул. Новая, 1., тел.: 91-5-74, 91-5-24

Научно-практическая конференция

«Шаг в будущее»

Тема работы:

«Параллельный перенос и симметрия

 в эвенкийских орнаментах»

Секция «Геометрия»

Выполнила: Баханова Раджана,

ученица 11 класса.

Руководитель: Аюшеева О.Ю.,

учитель математики.

2018 год

Оглавление

Раздел                                                                                      Страница

Введение…………………………………..……………….……….2

1. Теоретическая  часть…………………………………………….3

1. 1. Симметрия и ее виды………………………………………….3

1. 2. Параллельный перенос………………………………………..4

1.3. Орнаменты и их виды …………………………………………4

1.4. Симметрия и параллельный перенос в орнаментах…………6

2. Практическая часть. Симметрия и параллельный перенос в эвенкийских  орнаментах…………………………………………………………………7

Заключение…………………………………………………………..10

Литература…………………………………………………………..11

Приложение………………………………………………………..12

Введение

“Симметрия является той идеей,  посредством которой человек на протяжении веков

пытался постичь и создать порядок,  красоту и совершенство”.

Герман Вейль

В  Бурятии, в Курумканском районе  проживают народы разных национальностей: русские, буряты, эвенки, татары  и другие. У всех народов есть свои традиции, элементы быта, культура, костюмы. Для отделки костюмов, предметов обихода используются разные геометрические мотивы (многоугольники, линии, орнаменты) и их преобразования (симметрия, параллельный перенос). Наиболее часто встречающиеся мотивы в костюмах эвенков  - это орнаменты.

Я   посещаю кружок «Удя» в Эвенкийском центре «Давдын». Создавая эвенкийские орнаменты, я заметила, что применяю геометрические фигуры, которые повторяются. Это меня заинтересовало, и я решила установить связь между орнаментами эвенков и геометрическими понятиями, такими как параллельный перенос и симметрия, выявить виды орнаментов и симметрии и показать их на примере орнаментов у эвенков. Это и стало целью моей работы.

В настоящее время все чаще и чаще возрождаются традиции народов, проводятся праздники, народные гулянья, где жители выходят в своих национальных костюмах. Для отделки костюмов используются орнаменты, состоящие из разных видов многоугольников. Создание таких нарядов требует от мастеров знаний не только своего народа, традиций, но и геометрические знания. Поэтому тема работы остается актуальной и в настоящее время.

Методы и приемы исследования: библиографический, поисковый метод, анализ  данных.

Объект исследования: орнаменты.

Предмет исследования: параллельный перенос и симметрия.

Гипотеза: Если изучить такие математические понятия как симметрия и параллельный перенос, то можно увидеть и описать их в орнаментах.

Для проверки гипотезы и достижения цели я поставила следующие задачи:

1. Собрать и изучить литературу по темам «Симметрия и ее виды», «Параллельный перенос», «Орнаменты и их виды».
2. Показать симметрию и параллельный перенос в орнаментах
3. Найти и описать симметрию в эвенкийских орнаментах.
4. Анализировать применение симметрии в орнаментах с точки зрения геометрии.

Этапы исследования:

1. Изучение литературы о симметрии, параллельном переносе и орнаментах.
2. Сбор необходимого материала для сравнения.
3. Проведение исследования (сравнение и анализ видов симметрии в эвенкийских орнаментах).
4. Описание полученных данных.

Практическая значимость работы состоит в том, что данные материалы, проведенные исследования и сравнения можно использовать на уроках бурятского языка и литературы, эвенкийского языка, а на геометрии можно показать, что геометрические знания необходимы не только на уроках, но и в жизни разных народов.

1. Теоретическая часть.

1.1.Симметрия и ее виды

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. Немецкий математик Герман Вейль  сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае.

1.1.1. Осевая симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рис.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рис.2).

В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

1.1.2 Центральная симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рис. 4). Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рис. 5).

1.1.3. Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае говорят о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.На рисунке 6 даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.

1.1.4. Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия, хорошо знакомая каждому из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его изображение в плоском зеркале. (Рис.7).

1.1.5. Зеркально-поворотная симметрия

Вырежем из плотной бумаги квадрат и впишем внутрь его косо другой квадрат. Затем отогнем углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате получим объект, показанный на рис.9.

1.1.6.Переносная (трансляционная) симметрия

При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой (Рисунок 10).

1.2. Параллельный перенос

При параллельном переносе все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (Рис.11).
Свойства параллельного переноса  отрезок переходит в равный ему отрезок,  угол переходит в равный ему угол, окружность переходит в равную ей окружность, любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник, параллельные прямые переходят в параллельные прямые, перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.

1.3. Орнаменты и их виды

Орнамент (от лат. ornamentium — украшение) — узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов. Основной закономерностью орнамента является периодическая повторяемость мотива, и именно это производит эстетическое впечатление.

Орнаменты подразделяются на следующие виды: технический, символический, геометрический, растительный, каллиграфический, фантастический, астральный, пейзажный, животный, предметный (или вещный). [8].

 Технический орнамент

Первичной формой орнамента является технический орнамент, возникший в результате трудовой деятельности человека (фактура изделий из глины, обработанных на гончарном круге, рисунок простейших клеток в ткани, спиралеобразные витки, получаемые при плетении веревок) (Рис. 12).

Символический орнамент возник и сформировался на основе изображений животных, людей, орудий труда в наскальных рисунках, на ткани. Эволюция условных изображений привела к тому, что орнаментальные образы зачастую представляют собой символы (рис13). Геометрический орнамент сформировался на основе технического и символического орнаментов (Рис.  14). В нем всегда делается акцент на строгом чередовании ритмических элементов и их цветовых сочетаний.

Растительный орнамент - самый распространенный после геометрического. Для него характерны свои излюбленные мотивы, различные для разных стран в разные времена (Рис.15). 

Пейзажный орнамент особенно часто использовался и используется на текстильных изделиях производства Японии и Китая (Рис.16).
В животном (анималистическом) орнаменте возможны как реалистические, так и более условные, стилизованные изображения птиц, зверей и так далее. В последнем случае орнамент в известной степени приближается к орнаменту фантастическому.

Рапорт (мотив) - повторение одной и той же группы элементов в узоре. Одно мотивным называют узор, в котором ритмически повторяется один и тот же мотив. Например, одно мотивным является знаменитый древнегреческий орнамент под названием «меандр» (рис.17).

В зависимости от цели и назначения различают три вида орнамента, которые принято считать основными: ленточный, сетчатый и композиционно замкнутый. [8]

Ленточный орнамент подразделяется на фриз, бордюр и кайму.

Фриз представляет собой орнаментированную композицию, предназначенную для декоративного оформления верхней части стены либо внутри, либо снаружи здания. Бордюр — это замкнутая композиция, имеющая ритмический повтор элементов в две противоположные стороны и образующая орнаментальную полосу (Рис.18.). Обычно подчеркивает края какой-либо плоскости или объемной формы.  Кайма тоже представляет собой узорную полосу, обрамляющую плоскость. Широко применяется на скатертях, коврах, блюдах (Рис.19). Мотивы сетчатого орнамента равномерно распространяются во все стороны на четкой геометрической основе, напоминающей сетку, откуда и произошло такое название (рис. 20)

Композиционно замкнутый орнамент представляет собой мотив, заключенный внутри круга, квадрата или многоугольника. Вписанный в круг узор носит название розетты (рис.21).
По количеству цветов: монохромный орнамент и полихромный. [8].

1.4. Симметрия и параллельный перенос в орнаментах

В основе построения орнамента лежит многократное повторение мотивов (параллельный перенос) по законам симметрии. Симметрия — это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самой собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях. [5]

Среди наиболее распространенных видов симметрии находится зеркальная симметрия.  (Рис.22). Осевая симметрия часто встречается в природе и широко применяется в орнаментах: симметрия цветка и орнаментального аналога — розетки.

Геометрические приемы, используемые при составлении розеток: деление окружности на равные части с помощью транспортира, использование симметрии. Основообразующей формой этого орнамента является круг, разделенный на части, в одной части которого рисуется узор, а потом с помощью симметрии повторяется в других частях круга.

Чаще встречаются розетки, совмещающие в себе осевую и зеркальную симметрии (в этом случае имеются не только оси, но и плоскости зеркальной симметрии). Также в розетках может быть и поворотная симметрия. Количество фигур в полном обороте определяет порядок поворотной симметрии. В орнаменте на плоскости встречается поворотная симметрия 2-го, 3-го и 6-го порядков и другие. В соответствии с порядком поворотной симметрии фигуры орнамента относительно друг друга повернуты на 180, 120, 90, 60, 30 градусов.

На данной розетке (рис.3) мы видим поворотную симметрию 6-го порядка, элементы которой получены поворотом на 60 градусов.

Знакомство с параллельным переносом поможет понять, как устроены бесконечные узоры.

Если вдоль оси равномерно расположить декоративные одинаковые мотивы, то таким образом образуется ленточный орнамент, бордюр, который может быть бесконечно продолжен в обе стороны. Бордюром с точки зрения геометрии называют плоскую геометрическую фигуру, которая состоит из одинаковых фигур, выстроенных на одной линии с помощью параллельного переноса.

Такому орнаменту присуща особая симметрия: если его сдвинуть вдоль оси на одно звено, то каждая из фигур узора наложится на среднюю фигуру, совместится с ней (рис.24)

Совмещая параллельный перенос и виды симметрии можно получить различные орнаменты. (рис.25). На примере этих орнаментов мы можем увидеть центральную симметрию и параллельный перенос (рис.26). Данный орнамент можно получить с помощью параллельного переноса (рис. 27). С помощью осевой симметрии и параллельного переноса (рис. 28).

В первом орнаменте поворотную симметрию 6-го порядка, элементы которой получены поворотом на 60 градусов, а во втором поворотную симметрию 4-го порядка, элементы которой получены поворотом на 90 градусов.

Орнаменты могут создавать с помощью параллельного переноса и совмещения его с осевой, центральной, поворотной симметрией.

2. Практическая часть.

Симметрия и параллельный перенос в эвенкийских  орнаментах.

Орнамент всегда широко применялся эвенками в качестве декоративного оформления изделий, необходимых людям в быту и практической деятельности. Он составляет основу эвенкийского декоративно-прикладного искусства. Без орнамента не обходятся ни одно  изделие художественного промысла, текстиля эвенков.

Эвенкийский орнамент имеет свой национальный колорит и несет в себе смысловую нагрузку. Орнамент представляет собой стилизованное изображение растений и животных или других предметов. Он состоит из ритмически повторяющихся мотивов. И каждый имеет свое название. Среди них аюкта «звездочка», солган «чередование черного и белого бисера»,  дылача «образ солнца», сэктэкэр «ветки деревьев», дюнмэн «двойная строчка», хорон «раздвоенная вершина дерева», саримикта «бровь человека», манакан «лапка птицы», дёлог иен «рога горного козла» и т.д. [9]

      Сетчатый орнамент широко применяется  при инкрустации деревянных изделий медью, серебром. Мелкие сетчатые узоры в настоящее время применяют при вышивании бисером (рис.29).

       Углы, квадраты, ромбовидные орнаменты - это геометрические фигуры, которые можно увидеть на коврах-кумаланах, на зимней обуви в виде мозаики из кусочков меха оленя. Угол - умун кирачи, квадрат - гилбэкэ. Эти орнаменты используют для украшения.

Дугообразные, волнообразные орнаменты, зигзаги можно отнести к бордюрным. Ими орнаментируются не только изделия из кости и дерева, но и любые другие (рис.30).

Бордюрные орнаменты и розетки - это отдельные витые орнаменты, соединенные в единый бордюр, Их используют для украшения обуви, других изделий бисером.[10]

В эвенкийском центре вышиваем в основном бисером, этот традиционный прием вышивания бисером  называется аюкта.

Я провела сравнительный анализ изделий и построением орнаментов, с видами  симметрий и переносов  в них. Я выбрала только те изделия, которые вышивала сама на занятиях кружка (приложение 5).

Из розеток, вышитых бисером с определенным подбором цветов, получаются сувениры - «солнышки» (рис.31). Материалы, использованные при изготовлении данного изделия – мех песца, бисер трех цветов: красный, белый, синий. Бисер расшивается по окружности -  применяется центральная симметрия.

При создании  розетки я применила поворотную симметрию 5 уровня. Поворот основного элемента на 72º (рис.32). Использовались материалы: основа – войлок, бисер пяти  цветов: красный, белый, синий, желтый, зеленый, по окружности мех северного оленя.

На орнаменте, изображающем рога горного барана  - дегол, я применяла осевую симметрию  - разделила окружности на равные части с помощью транспортира, получила круг, разделенный на части, в одной части которого рисуется узор, а потом с помощью симметрии повторяется в других частях круга (рис.33).  Изделие изготовлено из материалов: основа – войлок серого цвета, бисер желтого и голубого цветов.

На  орнаменте изображающем солнце – дылача, применяла центральную симметрию (рис.34).  Симметричные точки расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой — перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки  и все точки оси симметрии, проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов. Материалы: основа – войлок темно-серого цвета, в центре – геометрический орнамент голубым и синим  бисером, по окружности – желтым, красным, оранжевым, синим выполнен технический орнамент.

При изготовлении следующего изделия «Осикта» (звездочка) (рис.35) во внутреннем круге орнамента я  применяла поворотную симметрию 6 уровня, поэтому поворот каждой фигуры на 60º. На внешнем круге я применяю поворотную симметрию 7 уровня – здесь поворот фигуры составляет 700. Использованы материалы: войлок как основа, бисеры синего и белого цветов. Данный орнамент еще в работе.

Также в кружке «Удя» мы занимаемся пошивом украшений для унтов, которые в последнее время стали очень популярны, особенно у молодежи. Такие украшения называются гоюлгоптун (рис.36). При изготовлении изделия использованы материалы: черный войлок, мех северного оленя, бисер белого цвета. Вышивка выполнена подшейным волосом оленя. Белый подбородочный мех оленя – очень непрочный, ломкий материал, и он требует особой сноровки мастерицы. На изделии я применила осевую симметрию при создании геометрического орнамента ромба - основообразующей формой этого орнамента является круг, разделенный на части, в одной части которого рисуется узор, а потом с помощью симметрии повторяется в других частях круга. А при создании снежинки -  центральную симметрию. Далее параллельный перенос  -  сшила плоскую геометрическую фигуру, которая состоит из одинаковых фигур, выстроенных на одной линии.  Таким образом мы получаем ленточный орнамент - вдоль оси равномерно расположены декоративные одинаковые мотивы.  

Заключение

Работая над темой, я изучила литературу, познакомилась с симметрией и ее видами, параллельным переносом, орнаментами и их видами, нашла и показала виды симметрии в орнаментах у эвенков. Симметрия, действительно, очень важный элемент  в создании орнаментов: она  придаёт орнаментам неопределённую красоту, а без параллельного переноса в орнаментах не обойтись.

В ходе исследовательской работы я убедилась, что  симметрия и ее виды: осевая, центральная, поворотная, зеркальная, зеркально-поворотная, переносная широко применяются в изготовлении эвенкийских орнаментов, которые  используются не только в изготовлении костюмов, но и при украшении различных предметов (утвари, оружия и так далее).

Я   подобрала орнаменты и изготовила предметы, посещая кружок «Удя» в нашем эвенкийском центре «Давдын».  (Приложение 5). При построении таких орнаментов я применила параллельный перенос и центральную, поворотную и осевую виды симметрии.

В результате проведенного исследования я пришла к следующим выводам:

• сложность орнаментальных форм подчинена законам симметрии;
• орнаменты на одежде и головных уборах эвенкийских костюмов выстраиваются с применением симметрии: осевой, переносной и центральной;
• для эвенкийского  орнамента  преобладают такие виды орнаментов с наличием симметрии, как ленточный фриз, геометрический. Для пошива костюмов используются ткани с нанесенным сетчатым орнаментом;
• в составе орнамента национальной  одежды эвенков чаще всего используются ленточные бордюры и кайма; для строгого чередования ритмических элементов используется геометрический орнамент.

Я полностью согласна со словами немецкого математика Германа Вейля, что с помощью симметрии можно достичь совершенства, и убедилась в этом, изучая симметрию. Увидела ее многообразие в орнаментах национальных костюмов, предметах быта и считаю, что симметрия - это основное преобразование фигур для создания орнаментальных мотивов.

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 7-9. Учеб. для общеобразовательных учреждений. Москва, 2002 г. – С. 110 – 113.

2. Геометрия: Красота и гармония. Авт.-сост. Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2007.

3. Геометрия: Доп. Главы к шк. Учеб. 8 кл. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. М.: Просвещение, 1996.

4. Семёнов С.Е. Изучаем геометрию: Кн. Для учащихся 6 – 8 классов сред. шк. – М.: Просвещение, 1987.

5. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1982.

6. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа,1999.

7. Виды орнамента /Электронный ресурс/

8. Сафьянникова Т.М. «Радуга красок Сонкана».2010 г.

9. Тунгусо-маньчжурские этносы в новом столетии: //Сборник материалов Всероссийской конференции с международным участием. – Улан-Удэ, 2009.

10. Сафьянникова Т.М. «Орнаменты и украшение эвенков» - Красноярск: Издательский дом «Сибирские промыслы». 2007 год.

Приложение 1.

 Осевая симметрия

Рис.1

Рис.2.

Рис.3

Центральная симметрия

Рис.4

Рис.5

 Поворотная симметрия

Рис.6

 Зеркальная симметрия

Рис. 7.        

Рис.8.

Переносная (трансляционная) симметрия

 Рис.10

Приложение 2.

 Параллельный перенос

Рис.11.

        Орнаменты и их виды

        Технический орнамент

Рис. 12.

Символический орнамент

Рис.13.

Геометрический орнамент

 Рис.14

Цветочный орнамент

Рис. 15.

Пейзажный орнамент

Рис.16

Приложение 3.

Стиль «Менандр»

Рис. 17.

        Виды орнаментов

Бордюр

Рис. 18.

Кайма 

 Рис.19

Сетчатый  орнамент

Рис. 20

Композиционно замкнутый орнамент

Рис. 21.

Приложение 4.

Зеркальная  симметрия 

Рис.22.

Поворотная симметрия

 Рис. 23.

Рис. 24.

Рис.25

Рис. 26.

   Рис.27.

Рис. 28.

Приложение 5.

Симметрия и параллельный перенос в эвенкийских  орнаментах.

Сетчатый орнамент как украшение унтов.

Рис. 29

Рис. 30.

Центральная симметрия в сувенире «Солнышко».

Рис.31.

Поворотная  симметрия 5 уровня в розетке

Рис. 32.

Осевая  симметрия  с изображением рогов горного барана  - дегол.

Рис.33.

Центральная симметрия  - орнамент изображает солнце – дылача.

Рис. 34.

Поворотная симметрия 6-го круга

Рис.35.

        Осевая симметрия при создании ромба, при создании снежинки -  центральная симметрия, далее параллельный перенос при создании украшения для унтов

Рис. 36.