Теорема Пифагора в жизни человека

Слайд 1

Слайд 2

« Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь , как в день её рожденья.» А.Шамиссо.

Слайд 3

Цель работы Изучить историю теоремы Пифагора Найти различные доказательства теоремы Изучить области её применения Привести примеры решения задач на теорему Пифагора

Слайд 4

Формулировки теоремы "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Евклид "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". перевод Г.Клемонского /12век/ «Площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". « Geometria Culmonensis » /около 1400г/ "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". перевод Ф.И.Петрушевского /первый русский перевод/

Слайд 5

Доказательства теоремы Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликие фигуры Доказательства методом разложения Доказательства методом построения Алгебраический метод доказательства Доказательства методом дополнения Доказательство, основанное на теории подобия Другие доказательства

Слайд 6

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана. Простейшее доказательство

Слайд 7

Доказательство Энштейна Метод разложения Его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Слайд 8

Доказательство методом построения Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ.

Слайд 9

Алгебраический метод доказательства. На рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM принадлежит AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того, что треугольник ABC подобен треугольнику ACM следует b 1 /b = b/c b 2 = cb 1 ; (1) Из того, что треугольник ABC подобен треугольнику BCM следует a 1 /a = a/c a 2 = ca 1 . (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = =c(b 1 + a 1 ) = c 2 .

Слайд 10

Доказательство Мёльманна Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна ½ а b , с другой ½ р r , где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности r= ½ ( a+b-c) Имеем: ½ а b = ½ р r = ½ ( a+b+c) * ½ ( a+b-c) откуда следует, что c 2 =a 2 +b 2 .

Слайд 11

Доказательство методом дополнения К обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Слайд 12

Иллюстрация теоремы Пифагора. Из двух сосудов в виде квадратов на катетах прямоугольного треугольника вода переливается в один сосуд в виде квадрата на гипотенузе. Убеждаемся - вода в обоих случаях заполняет сосуды "под завязку".

Слайд 13

Применение теоремы Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. Построение прямых углов египтянами Нахождение высоты объекта и определение расстояния до недоступного предмета.

Слайд 14

Такие задачи решают при проектировании любых строительных объектов. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни , например установление ёлки. Покрытие полов паркетом .

Слайд 15

Применение теоремы В планиметрии. Расчёт длинны диагонали квадрата d²=2a² Расчёт длинны диагонали прямоугольника d²=a²+b²

Слайд 16

Применение теоремы Пифагора в строительстве Если рассматривать четырехугольную пирамиду как крышу башни, то речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь."

Слайд 17

В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. Радиусы округлых окон рассчитываются с помощью теоремы Пифагора

Слайд 18

Молниеотвод Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h 2 ≥ a 2 +b 2 , значит h ≥ (a 2 +b 2 ) ½ . Ответ: h ≥ (a 2 +b 2 ) ½

Слайд 19

Связь С помощью теоремы Пифагора можно подсчитать какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка или антенна телефонной связи.

Слайд 20

В виде сигнала В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора .

Слайд 21

Исторические задачи на теорему « На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Слайд 22

Задача из китайской "Математики в девяти книгах" "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Слайд 23

Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

Слайд 24

Задача 1: С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого. Решение: По теореме Пифагора: 4x 2 +(0,75x*2) 2 =2000 2 6,25x 2 =2000 2 2,5x=2000 x= 800 0,75x=0,75*800= 600 . Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.

Слайд 25

Задача 2: Как следовало бы поступить юному математику, чтобы надёжным образом получить прямой угол? Решение: Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиной в 3 , 4 и 5 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.

Слайд 26

Задача 3: Условие: Если каждое ребро куба увеличить на 2см, то его объём увеличится на 98см 3. Найдите ребро куба. Решение: Обозначим ребро куба через х, тогда(x+2) 3 -x 3 =98,т.е. x 2 +2x-15=0. Уравнение имеет два корня: x=3, x=-5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3см.

Слайд 27

Задача 4: Условие: В прямом параллелепипеде стороны основания a и b образуют угол 30 градусов. Боковая поверхность равна S. Найдите его объём. Решение: Обозначим высоту через х. Тогда (2a+2b)x=S, отсюда x=S/2*(a+b). Площадь основания параллелепипеда равна a*b*sin30=a*b/2. Объём равен a*b*S/4*(a+b).

Слайд 28

З а д а ч а 5: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?