Комплексные числа

Слайд 1

Слайд 2

Историческая справка Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того, как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение. Ф. Клейн

Слайд 3

Понятие комплексного числа Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы: а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел,в ч астности, сочетательному, переместительному, распределительному законам; б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения ; в) существует комплексное число, квадрат которого равен –1 . = – 1.

Слайд 4

Классификация комплексных чисел

Слайд 5

Геометрическая модель комплексных чисел Для геометрического изображения действительных чисел применяется числовая ось. Любой отрезок АС изображает действительное число х, абсолютная величина которого равна длине отрезка. Обратимся к геометрическому истолкованию действий над действительными числами. Изображая действительные чис л а векторами, лежащими на одной и той же прямой , сведем эти действия к операциям над векторами Сложение Умножение

Слайд 6

Будем рассматривать теперь всевозможные векторы на плоскости и с каждым из них также свяжем число, изображаемое этим вектором. Л юбой вектор, лежащий на оси Ах или параллельный ей, можно по-прежнему рассматривать как геометрический образ действительного числа(векторы АВ и изображают число 1 ) . Векторы, не лежащие на Ах и не параллельные этой оси, не изображают никаких действительных чисел (АЕ и FG ). Относительно этих векторов мы будем говорить, что они изображают мнимые числа. При этом векторы, равные по длине, параллельные между собой и направленные в одну сторону, изображают одно и то же число, а векторы, различающиеся либо длиной, либо направлением, - разные мнимые числа. Выше мы показали, что действия над действительными числами можно заменить операциями над векторами, изображающими эти ч исла. Подобно этому мы и действия над мнимыми числами будем заменять действиями над изображающими их векторами.

Слайд 7

Сложение комплексных чисел Пусть и - два вектора, изображающих некоторые комплексные числа и . Чтобы построить вектор, изображающий их сумму С + , от конца вектора откладываем вектор , одинаковый по длине и по направлению с вектором . Вектор АС, соединяющий начало с концом и будет искомым.

Слайд 8

Умножение комплексных чисел Ч тобы умножить комплексное число на комплексное число , нужно умножить на | | длину вектора, изображающего (оставив то же направление), а затем повернуть измененный вектор около точки А на угол, равный аргументу , полученный вектор изобразит произведение . Здесь абсолютной величиной называется длина вектора , а аргументом – угол между положительным направлением оси Ах и вектором С ложение и умножение комплексных чисел удовлетворяют тем же законам, переместительному, сочетательному и распределительному, как и в случае действительных чисел, а вычитание и деление, так же как и для действительных чисел, определяются как действия, обратные сложению и умножению.

Слайд 9

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа Пусть Тогда или

Слайд 10

Решение квадратных уравнений Хорошо известно, что не любое квадратное уравнение может быть решено в действительных числах; условием разрешимости является не отрицательность его дискриминанта . В комплексных числах это исключение исчезает.

Слайд 11

Практическая часть Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения x = – 1. Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел 1 . 2 . 3 . 1) Решить уравнение  2 -6 x +13=0 Решение: D = b 2 -4 ac =(-6) 2 -4  1  13=36-52=-16  D=  -16=  16(-1)=4i  1,2 =(-b   D)/2a  1 =(6-4i)/2=2(3-2i)/2=3-2i,  2 =(6+4i)/2=2(3+2i)/2=3+2i Таким образом получаем, что если D <0 , то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах.

Слайд 12

4. Найти сумму Решение:

Слайд 13

Геометрическая задача На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС построен квадрат вне треугольника. Найти расстояние от вершины C прямого угла до центра квадрата Q , если длины катетов ВС и АС равны, соответственно, a и b . Решение:

Слайд 14

Применение комплексных чисел Комплексные числа находят широкое применение в задачах физики, геометрии, электротехники. Аппарат комплексных чисел является хорошим аналитическим средством для решения различных геометрических задач. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким. Применение комплексных чисел позволяет проще, и изящнее решать многие известные задачи, но и дает возможность обнаружить новые факты и делать обобщения. Наконец, комплексные числа служат хорошим средством установления межпредметных связей между различными разделами математики и физики. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды и полет самолетов и ракет. Применяются они при вычерчивании географических карт. Используются комплексные числа для изучения явлений в атомах и атомных ядрах и т.д. Использование методов теории функции комплексной переменной используется при построении фракталов, которые в последние время стали очень популярны. Фракталы находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации. Фракталы используются при анализе и классификации сигналов сложной формы, они применяются в физике твердого тела, в динамике активных сред. Столь популярные ныне фрактальные объекты – порождение компьютерного мира.