Проект на тему: «Необычные способы умножения натуральных чисел»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Наруксовская средняя общеобразовательная школа

Проект на тему:

«Необычные способы умножения

 натуральных чисел»

Работу выполнили: ученицы  5 класса

                                                                                                             Аверина Алина

Князева Анастасия

Руководитель: учитель математики

Тумаева Г.М.

2012г.

Цель:

Познакомиться со старинными приемами умножения.

Расширить знания по различным приемам умножения.

Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения .

Введение

 Что такое умножение?

Это действие сложения.

Но не слишком-то приятное,

Потому что мно-го-крат-ное…

Тим Собакин

В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. В разное время разные народы владели разными способами умножения натуральных чисел. Интересно, что наши способы умножения не является совершенными, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

Основная часть

Легко умножать нам помогают следующие свойства: умножение числа на ноль, на 1, на 10, 100,1000 , переместительное, сочетательное, распределительное свойства умножения.

1. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

72 ( 11 = 7 ( 7 + 2 ) 2 = 792

35 ( 11 = 3 ( 3 + 5 ) 5 = 385

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю ( третью) оставить без изменения.

94 ( 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034

73 ( 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803

2. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, , 99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа ( от 2 до 9) на 11, т. е. 44 = 4 ( 11.

Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 ( 22 = 48 ( 2 ( 11 = 96 ( 11 = 9 ( 9 + 6 ) 6 = 9 ( 15) 6 = ( 9 + 1) 56 = 1056

23 ( 33 = 23 ( 3 ( 11 = 69 ( 11 = 6 ( 6 + 9 ) 9 = 6 ( 15 ) 9 = ( 6 + 1) 59 =759

16 ( 55 = 16 ( 5 ( 11 = 80 ( 11 = 8 ( 8 + 0 ) 0 = 880

3. Чтобы чётное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другое – уменьшить во столько же раз , произведение не изменится.

44 ( 5 = ( 44 : 2) ( 5 ( 2 = 22 ( 10 = 220

28 ( 15 = ( 28 : 2) ( 15 ( 2 = 14 ( 30 = 420

26 ( 35 = (26 : 2) ( 35 ( 2 = 13 ( 70 = 910

14 ( 85 = (14 : 2) ( 85 ( 2 = 7 ( 170 = 1190

4. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

( На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4).

124 ( 25 = 124 : 4 ( 100 = 3100

1716 ( 25 = 1716 : 4 ( 100 = 42900

5. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

12100 : 25 = 12100 : 100 ( 4 = 484

3100 : 25 = 3100 : 100 ( 4 = 124

6. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000.

( На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8).

32 ( 125 = 32 : 8 ( 1000 = 4000

3168 ( 125 = 3168 : 8 ( 1000 = 396 000

7. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.

4000 : 125 = 4000 : 1000 ( 8 = 32

9000 : 125 = 9000 : 1000 ( 8 = 72

8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

15 ( 15 = ( 1 ( 2) 25 = 225

25 ( 25 = ( 2 ( 3) 25 = 625

35 ( 35 = ( 3 ( 4) 25 = 1225

9. Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.

81 ( 31 = ? 81 ( 31 = 2511

8 ( 3 = 24

8 + 3 = 11

1 ( 1 = 1

21 ( 31 = ? 21 ( 31 = 651

2 ( 3 = 6

2 + 3 = 5

1 ( 1 = 1

91. ( 71 = ? 91 ( 71 = 6461

9 ( 7 = 63

9 + 7 = 16

1 ( 1 = 1

10.Умножение двухзначных чисел, близких к 100

Пример: 94 • 78

Решение: чтобы получить необходимые последние цифры (единицы и десятки), необходимо: 100 – 94 = 6 100 – 78 = 22 и результаты перемножить 6 · 22 = 132  32 последние две цифры (1 запоминаем) Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо: 94 – 22 = 72 72+1 = 73 В результате имеем 94•78 = 7332

Пример: 67 • 93 100 – 67 = 33 100 – 93 = 7 33 • 7 = 231 (31 последние две цифры) 2 запоминаем 67 – 7 = 60 60 + 2 = 62 67 • 93 = 6231

11.Умножение на 9, 99, 999, 9999, 99999

  786 • 9 = 786(10 - 1) = 786 • 10 – 786 = 7860 – 786 = 7074 (для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число).

При умножении на 99, приписывают два нуля, на 999, приписывают три нуля и т.д. 456 • 99 = 45600 – 456 = 45144 598 • 999 = 598000 – 598 = 597402

 Умножение методом Ферроля.

Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

Например: 12х14=168

а) 2х4=8, пишем 8

б) 1х4+2х1=6, пишем 6

в) 1х1=1, пишем 1.

Умножение на 9.

Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Кто придумал умножение на пальцах

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления»

.

Новый способ умножения.

Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.

Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

Умножение графическим методом (линейным, китайским)

Перемножим два двузначных числа: 15*23

Шаг 1. первое число 15:

Рисуем первую цифру – одной линией.

Рисуем вторую цифру – пятью линиями.

Шаг 2. второе число 23:

Рисуем первую цифру – двумя линиями.

Рисуем вторую цифру – тремя линиями.

Шаг 3. Подсчитываем количество точек в группах.

Шаг 4. Результат – 345

Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех и учили в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.

Умножение в уме крупных чисел


Способ запоминания таблицы умножения на 9

Заключение.

Работая над этой темой, мы узнали, что существует порядка 30 различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Мы выбрали для себя некоторые интересные способы. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех и учили в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.

Умножение в уме крупных чисел


Способ запоминания таблицы умножения на 9

Сложение и вычитание дробей с помощью метода "бабочка"

Список использованных источников

Глейзер, Г. И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964.

Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994.

Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта+, 2003

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов─М.:Просвещение,1989. ─ 287 с.

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

http://nsportal.ru/ap/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/library/neobychnye-sposoby-umnozheniya