Проект по алгебре Некоторые задачи по теме «Геометрическая прогрессия»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области

средняя общеобразовательная школа №26 города Сызрани

городского округа Сызрань Самарской области

Проект по алгебре

Некоторые задачи по теме «Геометрическая прогрессия»

Выполнила проект

Учащаяся 9б класса

ГБОУ СОШ №26 г.Сызрани

Загуменнова Ксения

Проверила

учитель I категории

Гаврилина Ж.Ю.

Сызрань, 2017 г.

Содержание.

1. Цели и задачи проекта.
2. Теоретическая часть
3. Практическая часть
4. Информационные ресурсы

Цели и задачи проекта

- рассмотрение некоторых видов задач по теме «Геометрическая прогрессия» с целью усвоения, углубления, расширения знаний по теме;

- формирование представлений о способах решения задач;

- формирование умений применять определение и формулы по теме в задачах;

- формирование коммуникативных действий, направленных на структурирование информации по данной теме.

 - развитие умения выделять информацию из разных источников.

Теоретическая часть по теме

 «Геометрическая прогрессия».

Геометрическая прогрессия  - это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, т.е. bn+1 =  bn·q и bn ≠ 0.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой член прогрессии.

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего её членов.

bn2 = bn-1· bn+1

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

или

Практическая часть.

1. В геометрической прогрессии ( bn) известно, что b1= 4, q = -2.  Найти пятый член этой прогрессии.

Решение.

bn = b1

b5 = b1 = 4  = 64                                Ответ. 64

2. Геометрическая прогрессия  ( bn)  задана формулой  n - го члена  bn= 3. Укажите четвертый член этой прогрессии.

Решение.

 bn= 3

 b4= 3= 22 (-27) = -594

                                                                                  Ответ. -594

3. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а b1= . Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

S6 = = (-0,75) = 63 -47,25

                                                                                Ответ. -47,25

4. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Решение.

b1 = 25

b2 = 25  = 50

b3 = 50 = 100        

Ответ : 25 ; 50 ; 100.

5. Геометрическая прогрессия задана условием bn = 16Найдите сумму первых её 4 членов.

Решение:

b1  = 162 1 =  486

S4 =   19440

Ответ :  19440

6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите её четвёртый член.

Решение:

 = 4

q = 4

b4  = 272  =  1088

Ответ :  1088

7. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; 162,5 ; x ; 6,5 ; 1,3 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

Решение:

 = 5

X = 6,5  =  32,5

Ответ :  32,5

8. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.

Решение:

b1 = -1024

 =  

q  =  = 0,25

b4  = - 64  = - 16

b5 = - 4

S5 = -1024 – 256 – 64 – 16 – 4= - 1364

Ответ :  - 1364

9. Геометрическая прогрессия задана условием bn= 16 ) n .Найдите сумму первых её 4 членов.

Решение:

b1  = 168  = 84

b2  = 84  = 42

b3  = 42  = 21

b4  = 21  = 10,5

S4 = 84+ 42 + 21 + 10,5 = 157,5

Ответ :  157,5

10. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; 1,75; x; 28 ; −112; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

Решение:

 = -

X = 28   ) = - 7

Ответ :  - 7

11. Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b5 = −14, b8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение:

b1  q4 = - 14

b1  q7 = 112

q7 – q4 = q3

q3 = 112 : ( - 14) = - 8

q = - 2

Ответ :  - 2

12. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −7, bn + 1 = 3bn. Найдите сумму первых 5 её членов.

Решение:

S5 =   - 847

Ответ :  -  847

13. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 3, а b1 = 19. Найдите b4.

Решение:

b4 = 19 33 = 19  27 = 513

Ответ :  513

14. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 5, а b1= . Найдите сумму первых 6 её членов.

Решение:

S6 =   1562,4

Ответ :  1562,4

15. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: − 256; 128; − 64; … Найдите сумму первых семи её членов.

Решение:

 = -

S7 =   

Ответ :  - 172

16. Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b3 =    b6 = -196. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение:

b1  q2 =  

b1  q5 = - 196

q7 – q4 = q3

q3 = - 196 :  = - 343

q = - 7

Ответ :  - 7

17. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −3, bn + 1 = 6bn. Найдите сумму первых 4 её членов.

Решение:

q = 6

S4 =   

Ответ :  - 777

18. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; -12 ; x ; -3 ; 1,5 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

Решение:

 = - 2

X = - 2  = 6

Ответ :  6

19. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно числа 25, 27 и 1, то получатся 3 числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.

Решение:

b1, b2, b3 – члены геометрической прогрессий

b1 + 25, b2 + 27, b3 + 1 – члены арифметической прогрессий

 = 28

91 ( q2 – 2q + 1) = 28 ( 1 + q + q2 )

91q2 – 182q + 91 = 28 + 28q + 28q2

91q2 – 28q2 – 182q – 28q + 91 -28 = 0

63q2 – 210q + 63 = 0   /: 21

3q2 – 10q + 3 = 0

D =  100   = 100 – 36 = 64

q1 =  =                                     b1 = 91 : (1 +  +  ) = 63

q2 =  = 3                                     b1 = 91 : (1+ 3 + 9 ) = 7

b7 = b1 6 = 63  =  =

b7 = b1q6 = 7  36 = 5103

Ответ: 5103 или

20. Положительные числа х1, х2, х3, х4 образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. При этом числа х1, х2 – корни уравнения х2 - 12х + а = 0; числа х3, х4 – корни уравнения х2 - 3х + b = 0. Найдите а и b.

Решение:

Применим теорему Виета.

Так как числа х1, х2 – корни уравнения х2 - 12х + а = 0, то  х1 + х2 = 12,  х1 · х2 = а.

Так как числа х3, х4 – корни уравнения х2 - 3х + b = 0, то  х3 + х4 = 3,  х3 · х4 = b.

Составим систему уравнений :

По условию задачи х1, х2, х3, х4 – положительные числа и образуют геометрическую прогрессию,то

Разделим второе уравнение системы на первое, получим:

q2 = , значит q1 = , q2 = -  (не удовл). Тогда из первого уравнения системы получим

х1=  = 8, х2= 8· = 4

а = х1 · х2 = 8·4 = 32

b = х3 · х4 =  = ·8··8 = 2

Ответ: а = 32, b = 2.

21. Три числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, наименьшее – утроить, а наибольшее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель такой геометрической прогрессии?

Решение:

По условию прогрессия имеет вид: х, qх, q2х – члены геометрической прогрессии, а х, , 2qх, 3q2х – члены арифметической прогрессии с разностью d, тогда

q1=, q2=1

По условию прогрессия убывающая, т.е. q < 1, то q =

                                                                    Ответ: q =

Информационные ресурсы

1.  Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. Алгебра, 9 класс. М.: «Просвещение», 2009.
2. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА-2016. Учебно – тренировочные тесты.  – Ростов-на-Дону: Легион, 2016.
3. https://oge.sdamgia.ru
4. http://www.egeigia.ru/all-gia/materialy-gia/matematika/1957-oge-2015-matematika-varianty-zadaniy-yashchenko