Исследовательская работа по геометрии "Применение метода координат при решении задания 14 (С 2)".

Министерство образования и науки Республики Бурятия

МО «Тарбагатайский район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Нижнесаянтуйская средняя общеобразовательная школа»

Районный конкурс «Шаг в будущее»

Секция: геометрия

Тема:

Применение метода координат при решении задания 14 (С 2)

       Автор работы: Аюшиева Евгения,

        ученица 11 класса

Руководитель: Макрова Наталья                      Александровна, учитель математики

с. Нижний Саянтуй

2016 год

Оглавление

I. Введение ……………………………………………………………………………………..3                                  

II. Основная часть

1. Основные понятия декартовой системы координат в пространстве …………4

III. Применение теоретического материала при решении задач 14( С2):

1. Задача на нахождение угла между плоскостями…………………………..……7
2. Нахождение угла между прямыми ……………………………………………...7
3. Нахождение угла между прямой и плоскостью………………………………...8
4. Нахождение расстояния от точки до плоскости………………………………..9

IV. Заключение……………………………………………………………………………….10

V.Список использованной литературы …………………………………………………….11

Введение

        Задания части «С2» Единого Государственного Экзамена по стереометрии включает в себя нахождение: углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми.

Для решения предлагаемых задач требуется знание определений геометрических фигур, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методом геометрии.

Максимальный балл, который выпускник может получить за это задание равен 2, при условии, что задание выполнено правильно и дан верный ответ.

Тема моего проекта: применение метода координат при решении задания 14 (С 2).

Актуальность:

Если выпускники берутся решать задания части С, то это в основном алгебраические задания. По данным отчета Министерства Образования и науки Республики Бурятия за 2015 год с заданием С2 справились 13,26% выпускников, из них 1 балл получили – 9,46% выпускников, 2 балла получили – 3,80% выпускников. И этот процент выполнения задания С2  за 2015 год повысился по сравнению с предыдущими годами.  

Надеюсь, что моя исследовательская работа поможет мне и моим одноклассникам повысить качество сдачи экзамена и научит нас и других учеников решать задания части С с наименьшими затратами времени, так как  этот способ не содержит огромных вычислений,  сложных преобразований, не перегружен формулами. Достаточно только хорошо знать и уметь выполнять действия с координатами точек  и векторами. Я считаю, что очень важно научиться решать задачи части «С2», чтобы набрать больше баллов на Едином Государственном Экзамене.

Цель работы: научиться применять векторный метод при решении задач части «С 2».

Задачи:

1. Изучение теоретического материала;
2. Применение векторного метода при решении задач;
3. Решение задач части С2.

Объект исследования: геометрические задачи Единого Государственного экзамена (С2).

Предмет исследования: задачи на нахождение расстояний и углов между прямыми и плоскостями.

Гипотеза: можно научиться решать задачи части С2 векторным методом.

Методы исследования:

1. теоретический (анализ литературы)

2. экспериментальный

II. Основные понятия декартовой (прямоугольной) системы координат.

Задания части «С2» Единого Государственного Экзамена по стереометрии в большинстве случае включает в себя нахождение в пространстве: углов между прямыми, прямой и плоскостью,  скрещивающимися прямыми, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя плоскостями.

Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы.  Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.

Декартова система координат в пространстве.

Состоит из трёх взаимно перпендикулярных осей Ох,Оу, Oz.

OX- ось абсцисс

OY- ось ординат

OZ-ось аппликат
точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy,  xOz и  yOz –координатными плоскостями, взаимно перпендикулярными.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами

М(x; y; z).

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Основные формулы, которыми необходимо пользоваться при решении задач с применением координатного метода.

Расстояние между двумя точками.

 А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).

Координаты середины отрезка AB:

А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).

Точка М середина отрезка AB.

Косинус угла между ненулевыми векторами

 и вычисляется по формуле:

Угол междупрямыми а и b

Углом между прямыми (скрещивающимися) в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (и не превосходит 90 градусов).

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Угол между прямой и плоскостью.

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти угол между этой прямой и нормалью к плоскости.

Нормалью  к плоскости называется любой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к этой плоскости.

Допустим, что нам заданы прямая АВ и плоскость. Зададим координаты направляющему вектору прямой  и нормали. Косинус угла между прямой и нормалью равен синусу угла между этой прямой и плоскостью. Угол  между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

,где угол   -угол между прямой и плоскостью, -вектор нормали к плоскости

АВ} - направляющий вектор прямой

Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)

Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚

Угол между  двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

 как угол между нормалями по формуле или в координатной форме , где  - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,  и

 - вектор нормали плоскостиA2x+B2y+C2z+D2=0.

III. Применение теоретического материала при решении задач 14( С2):

1. Задача на нахождение угла между плоскостями.

(Типовые тестовые задания. Математика. ЕГЭ. Под ред. Ященко – 6 вариант. 2016 год)

Задание. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер АА1=15, АВ=12, AD=8. Точка К – середина ребра C1D1, а точка L делит ребро ВВ1 в отношении 4:1, считая от вершины В1. Найти косинус между плоскостями LKA1 и A1B1C1.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат. Найдем координаты каждой точки плоскости (LKA1) и (A1B1C1).  

L(0; 0; 3), K(6; 8; 15), A1(12; 0; 15)                                А1(12; 0; 15), В1(0; 0; 15), С1(0; 8; 15)

Составим уравнение плоскости (Ax+By+Cz+D=0), проходящие через эти точки:

D=12, C=-4, B=3, A=4                                        D=15, C=-1, B=0, A=0.

Тогда уравнение плоскости будет:

4х+3у-4z+12=0                                                -z+15=0

Воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между плоскостями:

Вычислим: cos(α, β)=

Ответ: .

2. Задача на нахождение угла между прямыми (открытый банк заданий ФИПИ- 2016 год).

Задание. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной  Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1. 

Решение: Найдем из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС катеты АС и СВ по теореме Пифагора: АС2+СB2=AB2, 2x2=128, x2=64, x=8.

Введем прямоугольную систему координат. Найдем координаты каждой точки прямых АС1 и СВ1.  

A(0; 8; 0), C1(0; 0; 6)                                        C(0; 0; 0), В1(8; 0; 6)

Найдем вектора: АС1(0; -8; 6) и СВ1(8; 0; 6).

Воспользуюсь формулой для нахождения угла между векторами:

получу: cosφ=

Отсюда φ=arccos 0,36

Ответ: arccos 0,36

3. Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью (открытый банк заданий ФИПИ- 2016 год).

Задание. В прямоугольном параллелепипеде  известны Найдите угол между прямой  и плоскостью 

Решение: 

Введем прямоугольную систему координат. Найдем координаты прямой АВ1 и плоскости  (ABC1).  

А(2; 0; 0), В1(0; 0; 1)                                                А(2; 0; 0), В(; 0; 0), С1(0; 1; 1)

АВ1(-2; 0; 1)                                                         

                                                                А=0, В=-С,

у-z=0.

Воспользуюсь формулой нахождения угла между прямой и плоскостью ,

получу: sin φ=, тогда φ=arcsin

Ответ: arcsin

4.Задача на нахождение расстояния от точки до плоскости (открытый банк заданий ФИПИ- 2016 год).

Задание. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT, где T — середина ребра AD. 

Решение: Введем прямоугольную систему координат. Найдем координаты точки А и плоскости  (TА1В).

А(1; 0; 0)                                        Т(1; 0,5; 0), А1(1; 0; 1), В(0; 0; 0)

                                                        А=1, В=-2, С=-1.

                                                х-2у-z=0

Воспользуюсь формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости

d = , получу: d=

Ответ:

Заключение:

В ходе работы над исследовательской работой я узнала много нового о методе координат. Мной были изучены различные источники: книги, учебники, справочники, в которых я нашла формулы, необходимые при решении задач; рассмотрела различные типы задач.

Для понимания формул нужно изучить понятия  координатно – векторного  метода. В школьной программе мало времени отводится для изучения векторных приемов, однако на ЕГЭ я могу применить векторный метод и решить задания части С2. .

Я рассмотрела разные типы задач из открытого банка заданий ФИПИ, чтобы показать как можно применить векторный метод. Мной подобраны задания, которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым качественно подготовиться к сдаче экзамена.

Я надеюсь, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решить задание С2 и достичь более высоких результатов.

При подготовке исследовательской работы я пришла к выводу:

1. Метод координат лаконичен и не требует дополнительных построений.
2. Использование метода координат требует от ученика внимательности, хороших вычислительных навыков и знание формул.
3. Метод координат не всегда можно применять при решений задач С2. Для того, чтобы ввести прямоугольную систему координат, необходимо чтобы углы между плоскостями были 90 градусов, а это не всегда возможно.  

Список использованной литературы и интернет - ресурсов:

1. Геометрия, 10 – 11 : Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 206 с.
2. ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий/И.В. Ященко – М:Издательство «Экзамен», 2016. – 247 с.
3. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. – МЦНМО, 2014. – 128 с.
4. https://ru.wikipedia.org/
5. www.alexlarin.narod.ru
6. www.fipi.ru.

Рецензия

на исследовательскую работу

«Применение метода координат при решении задания 14 (С 2)»

выполненную ученицей 11 класса МБОУ «Нижнесаянтуйская СОШ»

Аюшиевой Евгении

Для учеников старших классов самой насущной проблемой является подготовка к Единому государственному экзамену. Причем не все ученики уверенно решают задания части С2, а некоторые и не берутся за их решение.

В курсе геометрии различные способы решения  стереометрических задач. И один из таких способов отражен в исследовательской работе Евгении. Метод координат наиболее выигрышный, так как при его применении решение задачи во многом алгоритмизировано, и при изменении многогранника меняются только значения координат, а алгоритм решения остается прежним. Поэтому в большинстве случаев упрощается поиск способа и само решение задачи.

Координатный метод решения задач позволяет решить задачи не только математики, но и физики, астрономии. Но в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно.

В работе рассмотрены решения задач С2, которые необходимо прорешать для подготовки к ЕГЭ 2016г.

В заключении отражены результаты проведенного исследования и сделаны выводы.

Практическим применением исследовательской работы, может послужить использование ее материалов при подготовке  к ЕГЭ (профильный уровень).  

Рецензент: _________/Макрова Н.А./