нпк 7 класс. Софизмы

Опубликовано Янкина Светлана Викторовна вкл 28.02.2018 - 15:39

Автор:

Ворошилов Константин

нпк . 7 класс

Скачать:

Вложение	Размер
sofizmy.doc	104 КБ

Предварительный просмотр:

Научно-практическая конференция

Номинация: Математика

Исследовательская работа

Софизмы и парадоксы

Работу выполнил:

Ворошилов Константин

МАОУ СОШ № 211 им. Л. И. Сидоренко,

7Е класс, Калининский район г. Новосибирска

Контактный телефон:

Руководитель, консультант: Янкина С.В.

Учитель математики

первой квалификационной категории

контактный телефон руководителя:

Новосибирск 2017

Оглавление

Введение 3

2. Классификация софизмов по темам математического цикла 6

2.1. Алгебраические софизмы 6

2.2. Геометрические софизмы 6

2.3. Логические софизмы 7

3. Парадоксы 9

4. Исследовательская часть 10

Заключение 11

Список используемых источников 12

Приложение 1 ………………….…………………………………………………..13

Приложение 2……………………………………………………………………….14

Приложение 3……………………………………...……………………………….15

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию».

(И. П. Павлов).

Введение

Однажды друг показал мне один математический опыт. Он мне показал две веревочки, на которых было по два узелка. После чего он их связал одним узлом и получил 5 узлов. Отсюда он сказал, что 2+2=5. Я долго не мог понять, где кроется ошибка, а друг только смеялся. Так я впервые познакомился с математическим обманом, меня заинтересовала эта тема, я узнал о существовании софизмов и парадоксов.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Парадокс - это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми мнениями, отрицание того, что представляется «безусловно правильным». Само греческое слово, от которого произведено слово «парадокс», буквально означало «необычное, странное, невероятное». Парадоксом называются два несовместимых и противоположных утверждения, имеющие убедительные аргументы каждый в свою сторону.

Актуальность. «В современном мире мы на каждом шагу сталкиваемся с обманом, мошенничеством. Приглашения на бессмысленные тренинги, семинары заполонили СМИ. Мы считаем, что очень важно научиться отличать ложь от истины и уметь противостоять манипуляциям со стороны других»^[1]. Разбор софизмов сам по себе развивает навыки правильного мышления и очень увлекателен. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин, ведут к осмысленному постижению математики, способствует более глубокому пониманию и осмыслению, показывает, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.

Цель: Познакомиться с софизмами и парадоксами.

Задачи:

1. Научиться разгадывать софизмы и парадоксы.

2.Познакомить одноклассников с этой темой, попробовать самим составить софизмы и парадоксы.

Предмет исследования: софизмы и парадоксы.

Объект исследования: софизмы в математике.

Методы исследования:

1.Чтение учебной, научно-популярной и справочной литературы по данной теме.

2. Поиск информации в глобальных компьютерных сетях.

Гипотеза - знание софизмов помогает формированию математической грамотности учащихся, математика без софизмов и парадоксов существовать не может.

Историческая справка

Где появились софизмы? Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы. Софизм как приём обучения был введён в V в. до н.э. Причины появления софизмов? К психологическим причинам софизмов относят интеллект человека, его эмоциональность и степень внушаемости. То есть более умному человеку достаточно завести своего оппонента в тупик, чтобы тот согласился с предложенной ему точкой зрения. Чем более убедительной будет речь человека, тем больше шанс, что окружающие не заметят ошибок в его словах. На это и рассчитывают многие из тех, кто пользуется такими приемами в споре.

Профессиональные учителя обучали знатную молодежь красноречию, ораторскому мастерству и искусству публичных дебатов в целях подготовки к политической или иной карьере, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.

Классификация софизмов по темам математического цикла

«Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки». (Мартин Гарднер).

Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил, использование ошибочного чертежа или опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Софизм - гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. От софизмов следует отличать паралогизмы (греч. paralogismus — неправильное рассуждение) — логические ошибки, допускаемые непроизвольно, в силу незнания, невнимательности или иных причин. Цель софизма – выдать ложь за истину.

Существует много различных классификаций математических софизмов. Наиболее часто встречается такая классификация: алгебраическая, геометрическая, логическая.

Алгебраические софизмы

Намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример.

Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 .

(Ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними или решение и доказательства, основанные на неправильных чертежах.

Пример 1.

Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Доказательство: Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c. Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2- ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2- bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

(Ошибка: b(b-a-c )= - c(b-a-c) производится деление на 0)

Пример 2.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, можно провести два перпендикуляра к этой прямой . С этой целью возьмём треугольник ABC. На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE ^ AC и BD ^ AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC. В чём ошибка?

(Ошибка. Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.)

Логические софизмы

Когда были сформулированы первые софизмы, о правилах логики не было известно. Говорить в этой ситуации об умышленном нарушении законов и правил логики можно только с натяжкой. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Пример 1.

То, что человек не терял, он имеет. Рогов ты не терял, значит они у тебя есть.

(Ошибка: ложная предпосылка.)

Пример 2.

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

(Ошибка: ложная предпосылка.)

Пример 3.

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Другая популярная классификация математических софизмов

по характеру «прячущихся» в них ошибок.

Основные ошибки, «прячущиеся» в математических софизмах:

1. деление на 0;

2. неправильные выводы из равенства дробей;

3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4. нарушения правил действия с именованными величинами;

5. проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

6. неравносильный переход от одного неравенства к другому;

7. выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

8. неточное использование правил и формулировок;

9. ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами.

Парадоксы

Парадокс — это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом. Логический парадокс — два противоречащих суждения не только являются одновременно истинными (что невозможно в силу логических законов противоречия и исключенного третьего), но еще и вытекают друг из друга, друг друга обуславливают.

Наиболее известным является парадокс «Лжец» Он прославил имя открывшего его Евбулида из Милета. Существует много вариантов этого парадокса. Один из вариантов: «Я лгу». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.

В средние века распространенной была такая формулировка:

Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. Ходит даже легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись. В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа.

В наше время «Лжец» - этот типичный бывший софизм. (Лжецы могут говорить как правду, так и лгать)

Различие и сходство между софизмами и логическими парадоксами можно сказать словами Даниила Гранина, заключается в том, что софизм - это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс - истина в одеянии лжи.

Парадокс может быть следствием, заключением некоторых софизмов, то есть из корректного по форме, но ложного по содержанию рассуждения может следовать выражение, которое можно назвать некорректным по форме, но истинным по содержанию.

Исследовательская часть

Чтобы показать и подтвердить мою гипотезу ,что знание софизмов помогает формированию математической грамотности учащихся, математика без софизмов и парадоксов существовать не может, мы провели исследовательскую работу в двух классах , в 7е и 7г.

В 7е был проведен урок – презентация, на котором я познакомил одноклассников с софизмами. Рассказал классификацию математических софизмов по характеру «прячущихся» в них ошибок. Разобрали вместе несколько софизмов. Затем по этой теме было предложено самостоятельно решить несколько софизмов , приложение 1. Результаты приведены в приложении 2, сколько человек справилось с каждой задачей.

В 7г предложили найти ошибки в следующих примерах самостоятельно, сразу в начале урока. Результаты приведены в приложении 2. И только после того как собрали работы, ребятам рассказали, что они работали с софизмами и познакомили с этой темой.

В обоих классах предложили сделать мини проекты по теме: «Софизмы и парадоксы». Лучшие работы представлены в приложении 3.

Выводы проделанной работы: учащиеся 7е класса легко и быстро справились с работой, и у учащихся 7г класса было много различных ошибок. Это исследование показывает, что наша гипотеза оправдалась, знание софизмов помогает формированию математической грамотности.

Заключение

Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики. Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Одна из формулировок этой теоремы такова: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной». Это утверждение на протяжении более чем двух тысячелетий пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом многие выдающиеся математики.

Аксиомой называется исходное положение, принимаемое без доказательств. Все попытки доказать V постулат Евклида не увенчались успехом.

Однако, многочисленные «доказательства» этого постулата принесли немало пользы.

Отыскивая ошибку в «доказательстве» утверждения, что половина равна целому, мы не обязательно откроем новое направление в математике, но задуматься над законами логики и языка ведь тоже полезно? Значит, софизмы все-таки внесли свой вклад в развитие математики.

Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. И закончить свою работу я хочу словами М. Ломоносов «Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным».

Список используемых источников

«Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.
«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
«Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.
«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство "Молодая гвардия", 1978 г.