Равновеликость в построениях одной линейкой

              Министерство образования и науки Республики Бурятии

Закаменское районное управление образования

МАОУ «Закаменская СОШ №1»

Районная научно-практическая конференция

«Шаг в будущее»

Секция «Геометрия»

Равновеликость в построениях одной линейкой

/ Научно-исследовательская работа /

Выполнил: Цыденжапов Аюр, ученик 8 класса

        Руководитель: Зомонова Л.Г., учитель математики

2016

Содержание

1. Введение …………………………………………………………………..3

2. Основная часть  

1.    Из истории геометрического построения циркулем и линейкой……4.
2.    Некоторые ключевые факты и леммы…………………………………5
3.    Треугольник………………………………………………………………7
4.    Параллелограмм, прямоугольник, трапеция……………………………7

3.  Заключение…………………………………………………………………9
4.  Приложения………………………………………………………………..10

1. Введение

Задачи на равенство площадей (равновеликость) сами по себе подразумевают определенную эрудицию в геометрии. Тем более при ограничении в инструментах, которыми можно пользоваться. Что это за ограничения? В задачах, о которых пойдет речь, построения  выполняются не циркулем и линейкой, как традиционно принято, а одной линейкой!

Впервые  геометрические задачи на построение  мы рассматриваем в 7 классе средней школы. Но теория геометрических построений зародилась в Древней Греции и именно оттуда пришла к нам традиция любое решение задач на построение выполнять циркулем и линейкой. Но впоследствии учеными был поставлен вопрос о том, какие построения возможны с использованием меньшего количества чертежных инструментов, например, одним циркулем или одной линейкой. В 1672 г. Г. Мором, а затем Л. Маскерони в 1797 г. была доказана теорема о том, что любая задача, решаемая циркулем и линейкой, может быть решена одним только циркулем.

При наличии только линейки мы можем решить очень ограниченный круг задач. Например, одной линейкой нельзя проводить параллелей и перпендикуляров, нельзя разделить отрезок пополам. Но конструктивные возможности линейки можно расширить с помощью некоторых дополнительных фигур, таких как: две параллельные прямые, прямая, содержащая равные отрезки, параллелограмм, окружность с отмеченным центром. Каждая из вышеперечисленных фигур по-разному увеличивает конструктивную мощь линейки.

Цель работы:

На примере ряда задач показать, что при решении задач на построение равновеликих фигур можно обойтись одной линейкой.

Задачи:

• получить более полное представление о различных способах построений;
• рассмотреть задачи  на построение фигур, имеющих равные площади, используя только линейку;
• углубить имеющиеся знания по геометрии.

Актуальность темы:

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии методов решения задач.
2. Приобретенный опыт решения задач на построение  будет способствовать развитию уровня логической культуры.
3. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к  экзамену по математике.

Объект исследования: задачи на построение.

Предмет исследования: решение задач на построение равновеликих фигур одной линейкой.

Методы исследования:  

• изучение справочной и учебной литературы;
• анализ полученной информации;
• анализ уже существующих способов построений.
• поиск и решение новых, интересных задач на построение.  

2. Основная часть

2.1    Из истории геометрического построения циркулем и линейкой

Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.

Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем (это линейка) и двух заостренных палок, связанных на одном конце (это циркуль). Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.

Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.

Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки.

Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.

2.2    Некоторые ключевые факты и леммы

Аксиома линейки.

Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:  

• Построить отрезок, соединяющий две построенные точки;  
• Построить прямую, проходящую через две построенные точки;  
• Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую любую построенную точку.
  

Факт 1. Медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Доказательство: 

                             Рис. 1

Факт 2.   Диагонали трапеции делят на четыре треугольника. Треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

Доказательство: 

              Рис. 2

Лемма 1.  (Задача Якоба Штейнера о двух параллельных прямых и точке).  Через точку К вне параллельных прямых  a и  b можно при помощи одной линейки провести прямую параллельно   a и  b.

Построение.      Порядок построения линий указан на рисунке 3.

                        Рис. 3                                                               Рис. 4

Лемма 2.  ( Об отрезке с серединой. ) Если дан отрезок BC с его серединой M то через любую точку N  можно с помощью одной линейки провести прямую параллельно BC.

                           Рис.  5

2.3      Треугольник

Задача 1.

Дан треугольник АВС и точка М-середина стороны ВС. Постройте точку Q, отличную от М, такую, что S(ACQ)=S(ACQ).                                                                                                                                    

               Рис. 6

Задача 2.

Дан треугольник АВС, точка Т на стороне ВС (рис. 7). На продолжении стороны СА построить точку Q такую, чтобы треугольник QCT был равновелик треугольнику АВС.

                             Рис. 7

2.4     Параллелограмм,  трапеция.

Задача 1.

 В трапеции АВСD, ВС || AD поведена диагональ  BD  и указана точка К – ее середина. Через В проведите прямую, делящую трапецию на две равновелиеие части.

                                                            Рис.  8

Решение.  Через К проводим прямую EF параллельно основаниям (лемма 1). EF является средней линией трапеции ABCD  (рис 14). Пусть прямые BF и AD  пересекаются в точке N. Очевидно, треугольник ABN равновелик трапеции ABCD ( Остается в треугольнике ABN провести медиану ВМ  (факт 1).  

 Задача 2. 

Дан параллелограмм ABCD и точка К на продолжении AD. Постройте параллелограмм AKEF , равновеликий ABCD.

Решение.  Проведем через точку К прямую r, параллельную стороне CD (лемма 1). Пусть прямые BC и r пересекаются в точке N, а прямые AN и CD пересекаются в точке Т. Прямая, проведенная через Т параллельно BC  и AD (лемма 1), в пересечении с r и AB даст соответственно искомые точки E и F. Действительно, из подобия треугольников ATD и ANK следует: =, или AD * h = AK * , что и означает равенство площадей параллелограмма ABCD и AKEF (рис. 9).

                                                   Рис. 9

Заключение

В процессе работы были рассмотрены интересные задачи на построения. Мы увидели, что при решении таких задач нужно использовать интересные факты и леммы по геометрии, а также применять различные способности и умения. Все это приводит к еще большему математическому развитию.

При ознакомлении с методами геометрических построений я получил теоретические знания и практические умения, ориентирование в вопросах  геометрии. Изучение методов геометрических построений помогает развитию умений решать задачи по  геометрии, так как  такие
задания развивают геометрическую интуицию, логическое мышление, конструктивные способности. Так же помогают закрепить на практике ранее полученные теоретические  знания.
Была подтверждена выдвинутая перед началом исследования гипотеза – с помощью одной лишь линейки можно решить задачи на построения, и не просто построений, а задач на равновеликость.

Рассмотренные в работе задачи, могут послужить материалом для использования на уроках и подготовки к выпускным экзаменам.

Приложения

Приложение 1.  Задачи по теме «Треугольник»

Задача3.   В окружности ὡ с центром О вписан треугольник АBC  с указанным инцентром I (точка пересечения биссектрис). Разделите треугольник ABC на две равновеликие части.

          Рис. 8

Задача 4. В окружности  с центром О вписан  треугольник ABC с указанным ортоцентром H (точка пересечения высот). Тремя линиями разделите треугольник ABC на две равновеликие части.

                 Рис. 9

   Задача 5. При том же условии ( с центром O; треугольник ABC ортоцентром H) разделите треугольник ABC на две равновеликие фигуры: треугольник и четырехугольник.

   Решение. Пусть прямая АН пересекает BC в точке , а - в точке N. Тогда N (точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной около этого треугольника окружности)  (рис. 10).

              Рис. 10

Задача 4.    Из параллелограмма ABCD  вырезан  параллелограмма KLNT. Разделите оставшуюся фигуру на две равновеликие части.

 Решение. Пусть диагонали AC и BD пересекается в точке О, а диагонали KN и LT – в точке Q. Тогда прямая QO будет искомой.

Задача 8. Дан прямоугольник ABCD . Разделите его на четыре равновеликие части прямыми, выходящими из вершины А.

Решение. Находим точки T и Q – соответственно середины BC и CD. Построить эти точки мне помогут лемма о трапеции:  точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Остается после этого соединить точку А с точками Т,С и Q, в результате чего прямоугольник ABCD будет разделен на две равновеликие части.

Задача 9. В трапеции АВСD, ВС || AD поведена диагональ  BD  и указана точка К – ее середина. Через В проведите прямую, делящую трапецию на две равновелиеие части.                                                                   Решение.  Через К проводим прямую EF параллельно основаниям (лемма 1). EF является средней линией трапеции ABCD  (рис 14). Пусть прямые BF и AD  пересекаются в точке N. Очевидно, треугольник ABN равновелик трапеции ABCD ( Остается в треугольнике ABN провести медиану ВМ  (факт 1).  Поскольку