Решению задач с параметрами посвящено большое количество учебно-методической литературы и имеется множество способов решения. В данной работе приводится лишь один из способов решения таких задач. Это - применение формулы расстояния от точки до прямой. Данный метод, используемый для решения заданий с параметрами, в некоторых случаях является довольно рациональным, значительно упрощает решение и ведет к более быстрому получению ответа
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 362.57 КБ |
Министерство образования и науки Республики Бурятии
Закаменское районное управление образования
МАОУ «Закаменская СОШ №1»
Республиканская научно-практическая конференция
«Шаг в будущее»
Секция «Алгебра»
Применение формулы расстояния
от точки до прямой при решении задач с параметрами
/ Научно-исследовательская работа /
Выполнила: Дарима Будаева, ученица 10 класса
Руководитель: Зомонова Л.Г., учитель математики
2016
Рецензия
на исследовательскую работу «Применение формулы расстояния от точки до прямой при решении задач с параметами», выполненную
ученицей 10 класса МАОУ «Закаменская СОШ №1»
Будаевой Даримой
В данной работе ученица изучила один из графических методов решения задач с параметрами через формулу расстояния от точки до прямой и показала преимущество этого метода.
Поставленная цель в целом достигнута: проделана большая работа по изучению соответствующей литературы, по подбору задач, которые можно решить этим методом. Автор в своей работе обосновала и показала достоинство предложенного метода в его наглядности и простоте. Актуальность данной темы не вызывает сомнений, поскольку традиционно решение заданий с параметрами являются для учащихся всегда одним из трудных материалов алгебры и начала анализа. Ведь алгебраические методы оказываются для них громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат, что не допустимо в условиях сдачи экзаменов в форме ЕГЭ, когда время ограничено. Данный способ, безусловно, экономит время.
Проделанная работа имеет практическую ценность в плане приобретения умений нестандартно подходить к решению любой задачи.
В процессе выполнения работы ученица проявила самостоятельность, использовала поисковый метод. Изучила справочную и учебную литературу, провела самостоятельное исследование.
Кроме того, в ходе освоения метода решения задач с параметрами формируются исследовательские навыки, развиваются представления о роли вычислений в человеческой практике, развивается вычислительная культура.
Рассмотренные в работе задачи, могут послужить материалом для использования на уроках и подготовки к выпускным экзаменам.
Руководитель: ___________ (Зомонова Л.Г., учитель математики)
Введение
Наряду с различными заданиями по курсу алгебры и началам анализа, а также геометрии контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена содержат задачи с параметрами. Задача с параметрами часто оказывается для многих самой трудной задачей, поскольку приемы и способы решения таких задач в школьной программе практически не рассматриваются. Умения решать задачи подобного типа требует наличия определенной математической культуры.
Поэтому я поставила перед собой задачу изучить данную тему, попробовать научиться решать такие задания. Решению задач с параметрами посвящено большое количество учебно-методической литературы и имеется множество способов решения. В данной работе приводится лишь один из способов решения таких задач. Это - применение формулы расстояния от точки до прямой. Данный метод, используемый для решения заданий с параметрами, в некоторых случаях является довольно рациональным, значительно упрощает решение и ведет к более быстрому получению ответа
Актуальность темы:
Цель работы:
Рассмотреть различные задачи с параметрами и изучить метод их решения через формулу расстояния от точки до прямой.
Задачи:
Объект исследования - задачи с параметрами, предлагаемые на ЕГЭ
Предмет исследования – метод решения задач с параметрами.
Методы исследования:
Параметр – математическая величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. Переменные a, b, c, …., k, которые при решении заданий считаются постоянными, называются параметами, а сами задания называются заданиями, содержащими параметры.
Первое, что нужно сделать с уравнением с параметрами – это привести его к более простому виду. Решая такие задания нужно обращаться к его текстовой части с целью выполнения сформулированного там условия. Проще говоря, решить задачу с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они?
Можно выделить следующие задачи с параметрами.
При решении некоторых задач уровня С Единого государственного экзамена можно пользоваться формулой для нахождения расстояния от точки до прямой.
Расстояние от точки А до прямой
есть длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. Она определяется по формуле
Докажем это утверждение. Прежде всего покажем, что вектор перпендикулярен прямой
. Пусть В
и С
- точки, принадлежащие этой прямой. Тогда
Поскольку
то вектор перпендикулярен прямой
Пусть AH – перпендикуляр к данной прямой и его основание – точка H – имеет координаты (рис. 1).
Рис. 1
Тогда . Этот вектор коллинеарен вектору
, значит,
откуда . Точка Н
принадлежит прямой. Имеем:
Искомое расстояние
Итак, расстояние от точки А до прямой
при решении задач с параметром
При решении задач в данной работе необходимо помнить уравнение прямой и окружности.
Уравнение прямой.
Покажем применение это формулы к решению некоторых задач С5 ЕГЭ.
Пример 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Решение. Если , то первое уравнение системы на координатной плоскости задает окружность
радиуса
с центром в точке
Если , то первое уравнение системы задаёт окружность
радиуса
с центром в точке
Второе уравнение системы , или
– уравнение прямой.
Система будет иметь единственное решение, если прямая является касательной к окружности, то есть когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (рис. 2).
Заметим, что не является решением системы, при этом
для любых значений а.
Рис. 2
Пусть . Расстояние от центра
окружности
до прямой
равно 2. Применяя формулу (1), получим:
Имеем:
Откудаили
.
Очевидно, что не удовлетворяет условию. Значит,
.
Убедимся в том, что система
имеет единственное решение.
Пусть . Расстояние от центра
окружности
до прямой
равно 2. Применяя формулу (1), получим:
откуда или
Поскольку не удовлетворяет условию, то
. Аналогично предыдущему случаю убеждаемся, что система
имеет единственное решение .
Ответ.
Пример 2. При каких значениях параметра а система уравнений
имеет ровно три решения?
Решение.
Уравнение
на координатной плоскости задаёт окружность радиуса с центром
– угол с вершиной
стороны угла: I, II.
Рассмотрим три случая.
Случай 1. Система имеет три решения, если расстояние от центра окружности до стороны I угла, лежащей на прямой равно радиусу окружности, а расстояние от центра окружности до стороны II угла, лежащей на прямой
, меньше радиуса окружности (рис. 3).
Рис. 3
Воспользовавшись формулой (1), получим систему:
Имеем:
откуда
Случай 2. Система имеет три решения, если расстояние от центра окружности до стороны I угла, лежащей на прямой , меньше
, а расстояние от центра окружности до стороны II угла, лежащей на прямой
равно
(рис. 4).
Рис. 4
Воспользовавшись формулой (1), получим систему:
Имеем:
откуда
Случай 3. Точка принадлежит окружности, а расстояния от центра окружности до сторон I и II, принадлежащих прямым
соответственно, меньше (рис. 5).
Рис. 5
Имеем: откуда
. Полученное значение
удовлетворяет ранее полученным неравенствам
Ответ.
Литература
Денис-изобретатель (отрывок)
Серебряное копытце
10 осенних мастер-классов для детей
В.А. Сухомлинский. Для чего говорят «спасибо»?
Почему люди кричат, когда ссорятся?