Проектная работа по математике НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Муниципальное бюджетное  общеобразовательное учреждение

«Серго-Ивановская основная школа»

Проектная работа по математике

НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Выполнили : Моисеева Юлия,

Николаева Анна

обучающиеся 8 класса  

                   Руководитель проекта:

Федорова И.М.,

учитель математики

Содержание

Паспорт проекта……………………………………………………………

Введение…………………………………………………………………….    

2.Теоретическая часть

История развития теории и практики решения квадратных уравнений

Решение уравнений через дискриминант

По  формуле с четным коэффициентом

 Выделение полного квадрата двучлена.

 Разложение на множители

 Теорема Виета

Графический способ    

3. Заключение………………………………………………………………….    

Литература…………………………………………………………………..    

Паспорт проекта

Введение.

        Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и  отрабатываем  их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрал тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Некоторые способы решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением  квадратных  уравнений.  Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также может мне  пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

        На уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением  квадратных  уравнений.  Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также может пригодиться при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

        Цель работы: Изучение различных способов решения квадратных уравнений

Задачи:

-  изучить историю развития квадратных уравнений;

   - рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

     - выявить наиболее удобные способы  решения квадратных уравнений;

   - научиться решать квадратные уравнения различными способами.

        Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить  всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

        Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

        Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса математики.

        Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. В него вошли как известные нами из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

 История развития теории и практики решения квадратных уравнений

        Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

        В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов.        В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

        Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

        Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.

        Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

        Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Теоретическая часть.

1. Решение  квадратных уравнений через дискриминант.

Корни уравненияах2 + bх + с = 0, а ≠ 0можно найти по формуле

, где выражение b2 - 4ac= Dназывается дискриминантом.

Таким образом:

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 - 4ac>0,  уравнение  ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac< 0,  квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Данная формула корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть),  в том числе приведенного и неполного.

Пример:,

а=3,  в=4,   с=-7,

,

D= 42 - 4∙3∙ (-7) = 16 + 84 = 100,

,

,

.

2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

Если второй коэффициент  уравнения b = 2k– четное число, то формулу корней        можно записать в виде

        Приведенное уравнение       х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором   а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид  

Формулу удобно использовать, когда р— четное число.

Пример:

,

,

,

,

,

,

.

3. Выделение полного квадрата двучлена

 ,

,

,

,если,

,

Пример:,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

4. Разложение на множители.

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Пример:,

,

,

,

5. Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

, где старший коэффициент равен единице.

        Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле:

.

         Чтобы квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a,и квадратное уравнение примет вид=0. Тогда

Если обозначитьи , то мы  получим уравнение вида. А формулы  примут вид

        Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

        По коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней.

     а) Если сводный член q приведенного уравнения) положителен (q> 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента:

-если р< 0, то оба корня  положительные;

-если р> 0, то оба корня отрицательные.

       б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0.

Пример:,

,

,

.

6. Графический способ

Пример. Решить уравнение =0

Преобразуем уравнение к виду .

 Построим в одной системе координат графики функций  и     (рис 3  ).

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит, .

Заключение

        Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

        В ходе выполнения проектной работы мы считаем, что с поставленными целями и задачами справились, нам удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

        Способов решения квадратных уравнений очень много. Мы  нашли 6 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания. В данной работе, не представлены тренировочные задания для каждого из способов решения квадратных уравнений. Подобрать систему таких упражнений это задачи следующего проекта.

        Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.

Литература

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
2. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/  В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.
3. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990-
4. Теорема Виета– Режим доступа:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta/ Теорема Виета(ресурсы удаленного доступа (Internet)). 10.12.2013.
5.  Квадратные уравнения– Режим доступа: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html(ресурсы удаленного доступа (Internet)). 10.01.2014.