ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ Годовая исследовательская работа по математике

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ №12 ГОРОДА ЛИПЕЦКА «ГАРМОНИЯ»

Ивакин Алексей Борисович

ученик 9Б класса

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

Годовая исследовательская работа по математике

Научный руководитель:

учитель математики Китаева Ирина Вячеславовна

Липецк – 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Математика помогает человеку в решении задач жизнедеятельности и производства. Любая данная ситуация рассматривается нами как математическая модель. Математической моделью может быть уравнение, алгебраическое выражение, график и прочее. Для упрощения данных математическая модель должна быть представлена в виде произведения и/или сокращена. В алгебре курса основной школы известны различные способы разложения алгебраического выражения на множители, это: вынесение общего множителя за скобки, разложение с помощью формул сокращенного умножения, способ группировки. Известен прием такого преобразования, как деление многочленов, данный прием не рассматривается в курсе алгебры основной школы, но знание этого приема расширяет спектр возможностей для решения задач.

Объект исследования – алгебра курса основной школы

Предмет исследования – разложение алгебраических выражений на множители

Цель работы – выявление плюсов и минусов применения нового метода  (алгоритма деления многочленов) для решения традиционных задач (разложения алгебраических выражений на множители), по сравнению с известными методами решения (вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, способ группировки)

Гипотеза – алгоритм деления многочленов сокращает время на решение задач по разложению алгебраических выражений на множители.

Задачи:

- поиск и анализ информации,  изучение алгоритма деления многочленов;

- решение задач с помощью традиционных методов;

- решение задач с помощью нового метода;

- сравнение нового и традиционных методов решения;

- анализ гипотезы исследования, вывод.

Методы исследования: анализ, сравнение, проведение научного эксперимента

Глава 1. История вопроса

§1 Теорема Эйлера.

 Основная теорема алгебры была высказана впервые П. Роте, А. Жираром и Р. Декартом в первой половине XVII в., правда все предложенные ими формулировки сильно отличались от современной формулировки: Жирар утверждал, что уравнение степени n должно иметь ровно n корней, действительных или воображаемых, причем смысл последнего термина не уточнялся. Декарт лишь высказал лишь предложение: алгебраическое уравнение может иметь столько корней, какова его степень.

В 40-х годах XVIII в. Маклорен и Эйлер дали основной теореме формулировку, эквивалентную современной: всякое уравнение с действительными коэффициентами можно разложить в произведение множителей 1-й и 2-й степени с действительными коэффициентами, иными словами, уравнение степени n имеет n корней, действительных и комплексных.

Первое доказательство основной теоремы предложил в 1746 г. Даламбер. Хотя ученые XVIII в. и не видели недостатков в этом доказательстве, но оно казалось им слишком аналитичным. Математики стремились обосновать основную теорему чисто алгебраически, исходя из самой теории уравнений. В настоящее время известно, что этого сделать нельзя, если не использовать в том или ином виде свойств непрерывности, однако можно свести применение этих свойств к минимуму. Первое такое «максимально алгебраическое» доказательство принадлежит Леонарду Эйлеру.

Работа Эйлера «Исследования о воображаемых корнях уравнений», в которой приводится доказательство основной теоремы алгебры, была опубликована в «Мемуарах» Берлинской академии наук за 1749 г. в 1751 г. Латинский вариант этой статьи был представлен Эйлером Берлинской академии наук еще 10 ноября 1746 г. Таким образом, Эйлер проводил свои исследования почти одновременно с Даламбером. Интересно, что при этом оба ученых исходили из совершенно различных принципов.

Доказательство Даламбера достаточно хорошо известно и не имеет точек соприкосновения с работами Эйлера. Доказательство же Эйлера в противоположность доказательству Даламбера в настоящее время почти забыто. Между тем в основе его лежит именно та идея, которая потом повторялась и варьировалась при всех так называемых алгебраических доказательствах основной теоремы. Последующие доказательства могли быть короче или длиннее, более или менее остроумными, могли быть проведены вполне строго или иметь существенные пробелы, однако основная идея оставалась неизменной.

Кроме того, в процессе доказательства Эйлер впервые применил методы исследования уравнений, которые позднее были развиты Лагранжем и стали основными в его работах, посвященных вопросу решения уравнений в радикалах, а затем вошли в качестве неотъемлемой составной части в теорию Галуа.

Современное «алгебраическое доказательство» основной теоремы можно разделить на три части:

1. топологическое предложение, состоящее в том, что каждое алгебраическое уравнение f(x)=0 нечетной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень;
2. конструкция поля разложения многочлена f(x)=0, т.е. такого поля, над которым f(x)=0, распадается на линейные множители;
3. редукция, сводящая нахождение корня уравнения f(x)=0 степени m=2kr, где r нечетное, к нахождению корней уравнения F(x)=0 степени 2k+1r1, где r1 нечетное.

Все эти части встречаются уже в доказательстве Эйлера: топологическое предложение он формулирует и считает очевидным. Затем он предполагает, что каждый многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде

fm(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αm),

где α1,…,αm – некоторые символы или воображаемые количества, о которых нам заранее ничего не известно, кроме того, что с ними можно проводить обычные действия арифметики по тем же правилам, что и для обычных чисел (т.е. применять к ним закон коммутативности умножения и сложения, дистрибутивность умножения по отношению к сложению и т.д.). Оперируя с этими символами α1,…,αm , Эйлер провел редукцию для уравнений степени 4, 8, 16 и наметил ее для уравнений т=2k. Последнюю редукцию безупречно строго провел Лагранж, опираясь на теоремы о симметрических и подобных функциях, в статье «О видах мнимых корней уравнений». В результате было доказано, что все αi являются либо действительными, либо комплексными числами.

Если рассмотреть основную теорему алгебры как одно из элементарных предложений теории функции комплексного переменного, то вряд ли эта теорема может представить интерес. Но, с другой стороны такие великие математики, как Эйлер, Лагранж, Лаплас и Гаусс, занимались ею, причем Гаусс предложил для нее четыре различных доказательства. Алгебраические доказательства теоремы тесно связаны с общей теорией уравнений. Уже в доказательствах Эйлера и Лагранжа выявилась связь алгебраических доказательств с теорией симметрических функций и подобных функций корней уравнения.

§2 Метод Гаусса и алгоритм Евклида.

.Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное вычитание». Этот алгоритм не был открыт Евклидом, так как упоминание о нём имеется уже в Топике

Аристотеля. В «Началах» Евклида он описан дважды — в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.

Историками математики (Цейтен и др.) было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата Математика в девяти книгах.

Ряд математиков средневекового Востока - Сабит ибн Курра, ал-Махани, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям, попытались построить на основе алгоритма Евклида теорию отношений, альтернативную по отношению теории отношений Евдокса, изложенной в V книге «Начал» Евклида. Согласно определению, предложенному этими авторами, четыре величины, первая ко второй и третья к четвёртой, имеют между собой одно и то же отношение, если при последовательном взаимном вычитании второй величин в обеих парах на каждом шаге будут получаться одни и те же неполные частные.

Глава 2. Деление многочленов.

§.1 Условия делимости

Для того, чтобы поделить один многочлен на другой, сначала надо понять, возможно ли это деление. Поделить многочлены нельзя:

1. Если показатель степени в высшем члене делимого меньше, чем в высшем члене делителя, так как при этом условии невозможно получить высший член частного.
2. Если показатель степени в низшем члене делителя меньше, чем в низшем члене делимого, так как при этом условии нельзя получить низший член частного.
3. Если многочлены удовлетворяют двум предыдущим условиям, то это еще не значит, что деление возможно. В этом случае надо приступить к делению и продолжать до тех пор, пока не убедимся в возможности или невозможности получить частное в виде многочлена.

При этом надо различать 2 случая:

1. Когда многочлены расположены по убывающим степеням главной буквы, то мы продолжаем деление пока в остатке не получим ноль (тогда деление возможно и завершено), или пока не дойдем до такого остатка, первый член которого имеет главную букву с меньшим показателем, чем высший член делителя (тогда деление невозможно).  

Например, рассмотрим деление многочленов.

Пример1.

Выполним деление многочлена   на многочлен

      |

                                                    ____________          

                            ______________ __

                                                             _________ _

  Деление невозможно, так как первый член остатка не делится на первый член делителя.

2. Когда многочлены разложены по возрастающим степеням.  «Сколько мы бы ни продолжали деление, никогда не получим остатка, у которого показатель 1-го члена был бы меньше показателя 1-го члена делителя, потому что при таком расположение показатели главной буквы в первых членах остатков будут увеличиваться.»[1; §72]

Например, рассмотрим деление многочленов.

Пример 2

                                        |

Продолжая действие дальше, мы бы получили в частном, но если бы возможно было бы получить целое частное (без остатка), то последний член должен был бы быть ( от деления высшего члена делимого на высший член делителя); значит, деление невозможно.

§2 Алгоритм деления

При делении многочлена на многочлен, частное редко можно выразить целым многочленом. Например:

так как .

Вообще же подобные частные можно обозначить только знаком деления, например частное от деления  на  выразится так:

,или .

В виде целого многочлена можно выразить только частное от деления многочленов расположенных по степеням одной и той же буквы. Покажем это на примере:

.

Расположим многочлены как при делении целых чисел, при этом напишем оба многочлена по убывающим степеням x:

|

                                                    0

Предположим, что частное равно какому-то многочлену и члены этого многочлена  также по убывающим степеням буквы x.

«Делимое должно равняться произведению делителя на частное. Из умножения расположенных многочленов известно, что высший член произведения равен произведению высшего, члена множимого на высший член множителя.»[1, §70] В делителе и частном, так же как и в делимом высший член первый. Следовательно, первый член делимого  должен быть произведением 1-го члена делителя   на первый член частного. Значит, для того чтобы найти первый член частного, нужного 1 член делимого поделить на первый член делителя. Проделав данную операцию, найдем первый член частного .

Пишем его под чертою в частном.

Умножим первый член частного на все члены делителя, вычтем из делимого полученное произведение. Для этого напишем полученное произведение под делимым, так, чтобы подобные члены были друг под другом, меняя знаки у всех членов вычитаемого. После вычитания получим первый остаток. Если бы остаток был бы равен нулю, то значит, что в частном у нас одночлен. В нашем же примере, первый остаток не ноль, то будем рассуждать так.

«Делимое есть  произведение  всех  членов  делителя  на  все члены частного»[1; §70] Мы вычли из делимого произведение всех членов делителя на первый член частного, следовательно у нас в остатке заключается произведение всех членов делителя на второй и последующие члены частного. Высший член в делителе первый, в остатке тоже первый, в частном высшим членом является второй член( не считая первого). Значит первый член остатка () должен равняться произведению первого члена делителя на второй член частного. Отсюда следует: для того чтобы найти второй член частного, надо первый член остатка поделить на первый член делителя. Разделив, находим второй член частного (. Пишем его в частном.

Получим второй остаток, вычтя из первого остатка произведения первого члена делителя на второй член частного. Если остаток равен нулю, то деление закончено, если же нет, как в нашем случае, то будем рассуждать так.

«Второй остаток есть произведение всех членов делителя на 3-й, на 4-й и следующие члены частного»[1; §70] Из этих членов высшим является третий, то, подобно предыдущему, найдем третий член частного, поделив первый член остатка на первый член делителя. Разделив, подучим (-4). Умножив на (-4) все члены делителя и вычтя из остатка получим третий остаток. У нас он равен нулю, следовательно деление завершено и в частном не может быть ни каких других членов, кроме найденных. Если бы остаток был бы не равен нулю, то надо было бы подобно предыдущему, поделить первый член остатка на первый член частного, получился бы четвертый член частного, и т. д.

Можно было бы расположить делимое и делителя по возрастающим степеням одной и той же буквы и затем поступать, как сейчас было сказано; при этом пришлось бы основываться на том, что низший член произведения равен произведению низшего члена множимого на низший член множителя.

Глава 3. Применение алгоритма деления многочленов для оптимизации решения типичных задач

§1 Решение задач известными способами разложения многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.
2. Работаем с буквенными множителями. Находим буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
3. Вычисляем многочлен, который остается в скобках.

Пример 1

Сократите дробь

Решение:

Начнем с коэффициентов. Наибольшее число, на которое делятся 35 и 7 – это 7.

Среди степеней a наименьшая .

Среди степеней b - .

Таким образом общий множитель – это 7. Выносим его за скобки.

Каждое слагаемое, стоящее в скобках, делим на этот множитель. При этом отдельно делим число, отдельно – степени с одинаковыми основаниями. Получаем:

Пример 2

Сократите выражение:

Решение:

Начнем с коэффициентов. Наибольшее число, на которое делятся 12, 18 и 30 – это 6. Так же мы выносим « - » за скобки, при этом все знаки в скобках меняются на противоположные.

Среди степеней a наименьшая .

Среди степеней b - .

Среди степеней с – с в первой степени.

Таким образом общий множитель – это . Выносим его за скобки.

Каждый многочлен делим на этот множитель. При этом отдельно делим число, отдельно – степени с одинаковыми основаниями. Получаем:

Пример 3

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Начнем с коэффициентов. Наибольшее число, на которое делятся 7, 77 и 21 – это 7.

Среди степеней x наименьшая .

Среди степеней y - .

Таким образом общий множитель – это . Выносим его за скобки.

Каждый многочлен делим на этот множитель. При этом отдельно делим число, отдельно – степени с одинаковыми основаниями. Получаем:

Использование формул сокращенного умножения

Известны следующие формулы сокращенного умножения:

1. Разность квадратов

2. Квадрат суммы

3. Квадрат разности

4. Куб суммы

5. Куб разности

6. Сумма кубов

7. Разность кубов

Применим данные формулы к разложению на множители многочленов и последующему сокращению алгебраических дробей.

Пример 1

Сократите дробь:

Решение:

В числителе выражение представляет собой разность кубов двух выражений  и , а в знаменателе – разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь присеет вид:

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

Пример 2

Решите уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения как разность кубов, получим

Отсюда

, или ,

то есть ,

Пример 3

Найдите значение выражения

При

Решение:

Применим формулу квадрата суммы для раскрытия первой скобки. Затем раскроем вторую скобку и приведем подобные слагаемые.

Теперь подставим

Способ группировки

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
3. Вынести полученный общий   за скобки.

Пример 1

Разложите на множители многочлен:

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель , а во второй . Получаем:

Теперь общий множитель  также можно вынести за скобки:

Пример 2

Разложите многочлен на множители:

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

Из первых скобок выносим общий множитель , а во вторых скобках, общего множителя нет, из третьих - .

Общий множитель  выносим за скобки. Не забываем поставить единицу вместо .

.

Пример 3

Решите уравнение

Объединим первый член с третьим и второй с четвертым:

Вынесем общие множители в группах:

Очевидно, что у всего выражения появился общий множитель. Вынесем его за скобки:

Теперь можем перейти к решению уравнения:

Произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим и решим уравнения:

Решим первое уравнение:

 – уравнение не имеет решения, так как квадрат любого числа это число неотрицательное, то есть большее либо равное нулю;

Решим второе уравнение:

Ответ: -2

§2 Решение задач с применением алгоритма деления многочленов

Примеры применения алгоритма деления многочленов к разложению на множители многочленов и сокращению алгебраических дробей

Пример 1 добавляй

Пример 2

Найдите коэффициенты  m и n квадратного трехчлена , если известно, что его остатки при делении на двучлены  и  соответственно равны  m и n.

Решение:

Выполним деление, получим:

                                          1)         |

                                          2)         |

Согласно условию , , . Если n=0, то , то есть m=0 либо m=0,5. Если , то n=-m, m(m-1)=0, то есть m=1, n=-1.

Проведение научного эксперимента

Сравнение традиционных методов решения: вынесения общего множителя за скобки, способа группировки, применения формул сокращенного умножения и нового метода – деления многочленов.

Проведенный анализ выявил ряд преимуществ для решения задач новым методом – методом деления многочленов:

1. Время на разложение на множители алгебраического выражения в среднем уменьшается на __ минут
2. Применение данного метода не требует запоминания формул сокращенного умножения
3. Применение данного метода не требует знания алгоритма метода группировки и способа вынесения общего множителя за скобки

Не смотря на ряд преимуществ, выявлены и проблемы применения данного метода:

1. Проверка условий делимости требует дополнительных временных затрат
2. Алгоритм деления многочленов труден к восприятию
3. Применение только метода деления многочленов не способствует к запоминанию традиционных методов решения.

Заключение

В ходе проведенного исследования достигнута цель работы – выявлены плюсы и минусы применения нового метода  (алгоритма деления многочленов) для решения традиционных задач (разложения алгебраических выражений на множители), по сравнению с известными методами решения (вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, способ группировки)

Для достижения поставленной цели, решались следующие задачи:

- поиск и анализ информации,  изучение алгоритма деления многочленов;

- решение задач с помощью традиционных методов;

- решение задач с помощью нового метода;

- сравнение нового и традиционных методов решения;

- анализ гипотезы исследования, вывод.

Проведен научный эксперимент, в ходе которого одно и тоже выражение решалось и одним из традиционных и новым методом разложения. Таким образом, были выявлены плюсы и минусы применения нового метода решения, о которых говорилось выше.

Плюсы:

1. Время на разложение на множители алгебраического выражения в среднем уменьшается на __ минут
2. Применение данного метода не требует запоминания формул сокращенного умножения
3. Применение данного метода не требует знания алгоритма метода группировки и способа вынесения общего множителя за скобки

Минусы:

1. Проверка условий делимости требует дополнительных временных затрат
2. Алгоритм деления многочленов труден к восприятию
3. Применение только метода деления многочленов не способствует к запоминанию традиционных методов решения.

В ходе проведенного исследования, в соответствии с объектом и предметом исследования, гипотеза о том, что алгоритм деления многочленов сокращает время решения задач на разложение алгебраических выражений на множители, нашла своё подтверждение

Список используемой литературы

1. Вейц, Б.Е. Алгебра и начала анализа [Текст]: пробный учебник для 9 кл. / Б.Е. Вейц, И.Т. Демидов; под общ. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1969. – 264 с.
2. Денисова, М.И. Применение математики к решению прикладных задач [Текст] / М.И. Денисова, Н.А. Беспалько // Математика в школе. – 1981. – № 2. – С.28-29.
3. Колягин, Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин, В.В. Пикан // математика в школе. – 1985. – № 6. – С.27-32.
4. Математика [Текст]: учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений / В.Ф. Бутузов, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин и др. – М.: Просвещение, 1995. – 223 с.
5. И впиши сюда ещё две книги, только добавляй их по алфавиту в соотв. с этими примерами