Исследовательская работа "Золотое сечение"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №28

 г. Ставрополя

Исследовательская работа на тему: «Золотое сечение»

                                                                                  Автор работы: Искандарян Диана ученица 9 «А» кл.

  МБОУ СОШ № 28

 г. Ставрополя

 Научный руководитель: учитель математики высшей квалификационной категории  Копылова И.В.  

Содержание

1. Введение……………………………………………………..
2. Пропорция золотого  сечения.
3. История золотого сечения
4. Построение пропорции ……………..………………………
5. "Золотые" фигуры…………………………………………….
6. Золотое сечение в искусстве………………………………
7. Заключение. Практическое применение………………..

Литература………………………………………………………..

1.Введение.

Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) – деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.

Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.

«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер, они являются эпиграфом практически ко всем трудам, посвященным «золотому сечению». Гениальный ученый поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.

Однако «золотому сечению» повезло меньше, чем теореме Пифагора – «классическая» наука и педагогика его игнорируют, а «официальная» математика не признаёт.

Считаю что тема «Золотое сечение » наиболее интересна и в этом вижу необходимость ее исследования.

Цели и задачи:

1.Изучить литературу по проблеме

2. Провести краткий обзор истории и математической сущности золотого сечения.  

3.Попытаться осмыслить его роль в современной математике, 4.Рассмотреть задачи на построение «золотых фигур».

Объект исследования: Золотое сечение

Предмет исследования:

Отображение «Золотого сечения» в аспектах деятельности человека:

1. Геометрия;
2. Живопись;
3. Архитектура;
4. Живая природа (организмы);
5. Музыка

Гипотеза:

Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение.

Методы исследования:

 теоретический анализ учебно-методической, справочной литературы.

2.  Пропорция золотого  сечения.

"Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

второе - деления отрезка в крайнем и среднем

отношении"

Иоганн Кеплер  

Пятиконечная звезда – пентаграмма – очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны. Ее красота, оказывается, имеет математическую основу. Попробуйте нарисовать пейзаж и проведите на листе бумаги – будущей картине – линию горизонта. Почему вы и многие другие художники проводят линию горизонта именно так? А потому, что отношение высоты картины к расстоянию от верхнего края до линии горизонта равно отношению расстояния от  верхнего края до линии горизонта к расстоянию от линии горизонта до нижнего края. Это отношение и есть отношение золотого сечения.

Пропорции золотого сечения часто используются художниками не только при проведении линии горизонта, но и в отношениях между другими элементами картины. Леонардо да Винчи находил это отношение в пропорциях человеческого тела. Древнегреческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при оформлении Парфенона.

Так чему же равно золотое сечение? Если высоту картины принять равной 1, а расстояние от верхнего края до горизонта обозначить через х, то из условий золотого сечения получим: 1:х=х:(1-х). Преобразовав это уравнение получим х2 – х – 1=0. Положительный корень этого уравнения равен (√5 + 1)/2. Это число обычно обозначают греческой буквой тау - τ. Иногда ее обозначают и другой греческой буквой ϕ - в честь Фидия.

Обратимся теперь к пятиконечной звезде, в ней, как говорится, «где ни копни везде золото». Точка D делит отрезок СА в отношении τ, она также делит и отрезок АЕ в том же отношении; длины отрезков АС и АВ, и длины отрезков АВ и AD, также находятся в золотом отношении

3.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

 Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

    Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в

 частности, вопросам золотого деления.

 Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого  деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

 В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.  Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

 Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

 В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

 Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

 Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

 Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

 4. Построение пропорции.

Здесь приводится построение точки Е, делящей отрезок прямой в пропорции золотое сечение.

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

 Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

5. "Золотые" фигуры.

5.1.Золотой прямоугольник:

 Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.

 Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теореме Пифагора

                     МС2=а2+(а/2)2=5а2/4

 В силу чего

                     АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ

Прямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне  убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?

5.2.Золотой треугольник:

Проводим прямую АВ. От точки А

 откладываем на ней три раза отрезок О

 произвольной величины, через

 полученную точку Р проводим     перпендикуляр к линии

 АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1

откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

      5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

Для построения пентаграммы необходимо построить  правильный пятиугольник.

 Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

 Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

 Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами,   имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

 Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».

Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое  сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника

из центра описанной окружности. Начнем с отрезка АВЕ, разделенного в среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через α равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен α. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2α, а угол ЕАС  - 3α - 180. Но тогда угол АВС равен 180-α. Суммируя углы треугольника АВС получаем,  

    180=(3α -180) + (3α-180) + (180 - α)

                   Откуда 5α=360, значит α=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х  и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим,  что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

                               CN2      = а2 – (а/2ϕ) 2= а2 (1-4ϕ 2)  

Отсюда имеем (АС/а) 2   = (1+1/2ϕ) 2   + (1-1/4ϕ 2) = 2+1/ϕ  = 1 + ϕ =ϕ 2 

Итак, АС =  ϕа = ϕАВ = АЕ, что и требовалось доказать            

5.4.Спираль Архимеда.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.

                         6.Золотое сечение в искусстве.

6.1. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина.  На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

    В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие .  

8. Заключение.

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.

Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Возбуждение струны в точке , делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

   Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

 Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»

 Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

Знакомство с принципами «золотого сечения», помогает видеть гармонию и целесообразность окружающих нас творений природы и человека. Можно сделать выводы:

• во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;
• во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Несмотря на неприятие «золотого сечения» современными «официальными науками, оно повсеместно используется в технике, во многих странах мира, в том числе в России и Украине, довольно крупные учёные продолжают изучать и искать практическое применение одному из «золотых» математических принципо

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"  

Список литературы:

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. – М.: Школа-пресс, 1998.

2.Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

3. Журнал "Наука и техника"

4. Журнал «Квант», 1973, № 8.
5. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

6.Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Высшая школа, 1989.

7. «Математика. Я познаю мир». – М.: Аванта +, 1998

8. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998

9.Мурутаев . «Вопросы философии» 1994г. №6 стр. 71 (О гармонии мира).