Реферат - исследование

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Нягани «Средняя общеобразовательная школа №14»

ЭСТЕТИКА МАТЕМАТИКИ

Реферат-исследование по математике выполнили ученицы 9а класса  Баламонова Диана, Яковлева Ангелина

Руководитель: Бураншина Людмила Ивановна

2016 г.

Человек есть дробь. Числитель это - сравнительно с другими - достоинства человека; знаменатель - это оценка человеком самого себя. Увеличить своего числителя - свои достоинства - не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя - свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству».

JI.H. Толстой.

Естественно, в рамках первой работы мы не претендовали на глубокое, всесторонне освещение “эстетики математики"', хотя выяснили для себя достаточно много. Математика-эстетически совершенная наука, в которой есть и поразительная гармония фигур, графиков, и красота логических формул.

2.В математике все прекрасное разумное, лишено даже намеков на ненужность, бесполезность: практически каждая формула, каждый закон находят свое применение в жизни человека, позволяя окружающему миру приобретать логическую  завершенность, стройность и четкость форм.                                

3.Математика        тренирует        мышление,развивает воображение, учит различать эстетически значимые предметы от неэстетичных.

4.И литература. И музыка, и живопись, и архитектура не вызывали бы эстетическое наслаждение без законов и правил математики: тот же размер в поэзии, ритм в музыке, композиция для художника- элементы математики.        

5.Наконец,        когдасам убеждаешься в эстетической ценности математики, путь познания становится более увлекательным и целеустремленным.

Глава 1.ЭСТЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ МАТЕМАТИКИ

Мы остановимся на определении эстетики как науки о прекрасном.

Это не совсем полное рабочее определение делает ясным и понятие эстетического элемента математики как всего того в ней, что красиво и что может нравиться человеку.

Наличие эстетического элемента в математике подтверждают, прежде всего, сами ее творцы. С.Д. Пуассону казалось, например, что жизнь красна двумя вещами:        возможностью изучать математику и возможностью

преподавать ее. К. Якоби утверждал: «Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе». Знаменитый афоризм Б. Г Паскаля гласит: «То, что может превышать геометрию, превышает нас».

В том, что эстетический элемент в математике - реальная вещь, убеждает нас и наш личный опыт в процессе изучения и преподавания математики, и пример наших воспитанников, проявляющих особое расположение к этой дисциплине.

Другое дело - что понимается под этим эстетическим элементом, т.е. под эстетическим содержанием математики, и каковы источники ее эстетического воздействия. Систематического освещения этот вопрос не получил ни в нашей, ни в зарубежной литературе. Из работ математиков, имеющих прямое отношение к этой теме, заслуживает внимания очерк Г.Х. Харди, до сих пор не переведенный у нас и потому недоступный большинству учителей. Отдельные интересные мысли других математиков по тому же вопросу, имеющиеся во множестве источников, никем не собраны и, следовательно, также малодоступны. Нет интересующего нас сколько-нибудь обстоятельного анализа и в трудах методистов-математиков, хотя эта тема изредка и привлекала их внимание. В этих условиях в поисках ответа на поставленный вопрос естественно обратиться к опыту. Опыт приводит к мысли о том, что источником эстетического воздействия математики являются некоторые ее особенности. Подчеркиваем, что учитель математики, как и его ученики, глядя на математику как бы со стороны, способны видеть лишь ее внешние особенности и, конечно, не подозревают о каких-то глубинных ее особенностях, которые, если они существуют, хорошо видны, вероятно, только истинным, творческим математикам.

Отметим кратко и в самых общих чертах эти особенности.

I. АБСТРАКТНОСТЬ

К характерным особенностям математики относится, прежде всего ее абстрактность.

Известно, что каждое отдельно взятое понятие математики трудно усваивается, потому что все они, начиная с простейших, очень абстрактны. Но у абстрактности есть достоинства, которые не могут не нравиться.

Математическое абстрагирование естественнонаучной, инженерной или экономической проблемы позволяет проникать глубже и точнее в течение явлений, чем непосредственное их наблюдение и экспериментальное изучение. При том математика не только способствует более глубокому пониманию решения, найденного естествоиспытателем, инженером или экономистом, но и существенно обобщает первоначальную обстановку проблемы. В абстрактности математики ее сила и престиж.

Абстрактностью математики определяется заложенная в этой науке почти не ограниченная возможность создания новых теорий («структурой»), в соответствии с установленными «правилами игры», извлечения новых выводов и следствий. В абстрактности математики - гарантия ее неиссякаемости. На наших глазах абстрактность математики из педагогического зла превращается в реальное педагогическое благо. Современная методика математики смело опирается на ее абстрактность. При этом, как указывает А.Н. Колмогоров, «в целом последовательно современное изложение математики, начинающееся с весьма общих понятий множества, отображения, группы, упрощает ее. Открывая в разнообразных частных фактах общую их основу, мы делаем изложение более кратким и, в конечном счете, более простым и доходчивым».

Так ориентацию методики математики на ее абстрактность венчает педагогический эффект «простоты и доходчивости», который вместе с тем есть и эстетический эффект.

2.ДЕДУКТИВНЫЙ ХАРАКТЕР

Вторую важную особенность математики ее дедуктивный характер и то исключительное место, которое в ней занимает логика. Эта особенность сводит всю суть математики к доказательству. И совсем не трудно понять тех, кто утверждает, будто самые лучшие доказательства в математике кратки  и точны, как эпиграммы, а в самых длинных слышны ритмы музыки. Но, пожалуй, никто не передает так верно эстетику математического доказательства, как Харди: «Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если эти узоры более устойчивы то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математики так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики».

Логика сводит отдельные лишенные предметной самостоятельности математические понятия-абстракции в систему, придавая ей форму(композицию), способную служить предметом эстетического восприятия. Напомним, что «золотая цепь» евклидовых теорем, в течение двадцати век восхищавшая^ человечество, своим гармоническим построением и неповторимой красотой во многом обязана «Аналитикам» Аристотеля - логическим сочинениям, имеющим своим предметоммышление.

        Благодаря этой своей особенности математика лучше, чем другой школьный предмет, учит человека искусству мыслить, т.е. учит не только идеям, но главным образом тому, как обращаться с идеями, как из них

создавать «узоры». Ф. Шиллер  в свое время писал, что « именно упражнение

рассудка как такового есть основной момент обучении юношества, и в большинстве случаев мышление важнее, чем мысль». Если это так, а это видимо, почти так и есть, то математика лучше любого другого предмета

помогает в школе достичь ее высшую цель.

                             3.НЕПРЕЛОЖЕННОСТЬ ВЫВОДОВ

        Математике, в отличие от некоторых других дисциплин, чужды споры, происходящие от неполного определения употребляемых в ней понятий. Поэтому ее выводы непреложны. По справедливому замечанию А.Д. Александрова, «логически допустимо нарушение законов физики, но

невообразимо, чтобы дважды два не было четыре».

        Никакой результат математики не зачеркивается ее дальнейшим

развитием. Однажды доказанная теорема уже никогда не становится неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать.

        Учитывая сказанное, нельзя не вспомнить без улыбки те дни, когда Парижская академия наук, по философским соображениям, упорно опровергала факт сплоченности Земли и после того, как он был математически обоснован Ньютоном. С тех пор многое изменилось. Теперь уже всем ясно, что в математике никогда, ни на каком уровне не встречаешься с мнением (допускающим вымысел), но всегда имеешь дело с истиной, достойной абсолютного доверия.

                                    4. ЕДИНСТВО ЧАСТЕЙ

        Абстрактный аксиоматический метод, составляющий стиль современной математики, открывает нам еще одну ее удивительнуюособенность - единство частей.

        Отражением глубокого ощущения единства математики являются идеи аналогии, модели, изоморфизма, которые постоянно возрождаются на почве этого ощущения. Идеи модели и интерпретации одной математической теории с помощью другой восходят, как полагают, к Пифагору. Их ближайшее последующее развитие связано с именами Декарта, Ферма и Лейбница. В осознании понятия изоморфизма важную роль сыграло расширение алгебры (середина XIX в.), и особенно выдающий пример этого понятия –двойственность в проективной геометрии. Все большее использование понятия модели позволило в прошлом столетии осуществить унификацию классической математики на основе ее арифметизации.

        В математике постоянно имеют дело с аналогией. О ней восторженно отзывается Кеплер, говоря, что аналогии известны все секреты природы. С ее помощью открываются редкой красоты числовые зависимости, теоремы, формулы. Решая школьную задачу, мы так же часто обращаемся к аналогии, при этом, как замечает Д. Пойа, мы можем считать, что нам повезло, если, пытаясь решить данную задачу, мы находим более простую аналогичную задачу.

        К сожалению, учебные программы прошлого не отражали единства математики, так что школьная математика, по словам Ф. Клейна, еще совсем недавно была, подобно Аахенскому собору, составлена из различных кусков, происходящих из различных столетий, с тем отличием, что общее впечатление не так живописно.

        Наши новые учебные программы средней школы по математике стремились освободиться от этого недостатка.

                                    5.СОВЕРШЕНСТВО ЯЗЫКА

        Еще в 1678 г. в письме Чирнгаузу Лейбниц писал, что «характеры» (т.е.

знаки) «коротко выражают и как бы отображают глубочайшуюприроду вещи и при этом удивительным образом сокращается работа мышления».

        Действительно, математические символы чрезвычайно быстро передают информацию и обеспечивают удобство ее переработки. Когда они несут большой объем информации, формулы приобретают особую компактность, а формальные преобразования - легкую обозримость.

        О том, как много дает математике анализ с помощью символов, свидетельствует, в частности, пример дифференциального и интегрального исчислении. Распространение же, которое этот символический язык получает

в других науках, указывает на признание его достоинств и за пределами математики.

        Заметим, что математическая символика имеет длительную историю, ее значение осознавалось не сразу. Тот же Чирнгауз, ближайший друг Лейбница, советовал ему в письме по возможности избегать новых обозначений, которые, по его мнению, лишь затрудняют доступ к науке. Это, конечно, недоразумение. Десятилетний опыт преподавания математики поновой программе убеждает в том, что четкая символика не затрудняет, а способствует изучению предмета.

        Правда, символический язык математики не универсален. Он, в частности, лишен экспрессивного значения и не приспособлен к передаче эмоций, поскольку они пока логически не определены. Но мы нерассматриваем это как недостаток нашей символики и лишь признаем вместе с Ж. Фурье, что «у нас нет знаков для выражения неясных понятий».

                                         6. ПОЛЕЗНОСТЬ

        Часто полезность математики связывают с универсальностью ее применений. Эта универсальность, основанная на неоднозначности интерпретации абстрактных математических понятий, действительно ускоряет прогресс наук и тем самым оказывается полезной человечеству.

Проникновение математического аппарата в ту или иную область знания занимает этап в ее развитии, способствует возникновению новых знаний в самых различных науках, причем знаний точных.

        В оценки полезности математики некоторые ученые идут еще дальше.

Так, математики М. Кац и С. Улам, например, утверждают: «Математика -

это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощнойспособностью отражать и моделировать любые процессы мышления и,вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и еще вбольшей мере продолжает приносить ее сейчас. Можно даже пойти дальше  исказать, что математика необходима для покорения природы человеком ивообще для развития человека как биологического вида, ибо она формирует его мышление».

        Многие приходят к математике, руководствуясь также соображениями

ее полезности и рассматривая ее изучение как необходимый этап подготовки

ума к усвоению естественных и некоторых других наук. Этот взгляд наматематику разделялся и раньше, но много сторонников он приобрел в наше время.

        Из всех особенностей математики, пожалуй, наиболее примечательна ее полезность. Иногда она заслоняет все остальное. Мы же более согласны с Гете в том. Что «польза - лишь часть того, что имеет значение».

7.ОБАЯНИЕ ИСТОРИИ

        Любая наука могла бы гордиться такой историей, как история математики, ибо она менее всего история ошибок.

        История математики - это не простой суммарный учет возрастающего запаса математических знаний, но, что особенно характерно, отражение лежащего в основе этого возрастания явления преемственности. Преемственность не нарушали ни многовековые перерывы в развитии математической мысли, ни потрясавшие современников научные революции. Так, понятие множества, например, послужившее, как некоторые полагают, семенем, началом жизни доисторической математики, и сегодня остается фундаментом здания математической науки.

        История математики тысячами нитей связана с историей других наук, историей техники, историей искусства, она - существенная часть истории человеческой культуры. В ней ясно обозначен вклад в математику ученых - представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых. В ней есть главы, посвященные отдельным людям и их научным подвигам. Эти главы нельзя читать без волнения.

        Обычно человека покоряет одна из особенностей математики, например алгоритмичность, а затем и все остальные. Субъективность эстетических оценок математики объясняется разнообразием ее свойств.

        Кроме воспринимаемых как эстетические ценности изложенных

особенностей непосредственно самой математики, к ее эстетическомусодержанию следует отнести, по нашему мнению, и ее связи с миромкрасоты окружающей действительности, под которым понимается красота в технике, искусстве и природе.

Глава П. МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭСТЕТИКЕ,

СТАНДАРТИЗАЦИИ И КВАЛИМЕТРИИ

        Изучением и решением проблем красоты и качества предметов труда сегодня специально занимаются техническая эстетика, стандартизация и квалиметрия. Эти новые отрасли знания имеют дело с числом и формой так часто, что без математики просто не могли бы существовать.

                                1. ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭСТЕТИКА

        Глубокие изменения в экономике и технике, резкое обострение конкуренции в торговле (особенно внешней) в XX веке совершенно по- новому поставили вопрос о качестве и оформлении промышленной продукции и потребовали его научного решения. Так в 20-х годах возникла новая практическая область человеческой деятельности, а вместе с ней и новая наука, получившая название технической эстетики или дизайна. Предметом этой науки является художественное конструированиеокружающей человека материальной среды.

        В нашей стране технической эстетике уделяется большое внимание.

Объясняется это тем, что «обеспечение качества продукции рассматривается во всем мире как основная проблема национальной экономики, от которой зависят темпы промышленного развития страны, его национальныйпрестиж».

МАТЕМАТИКА ХУДОЖНИКА – КОНСТРУКТОРА

        Требования, предъявляемые технической эстетикой к изделиям, реализуются в процессе художественного конструирования. Роль художника- конструктора в современной промышленности аналогична роли архитектора в строительстве. По крайней мере, тот и другой имеют дело с формой, пропорциями и потому в своей практике пользуются математикой.

А) Форма. При разработке проблемы зрительного восприятия машин

художники-конструкторы пользуются арифметической и геометрической

прогрессиями. Известно, что при возрастании раздражения в геометрической прогрессии ощущение растет в арифметической прогрессии. Так, при наличии совокупности отрезков, размеры которых удовлетворяют геометрической прогрессии и которые соответствуют величинам: М, Mm, Mm2, Mm3, ..., Мmk, зрительное ощущение вызываемое этими отрезками,будет измеряться числами:

N, N+n, N+2n, N+3n..., N+kn, т. e. будет удовлетворять арифметической прогрессии. Это означает, что если при переходе от первого отрезка ко второму зрительное ощущение возросло на некоторую величину n, то подобное возрастание сохраниться и при переходе от каждого предыдущего к каждому последующему отрезку. Таким путем устанавливается одинаковый характер перехода от одного отрезка к другому, что значительно облегчает зрительное восприятие, делает его более непосредственным испокойным.

        Существует несколько методов, которые используются художниками- конструкторами при проектировании и задании сложных поверхностей. Наиболее перспективным является метод кривых второго порядка. Сущность

его состоит в задании основных и вспомогательных линии поверхности, а также поперечных сечений кривыми второго порядка, которые могут быть построены графическими приемами или рассчитаны аналитически без предварительной скульптурной модели. Как расчет, так и способы графических построений основаны на свойстве кривых второго порядка, в соответствии с которым для их определения достаточно пяти условий (теоремы Паскаля и Брианшона). Метод этот эмпирический.

Б) Цвет. Основываясь на достижениях физиологии цветового восприятия, на физике цвета и используя принципы композиционного анализа, математика интерпретирует аналитику цветовой гармонии в виденекоторой логарифмической зависимости.

В) Пропорции. При создании эстетически выразительных форм конструкций огромную роль играет пропорциональность, соотношение размеров основных узлов между собой и всей конструкции в целом. Иными словами, пропорции являются наиболее действенным средством организации множества элементов композиции в единую гармоническую систему. Изпропорциональных систем, применяемых в технической эстетике, основными являются: модуль, метод подобия и золотое сечение.

Г) Применение ЭВМ. Большое место в вопросах технической эстетикизанимают проблемы исследования систем «человек - машина», связанные с поиском объективных, точных методов изучения человека как звена этойсистемы.

Особенно актуальной является задача изучения морального фактораэмоциональных характеристик состояния человека, его работоспособности. В

решение этой задачи все чаше применяется математика и ее методы (как, например, метод потенциальных функций, разработанный советскими учеными), которые открывают совершенно новые возможности для объективного и автоматического анализа сложных динамических систем неизвестной структуры. На основе этого метода разработан ряд унифицированных программ для ЭВМ, по которым с помощью статистического анализа решаются конкретные содержательные задачи, возникающие в практике инженерно - психологических исследований.

Все это открывает путь для построения моделей эмоциональныхчеловека, его работоспособности и психологической настроенности. Амоделирование, в свою очередь, создает предпосылки к оптимальному конструированию комплексов человек-машина» с учетом психофизиологических  возможностей человека.

Из сказанного следует, что математика входит в техническую эстетику по двум направлениям:        1) по линии выражения языком математикиустановленных закономерностей и 2) по пути установления новых теоретических положений с помощью математических методов.

Глава Ш. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАКОНОВ КРАСОТЫ В

ИСКУССТВЕ

Каждое настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики.

1.МУЗЫКА

Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляли интерес к музыке. В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория музыки. Об этом напоминает математическаятерминология.

Возьмем для примера так называемую «гармоническую пропорцию». Говорят, что три числа образуют гармоническую пропорцию, если обратные им числа удовлетворяют непрерывной арифметической пропорции.

Оказывается, длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов - мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн

образует непрерывную арифметическуюпропорцию.

1 :

а числа колебании, как

1 :или как

4:5:6,

причем

6-5 = 5-4,

т. е. Получается непрерывная арифметическая пропорция.

Таким образом, приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам, и нам становятся понятны слова пушкинского

Сальери:

…Поверил

 Я алгеброй гармонию....

        Заметим, что математическая теория музыки пифагорейцев явилась вообще первой теорией музыки у греков. И хотя уже Пифагор видел в музыке могучее средство нравственного воспитания, однако только позже, в трудах величайшего греческого музыкального теоретика Аристоксена Тарентского, музыка переносится из области математики и физики в область эстетики. Это перенесение, впрочем, не означало отрыв музыки от математики. И становление музыки как искусства, в древности и вся ее последующая история теснейшим образом связаны с математикой и физикой.

Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, - это математика. Создание логарифмически равномерной 12-тонной музыкальной шкалы - итог совместной деятельности музыкантов и математиков. Она могла появиться только после разработки общей теории отношений и логарифмов в XVII веке. Не случайно на протяжении всего этого столетия в теории сохраняется точка зрения на музыку как на науку о числах, т.е. как на раздел математики. Такому взгляду способствовал авторитет «Гармонии мира» Кеплера. И позже, в начале XVIIвека, Лейбниц в своих многочисленных заметках о музыке еще всюду утверждает, что природа музыкальных созвучий строится на основе числовых пропорций. Однако, сводя природу музыки к математическим пропорциям, Лейбниц тем не менее высказывал совершенно новую мысль: исчисление пропорций, которое совершается при восприятии музыки, происходит скрытным, неосознанным образом. В письме Гольбаху от 17 апреля 1712 года Лейбниц дает следующее знаменитое определение музыки: «Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом».

        Тот факт, что создание европейской музыкальной шкалы было завершено немецким ученым и музыкантом АндриасомВеркмейстером, несколько не умаляет значения работ математиков того времени по теории музыки.

        В XVIII веке начинается создаваться музыкальная акустика. Б. Тейлор высчитал число колебаний струны в зависимости от ее длины, массы и натяжения. Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Даламбер разрабатывают полную теорию колебаний струны и объясняют происхождение призвуков, сопровождающих основной тон струны или другого колеблющегося тела, - обертонов. В 1863 году выходит «Учение о слуховых ощущениях» Г. Гельмкгольца и в 1878 году «Теория звука» Дж. Рэлея.

        После создания точной математической теории струны, после того как физики и математики поняли, что любой музыкальный инструмент — «всего- навсего» «физико-акустический прибор - комбинация вибраторов и резонаторов», - после этого судьба музыки уже неотделима от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония.

        Но дело не исчерпывается анализом. Началось вмешательство математики в самый процесс музыкального творчества.

Уже проводятся успешные опыты по алгоритмизации и моделированию на компьютерах функции композитора и музыковеда. В свое время английский математик Д. Сильвестр называл музыку математикой чувств, а математику - музыкой разума. Он же выражал надежду, что каждая из них должна получить завершение со стороны другой, и предвидел в будущем появление личности, в которой соединятся гении Бетховена и Гаусса.

        Основанием для подобной надежды могла быть только математическая точность музыки, которая всегда была ее неотъемлемым свойством. Очень

важно, что и современные течения не поколебали этой фундаментальной ее черты.

2.ЖИВОПИСЬ

Наряду с математической теорией музыки существует математическая теория живописи. Это теория перспективы, представляющая, по словам Леонардо да Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силою линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико».

        До нас дошло сочинение по перспективе Элиодора Ларисского, жившего приблизительно за 400 лет до н.э. Эту работу можно считать одним из самых ранних сочинений подобного рода. В ней говорится о наблюдательной перспективе, причем автор допускает распространенную идолго существовавшую ошибку, будто предметы видны потому, что к ним из глаз идут лучи зрения.

        Далее Эвклид в «Оптике» приводит 12 аксиом и 61 теорему,

определяющие законы, по которым человек видит форму и размеры предметов.

        Птолемей (II в.) написал сочинение о перспективе, посвященное

нам видимости предметов по форме и цвету. Груды Евклида и Птолемея дали большой материал по наблюдательной перспективе.

        Развернувшееся в эпоху Возрождения строительство инженерных сооружений возродило и расширило применявшиеся в античном мире приемы проекционных изображений. Архитекторы, скульпторы и живописцы встали перед необходимостью создания учения о живописной перспективе на геометрической основе. Такая теория геометрической перспективы возникает в первой половине XV в. К этому времени наблюдательная перспектива уже достигла своего высшего развития, о чем говорят знаменитые работы художников и скульпторов той эпохи.

        Итальянский скульптор и ювелир Лоренцо Гиберти (ок. 1381-1455) перенес принципы живописной перспективы на пластическое изображение. Большая заслуга в указании методов перспективных изображений с точными и ясными геометрическими определениями принадлежит Пьеро Делла Франческа (1420-1492). Его считают отцом современной линейной перспективы. В своем сочинении «О живописной перспективе» (1458) он впервые указывает на геометрическую основу перспективного изображения

фигуры, «образованного пересечением конуса видимости предмета с картинной плоскостью».

        Некоторые дополнения к теоретическим разработкам основ перспективы дал итальянский архитектор Леон Баттиста Альберти, рассматривающий перспективу как математическую основу живописи. Альберти в своих трактатах о живописи и о зодчестве говорит о новом приеме рисования с натуры при помощи метки и пользуется так же точками с хода, даваемыми диагоналями квадрата. Однако объяснение этого прием он не приводит. У Альберти впервые упоминаются вопросы построения теней

        Многочисленные примеры построения перспективных изображений

имеются в работах гениального итальянского художника и выдающегося ученого Леонардо да Винчи. Он впервые говорит о сокращении масштаба.

разных отрезков, удаляющихся в глубь картины, даёт правило построения изображений на цилиндрических сводах и кладёт начало панорамной перспективе, объясняет причины стереоскопического видения, указывает правило распределения теней, характер отражения и изменения окраски предметов. Ему принадлежат слова: «Перспектива есть руль живописи». Знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер в книге «Наставление»даёт подробную разработку основ рисования, указывает на графические способы построения большого числа плоских и некоторых пространственных кривых линий, предлагает метод построения перспективных изображений и тени предмета при помощи ортогональных проекций.

        Художники эпохи Возрождения внесли ясность в понимание основ перспективы и подготовили почву для её математического толкования.

        В 1600 году вышло классическое сочинение по теории перспективы «Шесть книг о перспективе» итальянского учёного Гвидо Убальди. В нём содержатся решения почти всех основных задач перспективы. Этот труд явился синтезом теоретических работ по перспективе того времени.

        Интересные обобщения и оригинальные особенности построения перспективы дал французский математик и инженер Дезарг  (1593-1662). Он, в частности, впервые применил метод координат для построения перспективы, положил начало аксонометрии.

        Весьма ценные работы по теории перспективы были представлены в 1711 году голландским математиком Гравезандом. Он приводит полную теорию линейной перспективы.

        В развитии вольной перспективы (современной аксонометрии) значительные заслуги принадлежат английскому математику Бруку Тейлору и немецкому математику Ламберту. Они применили метод перспективы  к графическому решению важных геометрических задач.

        Такова вкратце история возникновения и развития основных идей математической теории живописи – теории перспективы. Как видим, сильное развитие эта теория получила в трудах итальянских художников в XV веке, когда нужды строительной практики вызвали всеобщее увлечение геометрическими методами.

        Знакомство с математикой древних и вызванная этим глубокая Вера во всемогущество геометрических методов, вселили в художников Возрождения уверенность  в существовании некоего математической формулы красоты, а также надежду на возможность построения циркулем и линейкой изображения совершенного человеческого тела. Попытки таких построений продолжились долго. Интерес к ним остыл лишь после того как Леонардо да Винчи высказался об относительности понятие совершенного тела. Известно, что адуляр только в 1528 году приходит к выводу, что «человеческое тело не может быть выточен с помощью линейки и циркуля, но должно быть нарисовано от точки к точке».

3.АРХИТЕКТУРА

Очень давно, еще до начала нашей эры, люди строили прекрасные здания с весьма целесообразными пропорциями.

Велика роль пропорции в архитектуре. Вслед за Пачоли теоретики искусства Возрождения возводят пропорции в основной принцип эстетики. «Божественные пропорции» придают сооружению гармонию, благодаря которой, по словам Альберти, «тихим и вольным течением взор точно скользя по карнизам, по простенкам и по всей наружной и внутренней стороне здания, будет умножать наслаждение новым наслаждением от сходства и несходства». Пропорция в архитектуре — это как бы и внутренняя красота. Она невидима непосредственно, но всегда ощутима, подобно красоте духовной.

Не менее важна роль геометрии в архитектуре. Только неотступно следовать законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии,  а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается «грамматикой архитектора». Только сегодня, с появлением новых строительных материалов (бетон, металл, стекло, пластик) и новые технологии строительства, архитектор может опираться на более широкий круг геометрических законов. Это расширяет творческие возможности архитектора и порождают новые конструкции, новые архитектурные формы, новую эстетику.

Пирамида - это как бы норма тектоники, внутреннего устройства каменных зданий прошлого. Силуэты каменных церквей и соборов, почти, как правило, вписываются в форму пирамиды, которая выступает как эстетическое явление: пирамида, обращенная вершиной вверх…

Но вот появились новые, современные материалы. И конструкции, и тектоника становится иными. Перевернутая пирамида - музей современного искусства в Каракасе (Венесуэла), построенный по проекту лауреата Международной Ленинградской премии «За укрепление мира между народами» бразильского архитектора Оскара Нимейера. Здание в виде огромной опрокинутой пирамиды из стекла и бетона! Так возникают новая тектоника, новая эстетика.

Ясно, что совершенствование конструкций сопровождается не только усложнением их геометрического построения, но и общим расширением применяемого в архитектуре математического аппарата, включением в него современных математических методов.

Представление некоторых математических проблем одного нового процесса в архитектуре - использование форм живой природы - дает, в частности, книга Ю.С. Лебедева «Архитектура и Бионика»

Глава IV. ЭТЕТИКА ПРИРОДЫ И МАТЕМАТИКА

Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создаётся, как в технике или в искусстве, а лишь фокусируется, выражается. Возможность такого выражения обусловлена тем, что составляющие основу красоты природы явления симметрии и периодичности хорошо изучены и описаны математически.

1.СИММЕТРИЯ

Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии такие совершенные образцы, чей вид неизмеримо привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и  микробы,  многие животные и растения.  Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну  их красоты. Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян на шляпке подсолнечника, и винтообразное расположение листьев на стебле растения.

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды - от простейших до самых сложных.

Симметрия в строении животных - почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила, выражающиеся в асимметричном положении той или  другой части или  того или другого органа.

Наиболее резким примером асимметричной конфигурации могут служить камбалы и особенно смещение их глаз.

Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместить с самим собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Минимальный угол, на которые нужно  повернуть  виток  вокруг  оси симметрии,  чтобы  он  совместил все самим собой, называют алиментарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120, для колокольчика 72, для нарцисса 60.

Поворотную ось можно охарактеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого, и шестого порядка соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т.е.  совмещающие со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополнительного сдвигом вдоль той же оси. Если  на        -                            рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

Винтовая симметрия наблюдается в расположение листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскрываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса.

Другим проявлением филлотаксиса является устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные  ячейки, которые образуют ряды идущие в различных направлениях.

Еще более ярко  симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, именно в кристаллах.

«Кристаллы блещут симметрией», писал Фёдоров в своём «Курсе кристаллографии». При слове «кристалл» в воображении рисуется первый среди драгоценных камней – алмаз: «кристальная» чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света, идеальная, правильная форма. Но теперь алмазы уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня они служат для обработки наиболее твердых металлов и сплавов. Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность.

Оказывается, кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и поваренная соль, лёд и песок состоят из множества кристалликов. Более того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная гнида представляют собой нагромождение мельчайших кристалликов.

Словом, большинство строительных материалов - металлы, камень, песок, глина - кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живем в домах, построенных из кристаллов. Неудивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения.

Кристаллы- это твердые тела, имеющие естественную форму многогранника.

Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образцов в кристалле кристаллов одного и того же вещества. Что же касается формы граней числа граней, ребер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.

Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма его кристалла. Это форма обладает свойством симметрии, т.е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворота, отражения, параллельных переносов. Среди элементов симметрии различаются: оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии, зеркальные оси.

Кристалл каждого вещества характеризуется определенным комплексом элементов симметрии - видом (классом) симметрии.

Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так называемой пространственной решетки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие материальные частицы - молекулы, атомы, ионы или их группы. Опираясь на эти представления, Гадолин в 1867 году доказал, что всего существует 32 вида симметрии идеальных форм кристалла. Любое кристаллическое вещество, каждый кристалл должны принадлежать к одному из этих видов симметрии. Это утверждение представляет собой закон симметрии, один из основных законов кристаллографии. Следующий фундаментальной результат был получен 1890 году русским кристаллографом Федоровым и одновременно немецким математиком с Шенфлисом, доказавших чисто геометрически, что существует 230 типов пространственных решеток. В 1912 году исследованиями кристаллов при помощи рентгеновских лучей была  установлена  реальность  кристаллической решетки.

Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определенным плоскостям. Это явление, называемое спайностью, свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропны, т.е. не одинаковые по размерам и направлениям. Но кристаллы анизотропны и в отношении многих других физических свойств. Свет, например, в определенных кристаллах распространяется по различным направлениям с различной скоростью. При нагревании кристалл расширяется по различным направлениям различно.Это же можно сказать о теплопроводности, электропроводности и т.д.

Анизотропность физических свойств также, как сама правильность формы кристаллов, тесно связана с их решетчатым строением, т.е. в конечном счете определяется симметрией их структуры.

Следует признать, что значение симметрии в кристаллах, где она играет роль своеобразного закона формообразования, шире, чем в живой природе, в которой она выступает как некая очевидная, но недостаточно последовательно выраженная тенденция.

По справедливому замечанию Вейля, у истоков симметрии лежит математика. Вместе с тем симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности.

Заметим здесь, что симметрия широко используется в искусстве, особенно в Европейском.

Но в некоторых восточных культурах, например в японской, также широко используется асимметрия. Такая подчеркнуто асимметричная структура свойственна, в частности, канонудзэнского сада камней. Аналогичный принцип относится у японцев их построению изображения на картине, которая должна быть сдвинута к краю и занимать сравнительно небольшую площадь, уравновешивать более значительным свободным полем, символизирующим беспредельность мира.

2.ПЕРИОДИЧНОСТЬ

Чувство ритма внушено человеку самой природой, ибо вся природа пронизана ритмами и колебаниями. Явления, им сопровождаемые, несут в себе и трагическое (сеющий разрушение и смерть землетрясения, цунами, смерчи), и величественное (первая весенняя гроза, волнение океана, вид звездного неба), и прекрасное (восход солнца, цветение подснежников, трели соловья). Одни из этих явлений способны приводить в ужас, другие представляют как воплощение в величии природы, третьи доставляют наслаждение.

Периодические колебания бесконечно разнообразны. Однако все периодические процессы математическиописываются периодическими функциями, простейшими из которых являются тригонометрические функции sint и cost  с периодом T=2

Глава V. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОТИВЫ В ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

Что любят, то находят повсюду, и было бы странным не встретиться с математикой в художественной литературе. Почему странно? Потому что, как верно заметил А. Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи-
это «математика слова». Ничем иным является, в сущности, и настоящая
проза. Так что, видимо, всякий действительный художник — немножко
математик.

Потому что в жизни нет ничего такого, чего бы не было в романах,
рассказах и стихах, а математика — слишком заметная часть жизни, чтобы не
стать темой литературы. И не только сама она, ее значение, отношение к ней,
но и многое-многое другое связанное с ней, в частности, несовершенство ее
школьного преподавания и его прискорбные плоды. И все это так
органически, так уместно и необходимо вплетается в основную ткань
повествования, что кажется, без этих математических фрагментов не
получилось бы ни «Скифов» Блока, ни «Автобиографии» Нушича, ни
«Персидских писем» Монтескье, ни сотен других прекрасных вещей.

Студент и школьник, которому приходится видеть математику только в учебнике или задачнике, неожиданно встречая математическое место у Пушкина или Толстого, воспримет его с особым интересом уже потому, что
здесь не требуется ни заучивать, ни решать, а всего лишь понять и
почувствовать красоту мысли и слова великого художника. И скорее всего,
читатель, покоренный этой красотой, взглянет на математику глазами автора
и проникнет его отношением к ней.

«Вдохновение есть расположение души к живейшему принятию
впечатлений и соображению понятий, следственно, и объяснению оных.
Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии».

Пушкин А.С. Отрывки из

писем, мысли и замечания.

...Труден первый шаг

И скучен первый путь. Преодолел

Я ранние невзгоды, Ремесло

Поставил я подножием искусству.

Я сделался ремесленник: перстам

Придал послушную, сухую беглость

И верность уху. Звуки умертвив,

Музыку я разъял, как труп, Поверил

Я алгеброй гармонию. Тогда

Уже дерзнул, в науке искушенный,

Предаться неге творческой мечты,

Я стал творить...

Пушкин А.С. Моцарт и

Сальери.

«Я слышал. милостивый государь, что вы напечатали вашу книгу о дифференциальном и интегральном исчислении; говорят, что если вникнуть в ваши формулы, то в них найдется объяснение почти всех физических, химических, энтографических явлений! Как я рад, что вы наконец напечатали вашу книгу!» — Что пользы! Ее едва ли прочтут десять человек, а поймут едва ли в целом мире.

Одоевский В.Ф. Русские ночи.

«Ведь человеческое знание состоит не из одной математики и технологии, ведь оно прилагается не к одним железным дорогам и машинам... Напротив, это только одна сторона знания, это еще только низшее знание, высшее объемлет собой мир нравственный, заключает в области своего ведения все, чем высоко и свято бытие человеческое...»

Белинский В.Г. Сочинение Евгения

Баратынского.

Иван - Алеше:

«...НО вот что, однако, надо отметить: если бог есть и если он действительно создал землю, то как нам совершенно известно, создал он ее по евклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже их замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная или, еще обширнее — все бытие было создано лишь поевклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые, по Евклиду, ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могут понять, то где ж мне про бога понять. Я смиренно сознаюсь, что у меня нет никаких способностей разрешать такие вопросы, у меня ум евклидовский, земной, а потому где нам решать о том, что не от мира сего.»

Достоевским Ф.М. Братья

Карамазовы. — в кн.: Достоевский

Ф.М, полн. Собр. Сочинений,1976

«1. Национальной науки нет, как нет национальной таблицы умножения; что же национально, то уже не наука».

Чехов А.П. Записные книжки.

...Да, так любить, как любит наша кровь,

Никто из вас давно не любит!

Забыли вы, что в мире есть любовь,

Которая и жжет, и губит!

Мы любим все — и жар холодных чисел,

И дар божественных видений,

Нам внятно все — и острый галльский смысл,

И сумрачный германский гений...

Блок А. Скифы

«... На серьезные опечатки я могу жаловаться тоже лишь в последнее время, когда невежество корректоров приняло баснословные размеры. Корректоры и издатели, имеющие уважение к слову, должны знать, что существует математика слова (как математика всех других искусств), особенно — в стихах. Поэтому менять их по собственному вдохновению, каковы бы они, с их точки зрения, ни были — по меньшей мере некультурно».

Блок А. первой редакции

автобиографии. — в кн.: Блок А.

Мечтатели, сибиллы и пророки,

Дорогами, запретными для мысли  

Проникли — вне сознания — далеко,

Туда, где светят царственные числа

Предчувствие разоблачает тайны,

Проводником нелицемерным светит:

Едва откроется намек случайный,

Объемлет нас непересказанный трепет...

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли

К раздумиям с вершины вдохновенья!

Брюсов В. Числа

«...Далее, вьше всего чтилась у греков геометрия и вот блеск их математиков, что ничем его не затмить; у нас же развитие этой науки было ограничено надобностями денежных расчетов и земельных межеваний».

Цицерон. Тулуланские беседы.

Книга 1. О презрении к смерти.

«...И физика, и математика, и все прочие науки и искусства...по своему содержанию составляет достояние специалистов; но если кто хочет

представить их в художественном изложении, тому приходится прибегнуть к искусству ораторов.

Цицерон. Об ораторе, кн. 1, 14, 16—

в кн.: Марк Туллий. Цицерон. Три

Трактата об ораторском искусстве.

«Иные геометрию почитают для детей полезно тем, что приводит в деятельность ум, изощряет его и, следовательно, делает способнейшим понимать вещи: но при сем полагают, что она полезна не так, как прочие науки, по их изучению, а когда только учатся ей. Такое мнение прилично одному простонародью: ибо самые великие мужи, конечно, не без причины, с неослабным прилежанием занимались сею наукою. Геометрия объемлет два предмета: числа и фигуры: знание первых потребно не только оратору, но всякому даже и на начинающему учиться. В судебных же речах тотчас почтется оратор за невежу, если, не говорю уже, в больших вычислениях затрудняется, но считая по пальцам, каким ни есть нетвердым и непристойным движением оных от надлежащего вывода цифр отступит. А что касается до линейных измерений, то и они часто входят в судопроизводство: ибо много споров бывает и о межах и о мерах. Но наука сия имеет еще и другую гораздо важнейшую связь с ораторским искусством.

И во-первых, нужен порядок в геометрии; не нужен ли он и в красноречии? Геометрия предыдущим доказывает последующее, и известным неизвестное; не то же ли и оратор делает? Он, в решении задач, не основывается ли почти на одних. силлогизмах? Посему многие находят, что она имеет больше сходства с диалектикой, нежели с риторикой. Но и оратор, хотя не часто, однако прибегает иногда к диалектике в своих доказательствах. Ибо в случае нужды употребляет он и силлогизмы, или, по крайней мере, энтимему, которая есть силлогизм собственно риторический. Наконец, самые сильные доводы называются обычно геометрическим доказательством. Что же более потребно и в речи, как не доказательства?»

Марк Фабий Квинтилиан.

Когда ты предо мной и слышу речь твою,

Благоговейно взор в обитель чистых звезд

Я возношу, - так все в тебе, Ипатия,

Небесно — и дела, и красота речей,

И чистый, как звезда, науки мудрой свет.

Паллад., Ипатия.

«После этого принесли карты - не для игры, но для того, чтобы научиться тысячам забавных штук и выдумок, сплошь основанных на арифметике. Благодаря этому он чрезвычайно полюбил эту числовую науку и всякий день после обеда и ужина развлекался ею с таким же удовольствием, как прежде картами и костями. Впоследствии он так хорошо познал теорию и практику этой науки, что сам Тэнсталь- англичанин, автор просторного о ней сочинения- признавался, что по сравнению с Гаргантюра он в ней понимал столько же, сколько в верхненемецком языке.

И не только в арифметике, он преуспевал и в других математических науках, каковы геометрия, астрономия и музыка; ибо в те часы, когда их желудки переваривали пищу, они чертили много забавных геометрических фигур и построений, а заодно практиковались в астрономических законах. Потом они услаждали себя пением на четыре и пять голосов или на какую-нибудь тему, приятную для горла...»

Рабле ф. Гарганноа

и Пантатрюэль

«Мои математические познания оказали мне большую услугу при изучении их (лапутянского:- И. 3.) разговорного языка. В этом языке много выражений заимствовано из математики и музыки. Головы у этих людей набиты геометрическими чертежами и фигурами. Желая, например, похвалить красоту женщины или какого-нибудь животного, они непременно воспользуются геометрическими терминами: ромб, окружность, параллелограмм, эллипс — или же заимствую сравнения из музыки. В королевской кухне я видел всевозможные математические и музыкальные инструменты, по образцу которых порежут жаркое для стола его величества.

Дома лапутян построены очень плохо. Стены почти всегда перекошены, ни в одной комнате нельзя найти прямого угла. Дело в том, что они глубоко презирают прикладную геометрию. По их мнению, это чрезвычайно вульгарная наука, которой могут заниматься только ремесленники. Они увлекаются лишь высшими отвлеченными вопросами, и все указания, которые они дают рабочим, так сложны и непрактичны, что на этой почве сплошь и рядом возникают самые забавные ошибки. Они довольно искусно владеют на бумаге линейкой, карандашом и циркулем. Но мне никогда не приходилось видеть людей, которые в обыкновенной жизни были бы так неловки, неуклюжи и косолапы, так туги на понимание всего, что не касается математики и музыки. Они очень плохие мыслители; опровергнуть их рассуждения не стоит никакого труда, - разумеется, кроме тех случаев, когда истина на их стороне, но это бывает очень редко. Эти люди совершенно лишены воображения, фантазии и изобретательности. В их языке нет даже слов для выражения этих понятий. Кроме математики и музыки, они ничего не знают, да и не желают знать».

Свифт Джонатан.

Путешествия в некоторые

отдаленные страны света

Лемюэля Гулливера,- сначала хирурга, а потом

капитана нескольких

кораблей.

Жизнь богов есть математика

Чистая математика- это религия.

Новалис. Фрагменты.

«Математика, как и диалектика, является органом внутреннего высшего чувства в практическом применении это искусство подобно красноречию. Для обеих имеет ценность только форма, содержание для них безразлично. Считает ли математик гроши или червонцы, отстаивает ли риторик истинное или ложное, это для обоих совершенно одно и то же».

Гете И.В., Избранные

философские

произведения.

«Как у французского языка никогда не станут оспаривать того преимущества, что в качестве разработанного придворного и светского языка он все больше разрабатывается и развивается, так никому не придет в голову низко оценивать заслугу математиков, которую они приобретают перед миром, выражая на своем языке важнейшие отношения: все, что в высшем смысле подвластно числу и мере, они умеют упорядочить, определить и вычислить».

Гете И.В. Избранные

философские

произведения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров АД. Математика — философская энциклопедия. М.,

1964. — С. 329.

2. Белинский ВГ. Сочинение Евгения Баратынского, М.: Аст-Пресс,

1989. — С. 16.

3. Блок А. Скифы. М — Л.: Гослитиздат, 1983. — С. 434.

4. Бойцов,ВВ. Измерение качества проекции.

5. Гете И.В. Избранные философские произведения. М.: Наука,

1964. — С. 292.

б. Достоевский Ф.М, Братья Карамазовы. Л.: Наука, 1996. — С 214.

7. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. М.: Просвещение,

1981. — С.8.

8. Кац М., Улам С. Математика и логика М.: Мир, 1991. — С. 8.

9. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в

современной школед Математика в школе, - Уйб, 1971 — С. 2.

10.Свифт Джонатан. Путешествия Гулливера. М.: Детгиз, 1985. —С.

229-230

11. Скороход А.В. Математизация знаний и научно-технический прогресс. Киев: Наукова думка, 1985. — С. 10.

12.Чехов А.П. Записные книжки. Книжка первая. — Гослитиздат,

1956. — С. 443.

13.Шестаков В.П. История музыкальной эстетики от античности до

ХУШ века. М.: Музыка, 1995. — С. 6.

14.Шиллер Ф. Идеи эстетического воспитания. М.: Искусство, 1993.

— С. 281.