Исследовательский проект "Параллелограмм и его свойства»
Актуальность данной исследовательской работы в том, что в ней доказываются три новых (не изучаемых в школьном курсе геометрии) признака и три свойства параллелограмма, которые помогут учащимся решать задачи по геометрии. В работе рассмотрено новое понятие «параллелограмм Вариньона» и некоторые его свойства, которые можно использовать при решении задач по геометрии.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 parallelogramm_i_ego_svoystva.pptx | 1.86 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Недостаточное количество теоретического материала (свойств, признаков параллелограмма), необходимого для решения задач по геометрии по теме «Параллелограмм» Проблемный вопрос
Изучение новых признаков и свойств параллелограмма Узнать историю возникновения понятия «параллелограмм». Доказать новые признаки и свойства параллелограмма. Познакомиться с понятием «Параллелограмм Вариньона», изучить свойства и виды параллелограмма Вариньона. Показать применение свойств и признаков параллелограмма при решении задач. Цель исследования: Задачи исследования:
Название этапа Сроки Подготовительный Составление плана работы Подбор литературы Ноябрь - декабрь 2015 г. Основной Изучение и анализ литературы Доказательство новых признаков и свойств Подготовка буклета Разработка теста Подбор задач на моделирование Январь - декабрь 2016г. Заключительный этап Оформление работы Подготовка презентации Январь 2017г. Выводы и анализ проекта Февраль 2017 г. Этапы реализации проекта
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам III век до н.э. Историческая справка Полная теория была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма A B C D Дано: ABCD - четырёхугольник, AB=CD , AB ǁ CD. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: 1) Признаки параллелограмма A B C D Дано: ABCD - четырёхугольник, AB=CD , A С =В D. Доказать: ABCD - параллелограмм. М N K E Дано: MNKE - четырёхугольник, Признаки прямоугольника Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник А B C D O Если о дин из углов параллелограмма равен 90 º , то этот параллелограмм - прямоугольник A B C D Признаки ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом Если у четырёхугольника все стороны равны, то этот четырёхугольник - ромб M N P K O A B C D Свойства параллелограмма Свойства параллелограмма A B C D N Дано: ABCD – параллелограмм, AN - биссектриса < A . Доказать: AB = BN Доказательство: < BAN=< DAN по условию; < NAD = Свойства параллелограмма A B C D N Дано: ABCD – параллелограмм, AN - биссектриса < A , CP- биссектриса <С Доказать: AN ǁ CP Р Дано: ABCD – параллелограмм, AN - биссектриса угла A , DK - биссектриса угла D Доказать: AN DK A B C N D K jhg Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей Свойства параллелограмма A B C D Дано: ABCD – параллелограмм Доказать: AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =AC 2 + BD 2 Доказательство: 1 ) По теореме косинусов имеем: AC 2 = AB 2 +BC 2 -2 *AB*BC* COS Параллелограмм Вариньона Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма). Параллелограмм Вариньона Пьер Вариньон французский механик и математик. Его труды посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. В 1687 г. в работе « Проект новой механики…» Вариньон дал чёткую формулировку закона параллелограмма и вывел теорему Вариньона. A B M L D K C N Свойства параллелограмма Вариньона Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей. 2)Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. а) диагонали равны b) бимедианы перпендикулярны Виды параллелограмма Вариньона Параллелограмм Вариньона - ромб: если диагонали данного четырёхугольника равны или бимедианы перпендикулярны а) диагонали перпендикулярны b) бимедианы равны Виды параллелограмма Вариньона Параллелограмм Вариньона - прямоугольник, если диагонали данного четырёхугольника перпендикулярны или его бимедианы равны. а) диагонали равны и перпендикулярны b) бимедианы равны и перпендикуляры Параллелограмм Вариньона – квадрат, если диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны или бимедиамы равны и перпендикулярны Виды параллелограмма Вариньона Виды параллелограмма Вариньона 1 ) Параллелограмм Вариньона является ромбом, если исходный четырёхугольник – прямоугольник. 2) Параллелограмм Вариньона является ромбом, если исходный четырёхугольник – равнобедренная трапеция. 3) Параллелограмм Вариньона является прямоугольником, если исходный четырёхугольник – ромб. . A B C D O Определить истинность высказывания Является ли ромб квадратом, если его диагонали равны ? D о А В С D АС В D Определить истинность высказывания Является ли четырёхугольник ромбом, если его диагонали пересекаются под прямым углом? А В С D АС В D , AC=BD Определить истинность высказывания Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали равны и пересекаются под прямым углом? B C M K Задачи на конструирование Из пяти одинаковых палочек, не накладывая одну на другую, составьте два треугольника и четырёхугольник. Определите: а) вид полученных фигур; б) углы полученных фигур B C D N M K Задачи на конструирование Из девяти одинаковых палочек составьте четыре треугольника, три ромба, две трапеции и параллелограмм Итоги анкетирования Вас заинтересовали дополнительные теоретические сведения? Вы использовали новые признаки параллелограмма при решении задач? Вы использовали новые свойства параллелограмма при решении задач? Интересные факты Форму параллелограмма имеют рамы велосипедов, мопедов и мотоциклов, в которых для жёсткости проведена диагональ Ромб, в котором проведены диагонали, считается одной из самых крепких и выносливых конструкций. Такую конструкцию широко применяют при постройки мостов, зданий Выводы: 1)Понятие «параллелограмм» и его некоторые свойства известны уже были в III в. до н.э. 2) Другие признаки и свойства параллелограмма существуют, в ходе реализации проекта установлены новые признаки и свойства параллелограмма, которые помогают решать задачи. 3)Виды параллелограмма Вариньона зависят от вида четырёхугольника, в котором строится параллелограмм. 4)Параллелограмм Вариньона и его свойства помогает решать задачи. « Геометрия 7-9» Учебник для общеобразовательных учреждений, Л.С.Анатасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -20 изд.- М.:Просвещение , 2014 г. http://gigabaza.ru/doc/18579.html https://ru.m.wikipedia.org/wiki Сборник тестовых заданий по геометрии 9 класс, «Интеллект-Центр» Москва 2001г. Задачи по геометрии 7-11кл., авторы: Б. Г. Зив, В. М. Мейлер , А. Г. Баханский . Научный журнал «Математика в школе». Материалы из сети Интернет «Система задач по геометрии Р. К. Гордина ». Ресурсы: Спасибо за внимание!
Фильм "Золушка"
Сказка об осеннем ветре
Сочини стихи, Машина
Философские стихи Кристины Россетти
Девчата