Исследовательская работа «Удивительный мир чисел»
Исследовательская работа «Удивительный мир чисел» интересна ученикам 5-6 классов. При выполнении проекта учащиеся знакомятся с видами удивительных чисел среди натуральных чисел, устанавливают свойства и закономерности удивительных чисел. Пытаются выяснить, прав ли великий математик Пифагор, живший в пятом веке до н.э., который говорил: «Числа правят миром».
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 zashchitnoe_slovo.doc | 51 КБ |
 udivitelnyy_mir_chisel.ppt | 2.28 МБ |
Предварительный просмотр:
В этом учебном году мы познакомились с отрицательными числами, с причиной их появления, с историей появления рациональных чисел. Нам стало интересно, каков он мир чисел.
(Слайд1)Так мы стали работать над проектом «Удивительный мир чисел».
Цель нашего проекта: (Слайд2) изучение интересных свойств натуральных чисел.
Задачи нашего проекта:
1. Выделить виды удивительных чисел среди натуральных чисел.
- Установить свойства и закономерности удивительных чисел.
(Слайд 3) Великий математик Пифагор, живший в пятом веке до н.в. говорил «Числа правят миром». По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу.
А вот первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала" в третьем веке до н.э.: "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц".
(Слайд 4) Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).
(Слайд 5) Среди натуральных чисел нас заинтересовали фигурные числа, оказывается они бывают: линейные, плоские, телесные.
(Слайд 6) Линейные числа — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
(Слайд 7) Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
(Слайд 8) Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …
Помимо фигурных чисел в математике среди натуральных чисел есть многоугольные числа, которые делятся на треугольные, квадратные, пятиугольные, пирамидальные, кубические числа.
(Слайд 9) Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д.
(1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10,1+2+3+4+5=15 и т. д.)
(Слайд 10) Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).
(Слайд 11) Пятиугольные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145
(Слайд 12) Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...
(Слайд 13) Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.
(Слайд 14) В строительстве сооружений древности – пирамид, дворцов и храмов –применялись плиты и кирпичи, имеющие грани в виде треугольника, четырехугольника, квадрата и некоторых других фигур. С этими же фигурами человек встречался при межевании и измерении земельных участков. Знгакомясь с различными геометрическими фигурами, люди начали подмечать их общие свойства.
(Слайд 15) А ещё среди натуральных чисел есть совершенные числа. Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей, исключая само число. Натуральные числа есть чётные и нечётные. Интересно, а совершенные числа какие они: чётные или нечётные?
(Слайд 16) Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна). Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7) приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее р = 13, обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS.
(Слайд 17) Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.
(Слайд 18)Приведём примеры совершенных чисел.
- 1-е совершенное число — 6, оно имеет следующие собственные делители: 1, 2,3; их сумма равна 6.
- 2-е совершенное число — 28, оно имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
- 3-е совершенное число — 496, оно имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
- 4-е совершенное число — 8128,оно имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.
(Слайд 19) Интересны дружественные числа. Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу.
(Слайд 20) Пара дружественных чисел – 220 и 284, так как сумма делителей 220 равна
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, а как сумма делителей 284 равна 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
(Слайд 21) Интересно следующее:
- Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах— утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
- «Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут, означающего „Царство“.
- В сочинении «Град Божий» Св. Августин писал:
"Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней".
(Слайд 23) Изучив интересные свойства чисел, мы сделали выводы:
- Среди натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, есть много интересных чисел, имеющих своё название.
- Из огромного многообразия натуральных чисел мы выделили дружественные и совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.
(Слайд 24)Если вас заинтересовало наше сообщение, то вы можете более подробно познакомиться с этими интересными фактами, в этом вам поможет список литературы.
Спасибо за внимание.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Творческое название проекта «Этот мир придуман не нами…» Проблемный вопрос: «Числа правят миром?»
Цель проекта: изучение интересных свойств натуральных чисел. Задачи: Выделить виды удивительных чисел среди натуральных чисел. Установить свойства и закономерности удивительных чисел.
Из истории числа Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. Первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц".
Числа правят миром Первого греческого ученого, который начал рассуждать о математике, а не только пользоваться , звали Фалес О числах первым начал рассуждать грек Пифагор. Сначала он занялся музыкой, ему удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще всё на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром!» – провозгласил он.
Социологический опрос
Социологический опрос Вы хотели бы больше знать о числах ?
Фигурные числа Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно, с понятием фигурного числа связано выражение «возвести число в квадрат или в куб».
Фигурные числа Линейные числа — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , … Плоские числа — числа, представленные в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
Телесные числа — числа, представленные произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, … Фигурные числа
Многоугольные числа Треугольные числа : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)
Многоугольные числа Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).
Пятиугольные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, … Многоугольные числа
Многоугольные числа Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.
Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125 и так далее . Многоугольные числа
Многоугольные числа в жизни Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д.
Совершенные числа Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей, исключая само число. Первое совершенное число — 6 (1 + 2 + 3 = 6), следующее — 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056
Чётные совершенные числа Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым. Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа. На февраль 2013 года известно 48 чётных совершенных чисел.
Нечётные совершенные числа Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.
Примеры совершенных чисел 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2,3; их сумма равна 6. 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28. 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496. 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.
Дружественные числа Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу.
Интересные факты Особенный «совершенный» характер чисел 6 и 28 был признан в культурах— утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней. «Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут, означающего „Царство“.
Выводы: Среди натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, есть много интересных чисел, имеющих своё название. Из огромного многообразия натуральных чисел мы выделили дружественные и совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств. Числа описывают закономерности окружающего нас мира.
Ресурсы: 1. Школьная энциклопедия «Математика», том 11, 2003 г. 2. Диск «Портфолио 3» Занятные стайки простых чисел. 3.А.П. Юшкевич, История математики. Т1. 1996 г. 4. И.Я.Депман История арифметики 1965г. 5.Г.И. Глейзер история математики в школе. 1964 г. 6. Я.И. Перельман , Занимательная арифметика 1994 г. 7. www.wikipendia.ru
Туманность "Пузырь" в созвездии Кассиопея
Дельфин: сказка о мечтателе. Серджио Бамбарен
Агния Барто. Сережа учит уроки
Загадочная система из шести экзопланет
3 загадки Солнечной системы