Исследовательская работа «Правильные многогранники»

Проект «Правильные многогранники»

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. Слайд 1

Изучением правильных многогранников занимались  Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Слайд 2. В данном проекте проведём исследование  видов этих замечательных геометрических тел. Актуальность данного исследования состоит в том, что правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен. Чем же обусловлен столь бессмертный интерес? Слайд 3

Считается, что в основе строения Платоновых тел заложены пропорции всего, из чего состоит мир. Поэтому эти уникальные фигуры и получили название «ключей мироздания» 

Основополагающий вопрос нашего проекта: в чём состоит уникальность правильных многогранников как пространственных тел? Слайд 4 Мы выдвинули гипотезу: возможно правильные многогранники не только занимательные геометрические фигуры, но и часть жизни человека. 

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных  в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы  правильных многогранников. Слайд 5  В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять. Уточним, какие же многранники называются правильными? Слайд 6

 Многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.  Слайд 7  О существовании всего лишь пяти видов правильных многогранников знали ещё в Древней Греции. Платон считал, что четыре из них олицетворяют четыре «стихии»:  тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, а пятый многогранник додекаэдр – символизировал собою мироздание – образ всей Вселенной, он считался важнейшим и его стали называть «пятая сущность». 

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Слайд 8 Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6
ребер. Аналоги тетраэдра - пирамиды. Слайд 9 Аббат Море, директор Буржской обсерватории во Франции, Слайд 10 утверждал, что, если сложить четыре основания пирамиды Хуфу,  то мы получим периметр, который нужно разделить на 2 высоты пирамиды. Тем самым (по утверждению Море) мы получим число π. Вот одно из доказательств этой теории. Слайд 11 Обмеры пирамид показывают, что все величины пирамиды соответствуют «золотому сечению». Слайд 12 Интересен тот факт, что геометрические параметры пирамиды с углом 52 градуса отвечают условиям "золотого сечения".  В природе мы тоже  встречаемся с тетраэдром  Слайд 13 Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию, это свойство используют в технике.  Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.

Гексаэдр (куб) (от греческого hex — шесть и hedra — грань) - правильный многогранник, составленный  из 6 квадратов Слайд 14  Мы на практике называем его кубом, он имеет 6 граней,8 вершин и 12 ребер. Куб знаком каждому ребёнку Слайд 15

Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) - правильный выпуклый многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников.  Слайд 16, он имеет 8 граней,  вершин и 12 ребер.

Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.

Слайд 17  Удивительные свойства медицинских препаратов, основанных на фуллеренах, определяются свойствами «золотого сечения». Ведь Архимедов усеченный икосаэдр является геометрической структурой, буквально «нашпигованной» золотыми пропорциями! Слайд 18

Икосаэдр Слайд 19  (от греческого ico – двадцать и hedra – грань). Правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников Слайд 20  Исключительностью икосаэдра среди Платоновых тел воспользовались вирусы. По-видимому, тут все дело в экономии — экономии генетической информации, формы вирусов многообразны.

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр Слайд 21   занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией.

Слайд 22  Для всех видов правильных многогранников выполняется теорема Эйлера. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.  Слайд 23   Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли ( NaCl ) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра, кристаллы бора имеют форму икосаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана ( FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

Интересно ещё одно свойство правильных многогранников. Слайд 24   Если центры граней правильного многогранника принять за вершины нового многогранника, то получится правильный многогранник, дуальный (двойственный) исходному. Октаэдру двойственен куб. Несложно догадаться, что тетраэдр дуален сам себе. Так что, в одном из смыслов, получаем три типа правильных многогранников.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Слайд 25  Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Иоганн Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому  времени планетами Солнечной системы. Слайд 26  Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

                Существует и другое описание тайны Вселенной с использованием правильных многогранников. Слайд 27  Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

 Сократ  отталкивался от того, что «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи».     Слайд 28   Это нашло отражение в додекаэдро-икосаэдрической доктрине описания тайны нашей вселенной. Американский математик Д. Винтер утверждал, что додекаэдрическая структура, присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. Слайд 29   Структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра.  Существуют и другие теории философские теории на устройство Земли и мироздания. К сожалению, мы ограничены рамками времени.

Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры, и если
его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей. А узоры можно составлять из правильных многогранников. Слайд 30   Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Слайд 31   

Кеплер первым  начал изучать так называемые звездчатые многогранники, которые в отличие  от Платоновых и Архимедовых тел являются правильными выпуклыми многогранниками.

Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера — Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера — Пуансо. Слайд 32  Мир, в котором мы живём многогранен и разнообразен.   В нём существую и живые правильные многогранники, вот некоторые из них Слайд 33  Среди них скелет одноклеточного организма феодарии  по форме напоминает икосаэдр.   Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Найти картинки: живые многогранники, обязательно одноклеточного организма феодарии 

Вот такие исследования мы провели при изучении темы «Правильные многогранники» и при шли к выводу: Слайд 34

• Природа  использует правильные многогранники как символы  симметрии, красоты и гармонии окружающего нас мира.
• Возможно, что правильные многогранники будут играть все более важную роль в разных областях знаний, так как они внутренне связаны с природными явлениями.
• При изучении   теории правильных многогранников открывается не только удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами,    но и интересные историко – философские концепции, оригинальные научные гипотезы.
• Геометрия – необходимый элемент общего образования и культуры, представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой.

Слайды  35 и 36.

        Допечатать грани, рёбра …