Задачи на проценты с практическим содержанием

МБОУ «Стародрожжановская средняя общеобразовательная школа №1» Дрожжановского муниципального района РТ

Проектная работа по математике

Тема: «Задачи на проценты с практическим содержанием»

Автор:

Шарапова Лиана Рашитовна

ученица 6 «Б» класса

Руководитель:

Рахматуллова Лилия Асхатовна, учитель математики первой квалификационной категории

МБОУ «Стародрожжановская сош №1».

2017г.

Оглавление

Введение………………………………………………………3

Происхождение слова «проценты».

История……………………………………………………….4

Типы задач на проценты…………………………………….4

Заключение…………………………………………………..7

Список литературы………………………………………….8

Приложение………………………………………………….8

Введение

Наша жизнь очень велика и разнообразна. Существует много профессий на земле. Но есть одно понятие, которое объединяет все профессии. Это – проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Мы очень часто можем слышать о скидках, наценках, уценках, прибыли, кредитах, и т.д. – всё это проценты.

Современному человеку необходимо хорошо ориентироваться в большом потоке информации, принимать правильные решения в разных жизненных ситуациях. Для этого необходимо хорошо производить процентные расчёты.

Проценты очень актуальны. На ГИА введено большое количество практических задач. То есть практические задачи, на мой взгляд, самая актуальная тема для сегодняшних старшеклассников. Я хочу принять  активное участие в обсуждении и составлении практических задач для экзамена по математике. И поэтому решила составить задачи на проценты с практическим содержанием, а так же найти такие задачи в различных источниках, в том числе в задачниках прошлого века, незаслуженно забытых.

Цель моей работы -  составить сборник практических задач (с решениями и ответами).

Для осуществления этой цели я провел большую работу по составлению и подбору задач с практическим содержанием: составил 14 задач и подобрал из различных источников 29. Для удобства я их разбил по темам.

 Эти задачи ориентированы на сельское хозяйство. Я уверен, что они будут очень близки для учеников сельских школ, а для учащихся городских школ процесс решения этих заданий будет вдвойне познавательным, так как позволит много узнать о деревне, о фермерских хозяйствах, о земле, о животных. Эти задачи будут так же полезными и для школьников средних классов. Такие задачи повышают интерес к математике,  способствуют применению полученных знаний в реальной жизни, развивают познавательные способности, формируют опыт творческой и исследовательской деятельности.

 Я считаю, что моя работа так же поможет мне и учащимся старших классов готовиться к итоговой аттестации. Мне не приходилось встречать учебного пособия, в котором бы содержались только лишь практические задачи. В этом новизна моей работы.Жизнь заставляет усиленно готовиться учащихся к успешной сдаче ГИА. ГИА – немаловажное испытание для каждого школьника.  Поэтому очень важно уметь применять проценты, их свойства в решении задач, чтобы получить хорошие результаты.

Задачи: 1. Расширить понятие «проценты»;

            2. Сделать подборку задач из ГИА;

            3. Выявить разные способы решения задач;

            4. Сделать вывод.

Происхождение слова «проценты». История.

Слово «Процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «За сотню» или «со ста».

Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчеты и поэтому очень распространены.

Широко начали использовать проценты в Древнем Риме, но идея процентов возникла намного раньше – вавилонские ростовщики уже умели находить проценты.

Знак «%» произошел, как предполагают, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращенно- cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо «cto» набрал «%».

После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак «%» для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от латинского «с тысячи») и обозначают «‰».

Типы задач на проценты

Задача 1. Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяжелых металлов состоит из четырех этапов. На каждом этапе содержание уменьшается на определенное количество процентов к их количеству на предыдущем этапе:

на 1-ом – на 25%

на 2-ом – на 20%

на 3-ем – на 15%

на 4-ом – на 10%

На сколько процентов в результате уменьшается их количество?

 Решение:

Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:

На 1-ом этапе – 0,75x

На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x

На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x

На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.

Таким образом, всего ушло x - 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.

Ответ: 54,1%

Задача 2. Для определения оптимального режима повышения цен фирма решила с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца, во втором магазине?

Решение:   Пусть S0 – начальная цена, р – постоянное количество процентов.

Тогда через 6 месяцев (после шести повышений на 2%) в первом магазине цена на товар станет равна S0 (1 + 0,01*2)6, а во втором магазине (после трех повышений на р%) цена товара будет равна S0 (1 + 0,01р)3. Получаем уравнение S0 (1 + 0,01*2)6 = S0 (1 + 0,01р)3. Решая его, получаем

(1 + 0,01*2)2 = (1 + 0,01р); 1,022= (1 + 0,01р); р = 4,04

Ответ: 4,04%

Задача 3. Владелец автозаправки повысил цену на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цену на 10 %. Как после этого изменилась начальная цена на бензин? (повысилась или понизилась и на сколько % -ов?)

Решение: Пусть S0 – начальная цена, S2 – конечная цена, х - искомое число процентов изменения, где х = (1 - S2/S0 )*100% (*)

Тогда по формуле Sn = S0 (1 + 0,01р1 )(1 + 0,01р2 )***(1 + 0,01рn ) (4), получим

S2 = S0 (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S0*1,1*0,9 = 0,99*S0.

S2 = 0,99*S0; 0,99 = 99%, значение S2 составляет 99% первоначальной стоимости, значит ниже на 100% - 99% = 1%.

Или по формуле (*) получаем: х = (1 – 0,99 )*100% = 1%.

Ответ: понизилась на 1%.

Задача 4. Цена на компьютерную технику были повышены на 44%. После этого в результате двух последовательных одинаковых процентных снижений цена на компьютеры оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов каждый раз понижали цену?

Решение: По формуле (4), составляем уравнение

S3 = S0 (1 + 0,01*44)(1 - 0,01р )(1 - 0,01р) = S0 *1,44*(1 - 0,01р )2 = S0 * (1-0,01*19). Решая уравнение, получаем 2 корня: 175 и 25, где 175 не подходит условию задачи. Поэтому р = 25%.

Ответ: 25%

Заключение

Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к выводу, что по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени.

В данной работе я рассмотрела задачи, по своей структуре напоминающие задания ГИА. Подтвердила гипотезу, что умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно, особенно при государственной итоговой аттестации.

Список литературы

1. Глейзер Г.И., История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей.   – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.
2. Минаева С.С., Дроби и проценты. 5 – 7 классы /С.С. Минаева. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 125 с.
3. Шевкин А.В., Текстовые задачи по математике: 5 – 6. – М.: ИЛЕКСА, 2011. – 106 с.

4. Словарь этимологии

Приложение

Практические советы

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу.