Проект по математике "Объемные тела"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия № 1

Проект по математике

Объемные тела

Выполнил: Попоудин Кирилл

Класс: 5 В

Руководитель: Токарева И.А.

Липецк, 2016

Содержание

Введение …………………………………………………………………………………….3

Объемные тела

Параллелепипед…………….……………………………………………………….4

Пирамида ……………………………………………………………………………10

Заключение ………………………………………………………………………………...17

Пояснительная записка

Тема проекта «Объемные тела».

Цель: изучить объемные тела параллелепипед и пирамиду.

Задачи:

- рассмотреть типы, основные элементы, свойства параллелепипеда и пирамиды;

- изучить основные формулы параллелепипеда и пирамиды;

- сделать развертку для параллелепипеда и пирамиды;

- изготовить модели двух объемных тел: параллелепипед и пирамиду.

Ход выполнения проекта.

1. Поиск и изучение литературы по теме проекта.
2. Составление краткой характеристики объемных тел (параллелепипеда, пирамиды).
3. Поиск разверток параллелепипеда и пирамиды.
4. Изготовление моделей объемных тел.
5. Создание презентации по данной теме.

Назначение проекта. Использование на уроках математики моделей объемных тел для наглядного изучения их элементов и свойств. Возможность использования не только в 5 классе, но и в начальных классах (первое знакомство с геометрическими фигурами). А так же использование в старших классах на уроках геометрии.

Используемые источники:

1. Учебник. Математика: 5 класс: для общеобразовательных организаций/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2014.
2. Учебник. Математика: 5 класс: для общеобразовательных учреждений/ Н.Я Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцберд. – М.: Мнемозина,  2010.
3. Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 классов/ Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн. – М.: Просвещение, 1989.
4. Различные интернет источники.

Введение

Геометрия – одна из наиболее древних наук. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетия до нашей эры).

Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было строить жилища, прокладывать дороги, устанавливать границы земельных паев и определять их размеры.

Связь с практической деятельностью людей отразилась в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion – «столик», от которого произошло также слово «трапеза». Термин линия возник от латинского linum – «лен, льняная линия». 

 На уроках математики мы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и имеем представление, что такое точка, прямая, луч, угол. Мы знакомы с понятиями круг, прямоугольник, квадрат, треугольник, куб.

В пятом классе мы более подробно изучили такие фигуры как прямоугольный параллелепипед и пирамида. 

Мне стало интересно более подробно изучить объемные тела  такие, как параллелепипед и пирамида.

Объемные фигуры.

Параллелепипед.

Параллелепипед (др.-греч. - «параллельный» и «плоскость») - многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм.

 Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники.
• Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы параллелепипеда

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. 

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства параллелепипеда

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=Ро*h, где Ро - периметр основания,

h - высота

Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо - площадь основания

Объём V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b - стороны основания,

c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности: 
Объём: , где  - ребро куба.

Параллелепипеды вокруг нас

Параллелепипед широко распространён в жизни.

Объемные фигуры.

Пирамида.

Пирамида (др.-греч.) - многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) - произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

        История пирамиды

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Элементы пирамиды

• боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;
• боковые ребра - общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
• высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды

Виды пирамид

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые рёбра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани - равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Пирамиды вокруг нас

Изучая курс истории Древнего мира, мы познакомились с одним из семи чудес света - египетскими пирамидами.

Эта конструкция очень распространена в строительстве. Треугольник (из которых состоит пирамида) – это единственная геометрическая фигура, которая сохраняет свою форму под воздействием нагрузки, приложенной к соединительным точкам, или стыкам, даже если эти стыки являются шарнирными. Если деформируется (удлиняется, сжимается, скручивается) только одна сторона, треугольник не теряет форму.