"Йолдызсыман күпкырлыклар" темасына фәнни-тикшеренү эше

Укучыларның республикакүләм “Эзләнүләр аша камиллеккә” дип исемләнгән Габделхак укулары

Фәнни-эзләнү эшенең темасы:

Йолдызсыман күпкырлыклар

Номинация: физика-математика

Эшне башкаручы: Вәлиева Гөлия Нәзир кызы, Татарстан Республикасы Кукмара   муниципаль районы  муниципаль бюджет гомуми белем учреждениесе «Ядегәр авылы Г.Г.Гарифуллин  исемендәге урта гомуми белем мәктәбе», 10 нчы сыйныф  

Фәнни җитәкче: Файзрахманова Гөлсинә Зөфәр кызы, Татарстан Республикасы Кукмара муниципаль районы  муниципаль бюджет гомуми белем учреждениесе «Ядегәр авылы Г.Г.Гарифуллин  исемендәге урта гомуми белем мәктәбе», математика укытучысы

2017

Эчтәлек

1. Кереш өлеш……………………………………………………………3
2. Төп төшенчәләр.....…………………………………………………...4-6
3. Күпкырлыкларның төрле формалары......................………………...7-8
4. Күпкырлыклар безнең тормышта……………………………….......9-12
5. Йомгаклау……………………………………………………………..13
6. Нәтиҗә………………………………………………………………...14
7. Кулланылган әдәбият………………………………………………...15

Кереш өлеш

Максат: йолдызсыман күпкырлыкларны тикшерү һәм аларның модельләрен ясау серләрен ачу.

Бурычлар:

 -күпкырлыкларның тарихы белән танышу;

 -төзек күпкырлыклар турындагы белемнәрне киңәйтү;

 -йолдызсыман күпкырлыкларның формаларын өйрәнү;

 -йолдызсыман күпкырлык моделен ясау ысулларын тикшереп, модель ясау.

Актуальлеге

Узган гасырның башында бөек француз архитекторы  Корбюзьеның гаҗәпләнеп һәм дөньяга сокланып әйткән сүзләре искә төшә: «Тирә-якта бар да геометрия!». Ә бүген без бу сүзләрне тагын да ышаныбрак әйтә алабыз. Чыннан да, карагыз әле, бар җирдә дә геометрия бит!

Төзек күпкырлыклар бик аз, ләкин алар төрле фәннәр эченә үтеп керә алдылар, ди инглиз язучысы, математик, логик, философ, фотограф Льюис Кэрролл.

Ә йолдызсыман күпкырлык-карап торганда эстетик канәгетьләнү хисе тудыручы, сокландыргыч матур геометрик җисем.

Борынгы кешеләр архитектура биналары стеналарындагы өчпочмак, ромб, түгәрәкләрдән төзелгән орнаментларның матурлыгын күргәннәр. Төзек күпкырлыклар борынгы заманнардан ук матурлык, дәрәҗәлек символы булып торган.

Төп төшенчәләр

Барлык кырлары тигез төзек күппочмаклардан торган, һәр түбәсендә бер үк сандагы кабыргалары очрашкан кабарынкы күпкырлык төзек күпкырлык дип атала. Түбәндәге төзек күпкырлыклар билгеле:  тетраэдр,  октаэдр, икосаэдр, гексаэдр(куб) һәм додекаэдр.

1. Тетраэдр – 4 тигезьяклы өчпочмактан төзелгән. Аның һәр түбәсе 3 өчпочмакның түбәсе булып тора.Һәр түбә янындагы яссы почмакларның суммасы 180˚ ка тигез.
2.  Куб (гексаэдр) – алты квадраттан төзелгән. Кубның һәр түбәсе өч квадратның түбәсе була. Һәр түбә янындагы яссы почмакларның суммасы 270˚ ка тигез.
3. Октаэдр – сигез тигезьяклы  өчпочмактан төзелгән. Октаэдрның һәр түбәсе 4 өчпочмакның түбәсе булып тора. Һәр түбә янындагы яссы почмаклары суммасы 240˚ ка тигез.
4. Икосаэдр –егерме тигезьяклы өчпочмактан төзелгән. Икосаэдрның һәр түбәсе биш өчпочмакның түбәсе булып тора. Димәк, һәр түбә янындагы яссы почмаклар суммасы 300˚ ка.
5. Додекаэдр –12 төзек бишпочмактан төзелгән. Додекаэдрның һәр түбәсе өч төзек бишпочмакның түбәсе була. Шулай булгач, һәр түбә янындагы яссы почмакларның суммасы 324˚ка тигез.

5 төзек күпкырлык та Борынгы Грециядә билгеле була. Аларга Евклидның «Башлангычлар»  китаплар җыентыгының 13 нче китабы багышланган. Төзек күпкырлыкларны «Платон җисемнәре» дип тә атыйлар. Платон б.э.к 428-348 елларда яшәгән бөек уйлап табучы. Ул уйлап тапкан дөньяның философик рәсемендә төзек күпкырлыклар төп рольне башкара. Платон фикеренчә төзек күпкырлыкның һәркайсы нинди дә булса стихияне символлаштырган. Бүгенге көндә әлеге системаны мәтдәнең 4 хәләте белән чагыштырырга мөмкин: каты, сыек, газсыман һәм янучан.

   Ә хәзер Борынгы Грециядә 16-17 нче елларда Европада яшәгән атаклы немец астрономы, математигы Иоганн Кеплер (1571-1630) хезмәте белән кыскача гына танышыйк. Аның фикеренчә, ул вакытка билгеле 6 планета белән 5 төзек күпкырлык арасында тыгыз бәйләнеш булган, аның әлеге хезмәте «Кеплер кубогы» исемен йөртә. Бүгенге көндә планеталар арасындагы ераклыкның берничек тә төзек күпкырлыкларга бәйләнештә булмавы ачыкланган. Ләкин гипотезалардан башка фән яши алмый.

  Төзек күпкырлыклардан кала, ярымтөзек күпкырлыклар бар. Аларны «Архимед җисемнәре» дип атыйлар. (рәс.1)

  Яңадан «Кеплер-Пуассон җисемнәре» бар икәнлеге билгеле. Төзек йолдызсыман күпкырлыкларның 4 төре бар. Алар төзек күпкырлыклардан ничек барлыкка килгәннәр соң? Тетраэдр, куб һәм октаэдрдан йолдызсыман төзек күпкырлык барлыкка килә алмый. Додекаэдрны алыйк. Аның кабыргаларын дәвам итсәк, һәр кырга алмашка йодызсыман төзек бишпочмак килә, нәтиҗәдә кечкенә йолдызсыман  додекаэдр дип аталучы күпкырлык барлыкка килә.

   Күпкырлыкларның иң матур декоратив төрләре-йолдызсыман формалары.

   Төзек йолдызсыман күпкырлыклар-кырлары төзек яки йолдызсыман күппочмаклар булган күпкырлыклар. Биш Платон җисеменнән аермалы буларак, алар кабарынкы җисемнәр түгел.

   1811 елда  Огюстен Лу Коши платон һәм йолдызсыман җисемнәрнең берләшмәсе булмаган 4 төзек йолдызсыман күпкырлык бар дип белдергән (Кеплера — Пуансо җисемнәре). Аларга 1619 елда Иоганн Кеплер тарафыннан ачылган кечкенә  йолдызсыман додекаэдр һәм зур йолдызсыман додекаэдр, шулай ук 1809 елда Луи Пуансо тарафыннан ачылган зур додекаэдр һәм зур икосаэдр керә.

     Алар төзек күпкырлыклардан ничек барлыкка килгәннәр соң? Тетраэдр, куб һәм октаэдрдан йолдызсыман төзек күпкырлык барлыкка килә алмый. Додекаэдрны алыйк. Аның кабыргаларын дәвам итсәк, һәр кырга алмашка йодызсыман төзек бишпочмак килә, нәтиҗәдә кечкенә йолдызсыман  додекаэдр дип аталучы күпкырлык барлыкка килә.    Додекаэдрның кырларын дәвам иткәндә ике мөмкинлек барлыкка килә. Беренчедән, әгәр төзек бишпочмакларны карасак, зур додекаэдр барлыкка килә. Икенчедән, кырлар рәвешендә бишпочмакларны алсак,   зур йолдызсыман  додекаэдр барлыкка килә. Икосаэдрның бер генә йолдызсыман формасы бар. Төзек икосаэдрның кырларын дәвам иткәдә зур икосаэдр барлыкка килә.

     Калган төзек йолдызсыман күпкырлыклар платон җисемнәре яки Кеплер — Пуансо җисемнәренең берләшмәсе булып торалар.

    Ярымтөзек йолдызсыман күпкырлыклар —кырлары төзек яки йолдызсыман күппочмаклар булган (бер үк төрле булмаска да мөмкин) йолдызсыман күпкырлыклар. Ләкин барлык түбәләрнең дә төзелешләре бертөрле булырга тиеш. (Беришлек шарты). 1954 елда Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер  53 шундый җисемне санап чыкканнар һәм үзләренең исемлекләренең  тулылыгы турындагы гипотезаны алга сөрәләр. Тик бу исемлекнең чыннан да тулы икәнлеген  Сопов С. П. 1969 елда гына исбат итә ала.

     Йолдызсыман күпкырлыкларның күчелек төрләрен табигать үзе күрсәтә. Мәсәлән, кар бөртекләре — йолдызсыман күпкырлыкларның яссы проекцияләре. Кайбер молекулалар - күләмле җисемнәрнең төзек структуралары.

    Төзек һәм ярымтөзек кабарынкы күпкырлыклар (платон и архимед җисемнәре), төзек һәм ярымтөзек йолдызсыман күпкырлыклар бериш күпкырлыклар дип атала. Бу җисемнәрнең барлык кырлары төзек күппочмаклардан тора (кабарынкы яки йолдызсыман), ә барлык түбәләре бердәй (бер түбәне икенчесенә, күпкырлыкны үз-үзенә күчерә алырлык  ортогональ үзгәртүләр бар). Барлыгы төгәл 75 бериш күпкырлык бар.

Күпкырлыкларның төрле формалары

Йолдызсыман октаэдр (Рәс.2). Октаэдрның бер генә йолдызсыман формасы бар. Леонардо да Винчи тарфыннан ачылган, ә  100 елдан соң И. Кеплер тарафыннан кабат ачылып, сигезпочмаклы йолдыз дип аталган. Аны Кеплер йолдызы дип тә атыйлар. Ә чынлыкта ул ике тетраэдрның берләшмәсе булып тора. (Рәс.2)

Додекаэдрның йолдызсыман формалары: (Рәс.3)

Додекаэдрның 3 йолдызсыман формасы бар: кечкенә йолдызсыман додекаэдр, зур додекаэдр, зур йолдызсыман додекаэдр. Октаэдрдан аермалы буларак, додекаэдрның теләсә кайсы формасы платон җисемнәренең берләшмәсе булып тормый, ә яңа күпкырлык барлыкка китерә.

 Зур додекаэдрның кырлары һәр түбәдә бишәр очраша торган бишпочмаклар. Ә кечкенә йлдызсыман һәм зур йолдызсыман додекаэдрның кырлары — бишпочмаклы йолдызлар (пентаграммалар), беренче очракта бертүбә янында бишәр, ә икенче очракта өчәр очрашалар. Зур йолдызсыман додекаэдрның түбәләре аны камаучы додекаэдр түбәләре белән тәңгәл киләләр.

  Икосаэдрның йолдызсыман формалары.

  Икосаэдрның 59 йолдызсыман формасы бар, шуларның 32 се тулы, ә 27 се тулы икосаэдраль симметриягә ия.

  Бу үзлек  Коксетер тарафыннан Дюваль, Флэзер һәм Петр белән берлектә исбат ителгән.  Зур икосаэдр дип аталган йолдызсыман формасы  (20нче, Веннинджер буенча 41 нче модель), Кеплера — Пуансо буенча дүрт йолдызсыман төзек күпкырлыкның берсе. Аның кырлары булып бер түбәдә бишәр булып очрашучы төзек өчпочмаклар тора. (Рәс.4)

  Йолызсыман формалар арасында тагын биш  октаэдр, биш тетраэдр, ун тетраэдрның берләшмәләре бар. Беренче йолдызсыман форма-кече триамбик икосаэдр. (Рәс.5)

  Әгәк күпкырлыкның һәр кырын чиксез дәвам итсәң, җисем пространствоның шушы кырлар яткан яссылыклары белән чикләнгән күп санлы кисәкләр белән камалган булыр. Икосаэдрның барлык йолдызсыман  формаларын бирелгән җисемгә шундый кисәкләр өстәп табылыр. Икосаэдрның үзен санамыйча, аның кырларының дәвамнары пространстводан ун төрле форма һәм размердагы 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 = 472 кисәк кисеп алырлар. Зур икосаэдр соңгы алтмыш кисәкне санамыйча, бу кисәкләрнең барысын да эченә ала. Бу йолдызсыман форма-соңгысы. (Рәс.6)

Кубооктаэдрның йолдызсыман формалары.

Кубооктаэдрның Миллер тарафыннан кертелгән чикләүләрне канәгатьләндерүче 4 йолдызсыман формасы. Аның беренчесе куб һәм октаэдрның берләшмәсе. (Рәс.7)

Икосододекаэдрның йолдызсыман формалары.

 Икосододекаэдрның бик күп йолдызсыман формалары бар. Шуларның беренчесе- икосаэдр и додекаэдрның берләшмәсе. (Рәс.8)

 Икосододекаэдрның 12 се төзек бишпочмаклы кырлар, калган 20 се төзек өчпочмаклар булган  32 кыры бар.

Күпкырлыклар безнең тормышта

1.Архитектурада күпкырлыклар

   Күпкырлыклар тикшерү объекты гына түгел. Аларның гаҗәеп төзек һәм искиткеч формалары архитектурада киң кулланыла. Безнең көннәргә кадәр сакланып калган дөньяның җиде могҗизасының берсе-мисыр пирамидалары. Беренче могҗиза-Хеопс пирамидасы биш  мең ел буена җирдә басып торучы гаҗәеп зур корылма.  (Рәс.9).  

    Җиденче могҗиза- - Александрийский маяк яки Фарос  Александрийский. (Рәс.10).

    Күпкырлык формасындагы геометрик фигураларны күп корылмаларда күрергә мөмкин. Болар гади һәм матур корылмалар гына түгел, ә бәлки кешелекне үзләренең бөеклеге, ныклыгы һәм серлелеге белән тагын бик күп еллар гаҗәпләндереп торачак корылмалар. (Дева Мария соборы (Рәс.11) , Казан чиркәве һ.б. (Рәс.12)  

     Хәзерге заман архитектурасы да күпкырлыкларның төрле формаларын игътибардан читтә калдырмаган. Күпкырлык-биналар чиксез күп. Лондонда-күпкырлык-бина (Рәс.13), Сигапурда-болыт-йорт (Рәс.14).

     Архитектор  Мануелнең  (Рәс.15) Колумбиядәге Вилласы. Токиодагы кристаллга ошаган йорт. (Рәс.16). Бу күпкырлык хәзерге заман кешесенә һәрвакыт үзгәреп торучы уңайлы һәм куркынычсыз пространство кирәк дигән фикерләр тудыра.

2. Күпкырлыклар сәнгатьтә

  Күпкырлыкларның матурлыгына иң беренче чиратта рәссамнар соклана. Геометрия белән мавыгучы күренекле рәссам  Альбрехт Дюрер үзенең гравюру «Меланхолия» грвюрасында алгы планга кырлары өчпочмак йәм бишпочмаклардан торучы күпкырлык ясаган, ә  1525 елда ул хәтта төзек биш күпкырлык турында трактат язган. (Рәс.16)

    Күренекле голланд рәссамы М.  Эшер  (1898-1972) «Төзек күпкырлыклар» дигән темага картина-фантазия (Рәс.17) , ә 1943 елда “Рептилии”не язган (Рәс.18)

    Вулфин, Сальвадор Дали картиналарында да икосаэдр һәм додекаэдр чагыла. (Рәс.19-20)

   Күпкырлыклар теориясе белән еш кына  Леонардо да Винчи (1452-1519) да шөгыльләнә һәм аны үзенең картиналарында чагылдыра. (Рәс.21)

3.  Табигатьтә күпкырлыклар

   Җир йөзендәге матурлык табигатьнең үзе тарафыннан тудырылган. Алар арасында да күпкырлыклар очрый. Бер күзәнәкле феодария дип аталган  организмнарның скелетлары икосаэдрны хәтерләтә. Бу форма аларга су катламнары басымына каршы торырга ярдәм итә. (Рәс.22)

     Вольвокс суүсеме — күп күзәнәкле иң гади организмнарның берсе— нигездә сигез, алты, җидепочмаклы күзәнәкләрдән торучы сферик тышчаны хәтерләтә (Рәс.23). Аларның дүрт һәм сигезпочмаклы күзәнәкләрдән торучылары экземплярлары да бар, ләкин биологлар  яклары  стандарт булмаган күзәнәкләр булмаса, бишпочмаклы күзәнәкләрнең җидепочмаклы күзәнәкләргә караганда уникегә күбрәк булуын күреп алганнар. (Күзәнәкләр берничә йөз, хәтта мең булырга мөмкин. Бу раслама безгә таныш булган Эйлер формуласыннан килеп чыга.

    ДНК структурасы нигезендә дә геометрия ята. Микроскоптан караганда ДНК молекуласының әйләнеп тора торган куб икәнлеген күрергә була. Кубны билгеле бер модель буенча эзлекле рәвештә 72 градуска борганда, үз чиратында ике додекаэдр барлыкка китерүче икосаэдр килеп чыга. Шулай итеп ДНК моделендә икосаэдрдан соң додекаэдр, аннан соң тагын икосаэдр һәм шулай дәвам итә... Куб аша әйләнү ДНК молекуласы барлыкка китерә. (Рәс.24-25)

     1985 елда химия фәнендә күренекле ачыш ясалган. Монда сүз”фуллерен”нар турында бара. “Фуллеренннар”- С60, С70, С76, С84 тибындагы молекулалар, аларда углеродның барлык атомнары да сферик яки  сфероидаль өслектә урнаша. Бу молекулаларда углерод атомнары сфера яки сфероида өслеген каплап торучы төзек бишпочмак яки алтыпочмаклык түбәләрендә урнашканнар. Төп урынны иң зур симметриягә ия булган С60 молекуласы алып тора. Аның молкуласы- түбәләрендә углерод атомнары урнашкан кисек икосаэдр. Аның 32 кыры (12 бишпочмаклы һәм 20 алтыпочмаклы), 60 түбәсе һәм  90 кабыргасы бар.

   Футбол тубы өслеген хәтерләтүче һәм төзек кисек икосаэдр формасындагы молекулада углерод атомнары сферик өслектә  20  төзек алтыпочмаклык һәм 12 төзек бишпочмак түбәләрендә һәр алтыпочмаклык өч алтыпочмаклык һәм өч бишпочмаклык белән чиктәш булырлык итеп урнаштырылган. "Фуллерен" төшенчәсе үз хезмәтләрендә шундый структураларны кулланган Америка архитекторы Фуллер исеменнән алынган. (Рәс.26)

    Бал кортларының кәрәзләренең аскы өлеше кисек икосаэдр формасында. (Рәс.27)  

    Метан CH4 молекуласы моделе төзек тетраэдр формасында. Аның дүрт  түбәсендә водород, ә үзәгендә углерод атомы урнашкан. (Рәс.27)   

    Төзек күпкырлыклар бик файдалы фигуралар. Табигать моннан бик нык файдалана. Мисал итеп кайбер кристалларның формаларын китерергә була. Без көн саен куллана торган аш тозын гына алыйк.        Ул суда эри, электр тогын яхшы үткәрә. Ә аш тозы криталлары куб формасында. (Рәс.28)

     Бик кыйммәтле асылташ-алмазның төзек формасы – октаэдр (Рәс.29-30)

     Күз алмасы («глаз-алмаз»)дигән әйтемнең дә мәгънәсе бар, чөнки табигый алмаз офтальмологиядә хрусталликлар эшләүдә файдаланыла. Ә шулай да алмазның төп урыны ювелир әйберләр янында. (Рәс.31-32)

4. Безне чолгап алган күпкырлыклар

    Күпкырлыкларның гаҗәеп формалары архитектурада гына кулланылмый. Алар хәзерге  дизайн-интерьерларда.. (Рәс.33).

    Интерьерның чираттагы предметы – кресло (Рәс.34). Аның формасының нигезендә күпкырлык ята һәм ул геометрик фигуралар гармониясенә ия.

     Дизайнерлар полка гына түгел, күпкырлык формасындагы диваннар, шкафлар, өстәл-урындыклар һәм автоприцеп уйлап тапканнар. (Рәс.35)

      Төзек күпкырлыклар үзләренең матур формалары белән күпләрне җәлеп иткәннәр һәм венгр инженеры  Эрне Рубикка күренекле «кубик Рубик»ны, ә аннан соң Платон җисемнәреннән аңа охшаш башваткычлар төзергә мөмкинлек биргәннәр. (Рәс.36).

      Нью-Йорктагы ике метр диаметрлы, 672 хрусталь өчпочмактан торучы хрусталь яңа ел шары шулай ук күпкырлык фомасында (Рәс.37).

     Ярымтөзек күпкырлыкка мисал булып телевизор экраннарында еш күренүче футбол тубы тора. Ул 20 төзек алтыпочмаклыкта һәм 12 бишпочмактан тора. Футбол тубының өслеген кисек икосаэдр формасында эшлиләр. (Рәс.38)

     Елка уенчыкларының да күбесе-күпкырлыклар (Рәс.39).

Йомгаклау

   Безне камап алган тирәлек, бар дөнья симметрия белән тулган. Борынгы заманнардан ук матурлыкны күзаллау симметрия белән бәйләнгән. Могаен, кешелекнең бөек галимнәр Платон һәм Евклидтан алып Эйлер һәм Кошига  кадәр игътибар үзәгендә булган симметриянең гаҗәеп символларына карата кызыксынуы шуның белән аңлатыладыр да. Күпкырлыклар үткәдә генә түгел, бүгенге көндә дә киң куланылыш ала.

   Йолдызсыман күпкырлыклар бик декоратив, бу үзлекләре аларны ювелир промышленностенда күп төрле бизәнү әйберләре ясаганда  кулланырга мөмкинлек бирә. Алар архитектурада да кулланыла. Йолдызсыман күпкырлыкларның күп кенә формаларын табигать үзе тудыра. Мәсьәлән, кар бөртекләре шулай ук йолдызсыман күпкырлыклар. Күпкырлыклар кырларының саны буенча классларга бүленәләр. Иң гади йолдызсыман күпкырлыклар  октаэдр, додекаэдр, икосаэдрның төрле формалары, аннан соң кубооктаэдр һәм  икосододекаэдр китә. Алда санап киткән  къпкырлыкларныщ барысы да,  әгәр алар кабарынкы булсалар, Эйлер теоремасына буйсыналар:

Түбә+Кыр-Кабырга=2

Таблица 1

Нәтиҗә

   Кеплер-Пуансоның дүрт күпкырлыгы бар. Күпкырлыкларны төрле заманнарда төрле математиклар өйрәнгәннәр. Аларны һәрвакыт күпкырлыкларның формаларының матурлыгы сокландырган.

  Декоратив үзлеккә ия булу сәбәпле йолдызсыман күпкырлыклар  төрле бизәнү әйберләре ясаганда ювелир промышленностенда киң кулланылалар, шулай ук сәнгать әсәрләрендә очрыйлар. Бу  эшемдә мин йолдызсыман күпкырлыкларны һәм аларның төрле формаларын тикшердем, октаэдрның 1, додекаэдрның-3, икосаэдрның 59 йолдызсыман формасы барлыгын белдем, аларның тарихы белән таныштым һәм йолдызсыман күпкырлык моделе ясарга өйрәндем.

Кулланылган әдәбият

1. Веннинджер М. . Модели многогранников. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
2. Гончар В. В. . Модели многогранников. — М.: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2..
3. Гончар В. В. . Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8..
4. Волшебные грани — наборы для сборки моделей многогранников. — М.: Многогранники, 2012. — 20 с.
5. Сопов С.П. . Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников. — Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970. — С. 139-156..