Индивидуальный проект «Решение геодезических задач с применением тригонометрии»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение "Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина"

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по теме:

«Решение геодезических задач с применением тригонометрии»

Выполнил:

Учащийся 10 класса «А»

ФИО Баранов Александр Александрович

Научный руководитель:

Баклыкова Маргарита Анатольевна,

Учитель математики

Тамбов, 2017

Оглавление

Введение        3

Основная часть        5

Заключение        27

Список литературы        28

Введение

Тема проекта: Решение геодезических задач с применением тригонометрии.

В современном мире многие аспекты нашей жизни связаны с математикой. Мы можем не замечать, но практически все наши действия, все явления в природе и нашей жизни можно описать математически.

Сегодня мы живем в мире, где многие вещи зависят друга от друга. Каждый человек проживает в государстве, у него есть идентификатор личности, различные права на медицинское обслуживание, образование и т.д. В древности люди жили в пещерах, выходили на охоту, занимались собирательством. Сейчас же люди живут в огромных городах, ходят в магазин за продуктами, одеждой. Появилось множество новых технологий: мобильная связь, спутниковая связь, интернет. Эти технологии значительно упрощают жизнь человека, давая ему новые возможности для общения с другими людьми. Между городами проложены дороги, через реки возведены мосты. Города связываются между собой в страны. Страны в свою очередь образуют различные военные или экономические союзы.

Но чтобы построить новый город, нам нужно изучить ландшафт местности, провести электрические кабели и водопровод из других городов.  Для этого мы должны провести множество математических расчетов. Вот тут и выступает такая наука как геодезия, которая занимается изучением ландшафта местности, расчетами для построения инфраструктуры города и т.д. Чтобы функционировала мобильная связь, надо точно знать откуда приходят сигналы мобильных телефонов. Для этого также используется такая наука как геодезия.

Но множество расчетов в геодезии невозможно без науки тригонометрии.

Объект исследования моего проекта: геодезия и тригонометрия.

Предмет исследования: применение тригонометрии в геодезии.

Цели проекта: Показать решение геодезических задач с применением тригонометрии

Задачи:

1. Дать определение тригонометрии как науки и изучить её историю
2. Изучить основной теоретический материал тригонометрии
3. Дать определение геодезии как науки и изучить её историю
4. Изучить основной теоретический материал геодезии
5. Решить задачи по геодезии с применением тригонометрии

Гипотеза исследования: Решение основных геодезических задач невозможно без применения тригонометрии.

Актуальность исследования: актуальность данного проекта очень велика: геодезия используется повсеместно: при строительстве, в освоении новых регионов, в мобильной и спутниковой сетях.

Основная часть

Глава 1. История тригонометрии

История тригонометрии как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц. Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы; немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности. Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей. От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо; неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.

Основное развитие тригонометрия получила в Древней Греции. Тогда тригонометрию не выделяли как отдельную науку. Для греческих математиков она была частью астрономии. Сам термин «тригонометрия» с греческого языка означает «измерение треугольников». Так же по исследованиям ученых, первое упоминание

о тригонометрии можно найти в трудах греческого астронома Гиппарха. Ученые считают, что именно он составил таблицу хорд, которая является аналогом таблицы основных тригонометрических функций.

Рисунок 1

Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной)[8]. Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей тригонометрии[1]: заданы несколько (обычно три) известных элементов треугольника, требуется найти остальные связанные с ним величины. Первоначально в число элементов треугольника (известных или неизвестных) включали стороны и углы при вершинах, позже к ним добавились медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанной или 

описанной окружности, положение центра тяжести и т. д. Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием — например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).

Дальнейшие развитие тригонометрии можно проследить в средневековой Индии. Главным достижением индийских ученых было то, что они заменили хорды синусами. Что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Современный вид тригонометрия приняла после реформ Леонарда Эйлера и выхода его трактата «Введение в анализ бесконечных».

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов.

Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных греков геометрии небесной сферы. Некоторые исследователи приводят доводы, что эклиптическая или экваториальная система координат использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по меньшей мере уже во времена Гиппарха. Возможно, тогда были известны и некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли использоваться для составления звёздных каталогов и в геодезии.

Глава 2. Основные понятия тригонометрии

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучают тригонометрические функции и их использование в различных областях.

Но что же такое тригонометрические функции. Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге).

Тригонометрические функции:

• Синус (sin x)
• Косинус (cos x)
• Тангенс (tg x)
• Котангенс (ctg x)
• Секанс (sec x)
• Косеканс (cosec x)

Также существуют несколько тригонометрических функции, которые очень редко используют.  

Тригонометрические функции как правило определяются геометрически. Допустим у нас есть система координат на плоскости и построена окружность с радиусом R с центром в т.O. Тогда мы можем сказать, что всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча OB.  Поворот против часовой стрелки будет положительным, а по часовой будет отрицательным. Абсциссу точки B обозначим Xв, а ординату Yв.

Тогда:

• Синусом будем называть отношение
• Косинусом будем называть отношение
• Тангенсом будем называть отношение  
• Тангенсом будем называть отношение  
• Косекансом будем называть отношение  

Значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают

равным величине единичного отрезка. Откуда получается, что синус равен ординате yв, а косинус – абсциссе xв.

Так же можно определить тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике, без использования системы координат. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда мы получаем:

• Синусом угла α называют отношение противолежащего катета к гипотенузе AB/OB
• Косинусом угла α называют отношение противолежащего катета к гипотенузе OA/OB
• Тангенсом угла α называют отношение противолежащего катета к прилежащему AB/OA
• Котангенсом угла α называют отношение прилежащего катета к противолежащему OA/AB
• Секансом угла α называют отношение гипотенузы к прилежащему катету OB/OA
• Косекансом угла α называют отношение гипотенузы к противолежащему катету OB/AB

Минусом такого определения будет то, что мы не сможем определить тригонометрические функции для тупых углов.

Основные тригонометрические тождества:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов.

Графики тригонометрических функций:

• y = sin x, x ∈ R,  

Рисунок 4

• y = cos x, x ∈ R,   

Рисунок 5

• y = tg x, x ∈ R, ,  -

Рисунок 6

• y = ctg x, x ∈ R, , -

Рисунок 7

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Очень важным разделом тригонометрии является сферическая тригонометрия. Сферическая тригонометрия изучает зависимость между углами сферического треугольника. Широко применяется в таких науках как астрономия и геодезия.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

1. тремя сторонами
2.  тремя углами
3. двумя сторонами и заключенным между ними углом
4.  стороной и двумя прилежащими к ней углами

Обозначим стороны сферического треугольника a, b, c, противолежащие

этим сторонам углы — A, B, C. Сторона сферического треугольника равна углу между двумя лучами исходящими из центра сферы в соответствующие концы стороны треугольника. Для радианной меры угла:

При использовании угла вместо длины дуги для измерения сторон сферического треугольника упрощаются формулы — в них тогда не входит радиус сферы. В прямоугольном сферическом треугольнике по меньшей мере один угол, допустим C, равен 900. Противоположная сторона c называется гипотенузой.

Теоремы для прямоугольного сферического треугольника:

Теоремы для произвольного сферического треугольника:

Глава 2. Геодезия

Геодезия – наука о Земле, точная наука о фигуре, гравитационном поле, параметрах вращения Земли и их изменениях во времени. 

История геодезии

Геодезия зародилась в глубокой древности. Она возникла из человеческих потребностей производить те или иные измерения на земле. Слово «геодезия» переводится с греческого как «землеразделение» (гео – земля, дайдзо – делить). Расширение экономических связей между странами, развитие морских и сухопутных путешествий привели к необходимости создания географических карт, изучения формы и размеров Земли.

Во все времена истории человечества задача по определению фигуры Земли представляла сложную научно-техническую проблему, привлекала передовые умы человечества и ее решение требовало использования самых передовых технологий. Мысль о шарообразности Земли высказал древнегреческий философ Пифагор Самосский (около 571 – 497 г. до н.э.). В его учении утверждалось, что Земля имеет шарообразную форму и вращается вокруг своей оси, вызывая видимое суточное движение звезд, и обращается вокруг Солнца в течение года. По существу, была выдвинута идея гелиоцентрической системы мира, научно обоснованную Коперником через две тысячи лет.

Проблемой определения формы и размеров Земли занимались такие древнегреческие философы и ученые как Аристотель, Архимед, Эратосфен и другие. В дальнейшем работы по определению форм и размеров Земли были выполнены арабскими и туркестанскими учеными такими как Халиб ибн Абдул Малик, Али ибн Муса, Бируни и другими. Так, философ, астроном и геодезист Бируни из Туркестана в 1023 г. определил радиус земного шара из наблюдений понижения горизонта. Исследования арабских и туркестанcких ученых завершают первый период становления геодезии как самостоятельной науки о Земле, занимающейся изучением её фигуры и измерениями на её поверхности.

Начало второго периода в развитии геодезической науки относится к эпохе великих научных и географических открытий. В этот период свои открытия совершили Колумб, Васко да Гама, Магеллан, Кук, Беринг.

В геодезии в это же время происходит ряд замечательных открытий. Так в 1609 г. Галилеем изобретена зрительная труба. Нидерландский астроном и математик Снелиус в 1614 году разработал метод триангуляции, который был впервые применен французским астрономом Пикаром при измерении дуги меридиана от Парижа до Амьена. Пикар впервые использовал приборы с сеткой нитей.

В 1687 году вышел монументальный труд Ньютона - гениального английского математика, механика, астронома и физика «Математические начала натуральной философии», в котором на основании открытого им закона всемирного тяготения доказывается наличие полярного сжатия Земли. Ньютон не только установил сплюснутость фигуры Земли по оси вращения, но и теоретически определил величину её полярного сжатия.

Третий период развития геодезии (18 – 19 века) характеризуется тем, что основной научной задачей геодезии становится определение размеров земного эллипсоида. В течение этого времени получили начало такие науки как гравиметрия, геофизика. В это же время ученые - геодезисты пришли к выводу, что сглаженная до уровня Мирового океана фигура Земли не является простой геометрической фигурой, т.е. возникло понятие геоида.

К началу 19 века были накоплены значительные материалы геодезических и астрономических наблюдений. В связи с этим возникла проблема совместной обработки материалов обработки. Метод решения этой проблемы был предложен независимо немецким математиком, астрономом и геодезистом К. Ф. Гауссом и известным французским математиком Лежандром. Этот метод, названный методом наименьших квадратов, находит широкое применение при обработке геодезических сетей. В России метод наименьших квадратов в геодезии и астрономии на практике применили известные российские астрономы и геодезисты Струве, Шуберт, Померанцев, Цингер, Певцов, Гедеонов и другие.

Четвертый период (конец 19 – вторая половина 20 века) ознаменовалась основополагающими работами известного советского ученого – геодезиста Молоденского, который доказал невозможность точного определения фигуры геоида только по измерениям на земной поверхности и разработал теорию и методы определения фигуры физической поверхности Земли.

Начало современного периода развития геодезии совпадает с запуском первых искусственных спутников Земли (ИСЗ). Появление ИСЗ открыло новые возможности для решения научных и практических задач геодезии. Ярким примером тому служит появление систем глобального позиционирования (GPS).

Наряду с научными задачами геодезия решает целый комплекс практических задач. К таким задачам относятся создание геодезических сетей для обеспечения топографических съёмок, применение геодезических методов при строительстве сооружений, дорог и других объектов, проведении подземных работ в шахтах, тоннелях, метрополитене (маркшейдерские работы), проведение работ по землеустройству (кадастровые съёмки), наблюдение за деформацией и осадкой зданий и сооружений и т.д.

Велика роль геодезии в деле обороны страны и обеспечении боевых действий, т.к. невозможно эффективное использование современного высокоточного оружия (в том числе стратегических ракет) без точного геодезического и гравиметрического обеспечения.

Решение этих задач осуществляется путем:

1. измерения линий и углов на поверхности земли, под землей (в шахтах и туннелях), над землей при аэрофотосъемке (АФС) и космической съемке, под водой − для составления планов, профилей и специальных целей
2. вычислительной обработки результатов измерений
3. графических построений и оформления карт, планов и профилей

Глава 3 Плоские прямоугольные геодезические координаты

При решении инженерно-геодезических задач в основном применяют плоскую прямоугольную геодезическую и полярную системы координат. Для определения положения точек в плоской прямоугольной геодезической системе координат используют горизонтальную координатную плоскость ХОУ (рис. 10), образованную двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Одну из них принимают за ось абсцисс X, другую – за ось ординат Y, точку пересечения осей О – за начало координат.

Рисунок 10

Изучаемые точки проектируют с математической поверхности Земли на координатную плоскость ХОУ. Так как сферическая поверхность не может быть спроектирована на плоскость без искажений (без разрывов и складок), то при построении плоской проекции математической поверхности Земли принимается неизбежность данных искажений, но при этом их величины должным образом ограничивают. Для этого применяется равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера, в которой математическая поверхность Земли проектируется на плоскость по участкам – зонам, на которые вся земная поверхность делится меридианами через 6° или 3°, начиная с начального меридиана.

                                                                                     Рисунок 11

В пределах каждой зоны строится своя прямоугольная система координат. Все точки зоны проектируются на поверхность цилиндра (рис. 12, а), ось которого находится в плоскости экватора Земли, а его поверхность касается поверхности Земли вдоль среднего меридиана зоны, называемого осевым. При этом соблюдается условие сохранения подобия фигур на земле и в проекции при малых размерах этих фигур.

Рисунок 12

Равноугольная картографическая проекция Гаусса – Крюгера 12(а) и зональная система координат 12(б): 1 – зона; 2 – координатная сетка; 3 – осевой меридиан; 4 – проекция экватора на поверхность цилиндра; 5 – экватор; 6 – ось абсцисс – проекция осевого меридиана; 7 – ось ординат – проекция экватора.

Глава 4 Дирекционный угол, азимут, румб

При выполнении кадастровых работ требуется знать расположение объектов относительно стран света. Для этого линии на местности ориентируют относительно направления меридиана. В качестве ориентирующего угла служит азимут – горизонтальный угол, отсчитываемый от северного направления меридиана по ходу часовой стрелки до направления данной линии. Меридиан выбирают либо географический, либо магнитный; угол δ между направлениями меридианов называется склонением магнитной стрелки.

Рисунок 13

Азимуты принимают значения от ο 0 до ο 360 . Однако использование азимутов для решения инженерных задач затруднительно, т.к. в различных точках прямой на местности азимуты направления меняются. Это происходит из-за того, что меридианы, проведенные в различных точках не параллельны между собой, так как все они пересекаются в магнитном или географическом полюсах.

Рисунок 14

По этой же причине прямой и обратный азимуты линии в начальной и конечной точках различаются между собой не точно на ο 180.

Рисунок 15

В связи с этим для наглядности и упрощения работ переходят от азимутов к дирекционным углам. Для этого на территории зоны центральный меридиан зоны принимается за осевой. Он же является осью абсцисс системы плоских прямоугольных координат зоны. Относительно этого меридиана проводится ориентирование всех линий зоны. Дирекционным углом называют горизонтальный угол, отсчитываемый от северного направления линии, параллельной осевому меридиану в направлении по ходу часовой стрелки до направления данной линии.

Рисунок 16

Румб это один из углов ориентирования, применяемый в геодезии.

Румб отсчитывается от ближайшего конца меридиана – северного или южного, до заданной линии.

Румбы принимают значения от 0° до 90° и обозначаются буквой r.

Глава 6 Прямая геодезическая задача

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А, горизонтальное расстояние  от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол  или румб ), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом:

Дано: т.A(;       Найти: т.B(

Решение: Непосредственно из рисунка имеем:

                          ,

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:

                        ,

Так как в этих формулах  всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков и . Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY:

Рисунок 19

Глава 5 Геодезические сети

Геодезические сети являются важнейшим элементом системы технических мероприятий, связанных с изучением и освоением территорий. Закрепленные на местности пункты, составляющие геодезические сети различных классов по точности измерения их элементов, отличающиеся по своему назначению, обеспечивают возможность выполнения широкого круга топографо-картографических и технических задач.

Используя координаты или отметки пунктов геодезических сетей, можно решать как вопросы общегосударственного значения (такие, как освоение малоизученных, труднодоступных регионов, наблюдение за глобальными тектоническими процессами), так и конкретные задачи инженерной практики (такие, как съемка небольших участков в крупных масштабах, прокладка трасс инженерных коммуникаций и т.п.).

Геодезическая сеть − это совокупность закрепленных и обозначенных  на местности пунктов, плановое положение и высоты которых определены в единой системе координат и высот путем геодезических измерений.

Геодезические сети строятся в научных целях, а также для изучения и освоения территории страны, в том числе для съемки и изысканий для проектирования и проведения хозяйственных мероприятий: строительства, мелиорации и т.д.

Геодезические сети подразделяются по назначению на плановые и высотные. По точности измерения, площади размещения и плотности пунктов геодезические сети подразделяются на государственные, местные − сети сгущения и съемочные.

Одной из главных задач геодезии является определение с заданной точностью координат сравнительно небольшого числа специально закрепленных на земной поверхности точек − геодезических пунктов.

Геодезический пункт состоит из центра, являющегося носителем координат, и геодезического знака, обозначающего положение центра на местности и обеспечивающего взаимную видимость смежных пунктов сети. Центр  призван надежно и долговременно сохранять неизменным положение своей основной детали − марки центра, к метке которой относятся координаты пункта.

Систему геодезических пунктов, положение которых определено в общей для них системе геодезических координат, называют плановой геодезической сетью.

Для определения координат пунктов сети между ними измеряют расстояния и углы. Отрезки линий, ограниченные геодезическими пунктами, вдоль которых измеряется длина или направление, называют сторонами сети.

Каждый следующий пункт геодезической сети, начиная со второго, должен быть связан с предшествующими пунктами не менее чем двумя измеренными элементами (горизонтальными углами, длинами сторон, дирекционными углами).

Геодезическую сеть создают таким образом, чтобы ее стороны образовывали простые геометрические фигуры, удобные для решения, т.е. определения всех их элементов, а по ним – координат вершин. Различают три основных метода построения плановых геодезических сетей:

1. Триангуляция − построение геодезической сети в виде системы треугольников, в которых измерены углы и некоторые стороны, называемые базисными, или просто базисами

Рисунок 20

В основе метода триангуляции лежит решение треугольника по стороне и двум углам − теорема синусов. Многократное последовательное применение этой теоремы к треугольникам триангуляционной цепи, в которой каждый последующий (i + 1)-й треугольник связан с предшествующим i-м общей стороной  (см. рис. 1), приведет к следующим выражениям:

 ;

где  − связующая,  − промежуточная стороны i-го треугольника.

2. Полигонометрия − построение геодезической сети путем измерения расстояний и углов между пунктами хода.

        В полигонометрии система геодезических пунктов образует полигон-многоугольник, который может быть замкнутым или разомкнутым (рис. 2). Измеряемыми элементами являются стороны полигона  и его углы  или дирекционные углы .

Рисунок 21

3. Трилатерация − построение геодезической сети в виде системы треугольников, в которых измерены все их стороны.

Метод трилатерации основан на возможности решения треугольника по трем его сторонам: а, b, с. Углы при этом определяются по теореме косинусов. Например, для угла А между сторонами b и с можно записать:

Рисунок 22

Возможно построение плановой геодезической сети комбинированием всех трех методов.

Экспериментальная часть

В экспериментальной части я покажу решение нескольких геодезических задач.

Задача 1.

Дано: Координаты точки А равны =25м, =15м, =124м,

Найти: Координаты точки B()

Решение:

1)Определим приращение координат:

2)Определим координаты точки B:

        102,6804м

Ответ:  точка B()

Задача 2.        

Дано: т. A() и т. (B()

Найти:  и

Решение:

1)Определяем приращение координат:

          100м

2)Определяем румб линии AB:

3)Т.к.  и

4)Пользуясь дирекционным углом найдем :

Ответ: ,

Заключение

В заключении подводятся итоги по всей работе. Делается вывод о справедливости сформулированной в начале исследования гипотезы, достигнута ли цель работы, представляются результаты решения поставленных задач, добавляются собственные обобщения (иногда с учетом различных точек зрения на изложенную проблему), отмечается то новое, что получено в результате работы над данной темой. Заключение по объему не должно превышать введение. Следует избегать типичных ошибок: увлечение второстепенным материалом, уходом от проблемы, категоричность и пестрота изложения, бедный или слишком наукообразный язык, неточность цитирования, отсутствие ссылок на источник.

Список литературы