Исследовательская работа "Замощение плоскости в пространстве"

Слайд 1

Детская областная общественная организация «Научное общество учащихся « Поиск » ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ научно-практическая работа по математике ВЫПОЛНИЛА: ученица 11 класса Караванова Ольга РУКОВОДИТЕЛЬ: учитель математики Воротницкая Алла Ивановна

Слайд 2

Квазикристаллы Природный квазикристалл К вазикристалл ы , имеющи е точечную симметрию икосаэдра, а также десяти-, восьми- и двенадцатиугольника. Квазикристалл алюминий-палладий-рений Электронограмма квазикристалла Т рехмерные фотонные квазикрист ал лы

Слайд 3

Цель исследования: подробное изучение замощения плоскости в пространстве и его приложений. Задачи исследования: изучить квазипериодическое замощение плоскости; изучить симметрию пятого порядка; рассмотреть приложения замощения плоскости в пространстве ; изготовить трафарет икосаэдра и многогранник для замощения пространства; создать дизайнерский макет витража.

Слайд 4

Замощ e ́ние — разбиение плоскости или пространства на фигуры без общих внутренних точек. Что такое замощение? Существует мнение, что впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров.

Слайд 5

Периодическое замощение -это замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор u и на вектор v . Любой параллелограмм можно получить из розового параллелограмма, сдвигая последний на вектор u или вектор v . Плоскость заполняется сдвигами одного и того же рисунка на два вектора (в горизонтальном и вертикальном направлениях). Автор Ананко Ю. Автор Борзенкова В.

Слайд 6

Плотное заполнение плоскости может быть осуществлено с помощью треугольников, квадратов , шестиугольников. С помощью пятиугольников (пентагонов) такое заполнение невозможно .

Слайд 7

x2-x-1=0 или y2+y-1=0 x 1 = 2cos36°, x 2 = 2cоs108° y 1 = 2cos72°, y 2 = cos144° «Тонкий» ромб «Толстый» ромб

Слайд 8

Родоначальники квазипериодического замощения Роджер Пенроуз Дан Шехтман

Слайд 9

Квазипериодическое замощение плоскости Квазипериодическое замощение – это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур. Плитки Пенроуза имеют «пентагональную» симметрию или симметрию 5-го порядка, а отношение числа «толстых» ромбов к «тонким» стремится к золотой пропорции. Мозаика Пенроуза – модель квазикристалла

Слайд 10

Преобразования инфляции и дефляции Эти треугольники можно разрезать на меньшие так, чтобы каждый их новых треугольников был подобен одному из исходных. Такое разрезание называется дефляцией . Обратное преобразование – склеивание – называется инфляцией . У новых (склеенных) треугольников линейные размеры в t раз больше, чем у исходных треугольников. Треугольники Робинсона

Слайд 11

Преобразования дуальности В этой конструкции правильный пятиугольник можно заменить на любой правильный многоугольник. Получится новое квазипериодическое покрытие. Метод преобразования дуальности применим и для построения квазипериодических структур в пространстве.

Слайд 12

Трехмерное обобщение мозаики Пенроуза Икосаэдр – платоновское тело: 12 вершин, 20 граней, 30 ребер

Слайд 13

Кристаллы и симметри я Вращательная симметрия - при повороте вокруг своей оси кристаллическая решетка совмещается сама с собой некоторое количество раз Трансляционная симметрия - повторяемость объекта в пространстве через определенное расстояние вдоль прямой, называемой осью трансляции. ПРИМЕРЫ : тетрадный лист в клеточку, рисунки на обоях, паркетные полы, кружевные ленты, плиточные дорожки, бордюры. Поворотная симметрия - свойство кристалла совмещаться с самим собой при вращении на некоторый определенный угол вокруг оси симметрии. ПРИМЕРЫ : правильная пятиконечная звезда, имеющая ось 5-го порядка Трансляционная симметрия Поворотная симметрия 5-го порядка Бордюр поворотной и трансляционной симметрии Трансляционная и поворотнаясимметрия .

Слайд 14

Фуллерены и квазикристаллы Ф уллерены - форма объединения атомов углерода в практически сферические молекулы Сn ( n = 28, 54, 60, 70, 84, 120 …). Усеченный икосаэдр (а) и структура молекулы С 60 (б)

Слайд 15

П оворотная симметрия 5-го порядка представлена: в некоторых разновидностях вирусов , в некоторых обитателях морей : морские звезды, морские ежи, колонии зеленых водорослей, радиолярии и др; многих полевых цветов : зверобой, незабудка, колокольчик и др ., цветов плодово-ягодных растений : малина, калина, рябина, шиповник, др. цветов плодовых деревьев : вишня, груша, яблоня, мандарин и др. чешуек у еловой шишки, зерен у подсолнуха, ячеек у ананаса Симметрия в живом мире

Слайд 16

Архитектура Мечеть Дарб-и-Имам Город-крепость Пальманова Музей- крепость Буртанж

Слайд 17

Живопись Большое количество художественных композиций посвящено квазикристаллам Шехтмана и решеткам Пенроуза . Мир Тейи Крашек: а) Мир квазикристаллов. Компьютерная графика,1996г. б) Звезды. Компьютерная графика, 1998г. в) 10/5. Холст, 1998г. г) Квазикуб. Холст, 1999г. а) б) в) г) Биогенезис Крашек . Stars for Donald Мориц Эшер .

Слайд 18

Вулкан Даллол Соты пчел «Дорога гигантов» (Северная Ирландия) мыс Столбчатый ( остров Кунашир , большая гряда Курильских островов) природа

Слайд 19

«Дизайнерский макет витража» ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Слайд 20

«Применение симметрии 5-го порядка в геометрии» «Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра»