"Такие нужные проценты" - презентация к исследовательской работе по математике - 10 класс

Слайд 1

«Такие нужные проценты» Автор работы: ученица 10 класса, Костылева Полина Сергеевна, Возраст: 16 лет. Научный руководитель: учитель математики первой квалификационной категории, Лобанова Наталья Олеговна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя школа № 10 г. Павлово

Слайд 2

В любом открытии есть 99 % труда и потения И только 1% таланта и способностей. Л.Магницкий

Слайд 3

Результаты анкетирования Актуально ли уметь вычислять проценты? Умеете ли вы решать задачи на простые проценты? Использовала ли ваша семья кредиты, ссуды , ипотеки? 100 % 25 % 79 % 58 % Умеете ли вы решать экономические задачи на сложные проценты?

Слайд 4

Практическая значимость . Россию захватил «кредитный бум»: в наше время люди всё чаще берут кредит на приобретение жилья, автомобиля, потребительские кредиты и кредиты на образование. ЕГЭ по математике содержит задачи экономического содержания на проценты, которые решаются с помощью простых и сложных процентов. Проанализировав сборники заданий по подготовке к ЕГЭ, передо мной встала проблема : у меня недостаточно знаний, необходимых в совершенстве научиться решать задачи на проценты, чтобы успешно сдать ЕГЭ по математике. И я решила глубже изучить эту тему. Так появилась моя исследовательская работа: « Такие нужные проценты».

Слайд 5

Актуальность процентов в современной жизни. Подсчет голосов на выборах Вычисление цен на распродаже При вычислении процентных отношений веществ При начислении пени При расчёте тарифов за коммунальные услуги При начислении зарплаты При подсчёте статистических данных При оформлении кредита

Слайд 6

Гипотеза : Современному человеку трудно ориентироваться в развивающемся мире без знания процентов. Многие задачи на проценты решаются с помощью опорных задач.

Слайд 7

Объект исследования : Задачи на проценты . Предмет исследования : Классификация задач по типам решения . Исследовательская работа : «Такие нужные проценты»

Слайд 8

Решение экономических задач на простые и сложные проценты Цель работы : Обобщение, углубление и систематизация знаний по теме «Проценты» Показать широту применения в жизни процентных вычислений

Слайд 9

Задачи работы: Собрать информацию по теме Обобщить результаты Анкетирование Вывод формул простых и сложных процентов Подобрать задачи по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ Рассмотреть основные виды задач

Слайд 10

Методы исследования: Анкетирование Поиск Анализ Сравнение Систематизация Классификация Обобщение

Слайд 11

Из истории процентов Вавилон Индия Древний Рим Россия - 18 век Европа –средние века 1коп – 1% рубля, 1см – 1% метра, 1а – 1% гектара.

Слайд 12

Задачи на все случаи жизни Задачи банковских систем (кредиты, вклады) . Виды задач из ЕГЭ на проценты Задачи на концентрацию (смеси, растворы, сплавы) .

Слайд 13

Опорные задачи № Правило Пример 1. Дробь от числа а/в от с , то (а/в) ∙ с ¾ от 12, то ¾ ∙ 12 = 9 2. К % от числа С, то (К/100) ∙ С 75 % от 12, то (75/100) ∙ 12 = 9 3. Найти число (целое) Х, если К % от него равны С, то Х = С : (К/100) 75 % от Х – это 9, то Х = 9 : (75/100) = 12 4. Отношение А к В – это А/В А/В = К раз, если А > В А/В = 1/К часть А от В, если А < В Отношение 120 кг к 12 кг - это 120/12 = 10 раз Отношение 12 кг к 120 кг – это 12/120 = 1/10 часть 5. Сколько % составляет А от В ((А/В) ∙ 100) % 12 от 120 - ? % ((12/120) ∙ 100)% = 10 % 6. На сколько % А < В, то ((В – А) / В) ∙ 100% Из большего вычитаем меньшее и делим на то, с чем сравнивается! На сколько % 12 меньше 120? ((120 – 12) / 120) ∙ 100 % = 90 % 7. На сколько % В > А, то ((В – А) / А) ∙ 100% На сколько % 120 больше 12? ((120 – 12) / 12) ∙ 100 % = 900 %

Слайд 14

№ Правило Пример 8. А > В на к %, то А = В + В∙0,01к = В(1 + 0,01к) Х > 120 на 10 %, то Х = 120 + 120∙0,01∙10 = 120(1 + 0,1) = 132 9. А < В на к %, то А = В - В∙0,01к = В(1 - 0,01к) Х < 120 на 10 %, то Х = 120 - 120∙0,01∙10 = 120(1 - 0,1) = 108 10. Было – А ((А – В) / А) ∙ 100) % Стало – В Уменьшение ? % Из большего вычитаем меньшее и делим на то, что было! Было 120 руб Стало 108 руб Уменьшение ? % ((120 – 108) / 120) ∙ 100) %= 10 % 11. Было – А ((В – А) / А) ∙ 100) % Стало – В Увеличение ? % Из большего вычитаем меньшее и делим на то, что было! Было 108 руб Стало 120 руб Увеличение ? % ((120 – 108) / 108) ∙ 100) %= (10/9) % 12. Число А увеличили на Р %, затем результат уменьшили на к %, то А ∙ ( 1 + 0,01∙ р )∙(1 – 0,01∙к) Было 120 руб , увеличили на 20 % и уменьшили на 50 %, то 120 ∙ ( 1 + 0,2)∙(1 – 0,5) = 72 ( руб )

Слайд 15

Нахождение процентов от данного числа Такие задачи решают через нахождение одного процента от общего числа. 1способ: b = (A : 100) · p ; 2 способ: b = А· 0,01р Задача. Флакон шампуня стоит 200 руб. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 руб. во время распродажи, когда скидка составляет 15 %? Решение: Во время распродажи 1 флакон шампуня станет стоить 200 − 0,15 · 200 = 170 рублей. Разделим 1000 на 170: 1000: 170=5,88 Значит, можно будет купить 5 флаконов шампуня. Ответ: 5.

Слайд 16

Нахождение общего числа по его процентам Если известно, что р% от общего числа равно b , то такие задачи решают через нахождение одного процента от известного числа. 1 способ : A = b : р · 100 2 способ: A = b : (0,01p) Задача. Из хлопка получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка, чтобы получить 480 кг волокна? Решение: 1 способ: 480 : 24 × 100 = 20 × 100 = 2000 (кг) 2 способ: 480 : 0,24 = 48 000 : 24 = 2000 (кг) = 2 (т) Ответ: 2 т.

Слайд 17

Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%. Задача 1. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка? Решение: Н адо найти отношение (частное) вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить его в процентах, т. е. разделить вспаханную площадь на общую площадь участка и умножить на 100%. 150 : 500 × 100% = 0,3 × 100% = 30 % Ответ: 30%

Слайд 18

Задачи на смеси, растворы, сплавы . Лучше всего для таких задач подходит формула: n к = m в : m р где n к – концентрация, m в – масса вещества в растворе, m р – масса всего раствора. Задача 1. В колбе было 800 г 80% - ого спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию (в %) полученного спирта. Решение. После того, как отлили 200 г, раствора стало 600 г, в котором чистого спирта 0,8∙600 = 480г , когда добавили 200 г воды, то раствор снова 800 г, а концентрация чистого спирта в растворе (480/800) ∙100% = 60% Ответ: 60%

Слайд 19

Задача. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди ? + = олово олово олово медь медь медь 72% 80% 75% Х г (800-Х) г 800 г Решение : 1 ) Ответ : 500 г, 300 г.

Слайд 20

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или «квадрат Пирсона». При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора. ω 1 ω 3 — ω 2 m 1 ω 3 ω 2 ω 1 — ω 3 m 2 Правило «креста» или «квадрат Пирсона»

Слайд 21

72 % 9 9% 0% 63 Правило «креста» или «квадрат Пирсона» Задача. Для приготовления 9%-го уксуса у нас имеется только 72% эссенция. В каких пропорциях нужно смешать эссенцию с водой, чтобы получить уксус? Решение : Ответ : 1:7 , т.е. 1 ложку эссенции разбавляем 7 ложками воды

Слайд 22

Формула простых процентов S n = S o ∙ (1+ np: 100 ) руб. По ней начисляют проценты только на первоначальный вклад в S o руб., и проценты не зависят от срока хранения вклада. S n – будущая стоимость; S 0 – текущая стоимость; p – ставка простого процента; n – количество лет .

Слайд 23

S n = S o ∙ S n – будущая стоимость; S 0 – первоначальная сумма; p – ставка начисляемого процента; n – количество лет. Формула сложных процентов Проценты начисляются не только на первоначальный вклад S o руб вклад , но и на проценты, которые на него начислены.

Слайд 24

Задачи с экономическим содержанием Нахождение количества лет выплаты кредита Нахождение процентной ставки по кредиту Нахождение суммы кредита Нахождение суммы вклада Задачи на кредиты дифференцированных платежей

Слайд 25

Задача. ( Нахождение суммы выплат по кредиту с равными платежами) 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая-31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. ((6 944 000 ∙ 1,125 – Х) ∙ 1,125 – Х) ∙ 1,125 = Х (6 944 000 ∙ 1,125 2 – 1,125 Х – Х) ∙ 1,125 = Х 6 944 000 ∙ 1,125 3 – 1,125 2 Х – 1,125 Х = Х 6 944 000 ∙ 1,125 3 = 1,125 2 Х + 1,125 Х + Х 6 944 000 ∙ 1,125 3 = (1,125 2 + 1,125 + 1) Х Х = 6 944 000 ∙ 1,125 3 : (1,125 2 + 1,125 + 1) 6 944 000 ∙ 1,125 3 Х = 1,125 2 + 1,125 + 1 Х = 2 916 000 Ответ: 2 916 000 руб.

Слайд 26

Задача. (Нахождение процентной ставки по кредиту) 31 декабря 2014 года Заемщик взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть на определенное количество процентов), затем Заемщик переводит очередной транш. Заемщик выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй – 644,1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит заемщику? Решение: S = 1 000 000( руб ) – сумма кредита, а % - годовой процент, х 1 = 560 000 ( руб ) – сумма первой выплаты, х 2 = 644 100( руб ) – сумма второй выплаты. После первой выплаты сумма долга составит: S 1 = S∙(1+0,01а) – х 1 . После второй выплаты сумма долга составит: S 2 = S 1 ∙(1+0,01a) – x 2 = (S∙(1+0,01а) – х 1 )(1+0,01a) – x 2 . По условию двумя выплатами Заемщик должен погасить долг полностью, тогда S 2 = 0, т.е. (S∙(1+0,01а) – х 1 )(1+0,01a) – x 2 = 0; (1 000 000∙(1+0,01а) – 560 000)(1+0,01a) – 644 100 = 0; а = 13%. Ответ: под 13 % банк выдал кредит заемщику.

Слайд 27

Задача. (Дифференцированные платежи) Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r .

Слайд 28

№ 1 2 к 12 Долг r % на долг Ежемесячные платежи без % Х – кредит; r % - ежемесячные проценты на долг; S – общая сумма, выплаченная за весь срок кредитования. – по условию. – разделим на Х; – умножим на 100 - умножим на 12 Ответ: 2%

Слайд 29

ПРИЛОЖЕНИЯ Результаты анкетирования Актуально ли уметь вычислять проценты? Умеете ли вы решать задачи на простые проценты? Использовала ли ваша семья кредиты, ссуды , ипотеки? 100 % 25 % 79 % 58 % Умеете ли вы решать экономические задачи на сложные проценты?

Слайд 30

№ Правило Пример 1. Дробь от числа а/в от с , то (а/в) ∙ с ¾ от 12, то ¾ ∙ 12 = 9 2. К % от числа С, то (К/100) ∙ С 75 % от 12, то (75/100) ∙ 12 = 9 3. Найти число (целое) Х, если К % от него равны С, то Х = С : (К/100) 75 % от Х – это 9, то Х = 9 : ( № 75/100) = 12 4. Отношение А к В – это А/В А/В = К раз, если А > В А/В = 1/К часть А от В, если А < В Отношение 120 кг к 12 кг - это 120/12 = 10 раз Отношение 12 кг к 120 кг – это 12/120 = 1/10 часть 5. Сколько % составляет А от В ((А/В) ∙ 100) % 12 от 120 - ? % ((12/120) ∙ 100)% = 10 % 6. На сколько % А < В, то ((В – А) / В) ∙ 100% Из большего вычитаем меньшее и делим на то, с чем сравнивается! На сколько % 12 меньше 120? ((120 – 12) / 120) ∙ 100 % = 90 % 7. На сколько % В > А, то ((В – А) / А) ∙ 100% На сколько % 120 больше 12? ((120 – 12) / 12) ∙ 100 % = 900 % № Правило Пример 8. А > В на к %, то А = В + В∙0,01к = В(1 + 0,01к) Х > 120 на 10 %, то Х = 120 + 120∙0,01∙10 = 120(1 + 0,1) = 132 9. А < В на к %, то А = В - В∙0,01к = В(1 - 0,01к) Х < 120 на 10 %, то Х = 120 - 120∙0,01∙10 = 120(1 - 0,1) = 108 10. Было – А ((А – В) / А) ∙ 100) % Стало – В Уменьшение ? % Из большего вычитаем меньшее и делим на то, что было! Было 120 руб Стало 108 руб Уменьшение ? % ((120 – 108) / 120) ∙ 100) %= 10 % 11. Было – А ((В – А) / А) ∙ 100) % Стало – В Увеличение ? % Из большего вычитаем меньшее и делим на то, что было! Было 108 руб Стало 120 руб Увеличение ? % ((120 – 108) / 108) ∙ 100) %= (10/9) % 12. Число А увеличили на Р %, затем результат уменьшили на к %, то А ∙ ( 1 + 0,01∙ р )∙(1 – 0,01∙к) Было 120 руб , увеличили на 20 % и уменьшили на 50 %, то 120 ∙ ( 1 + 0,2)∙(1 – 0,5) = 72 ( руб ) ПРИЛОЖЕНИЯ Памятка с формулами

Слайд 31

ПРИЛОЖЕНИЯ БУКЛЕТ

Слайд 33

ПРИЛОЖЕНИЯ Презентация к уроку

Слайд 34

П Р И Л О Ж Е Н И Я Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя школа № 10 г. Павлово ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ (сборник задач) Автор работы : ученица 10 класса , Костылева Полина Сергеевна, Возраст: 16 лет. Научный руководитель : учитель математики первой квалификационной категории, Лобанова Наталья Олеговна г . Павлово 2017 г. С Б О Р Н И К з А Д А ч

Слайд 35

Проценты творят чудеса. Они с каждым годом становятся все более актуальными в современном обществе. Со временем проценты еще дальше протиснутся в нашу жизнь. И их незнание просто не позволит дальнейшему развитию общества. В ходе своего исследования пришла к выводу, что проценты помогают нам: грамотно разбираться в большом потоке информации; правильно вкладывать деньги; грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант; совершать выгодные покупки, экономя на скидках; решать математические задачи. З А К Л Ю Ч Е Н И Е З А К Л Ю Ч Е Н И Е

Слайд 36

Данный материал является полноценным дидактическим материалом. Его можно использовать на уроках математики (с 6 по 11 класс), химии, биологии, физики и факультативных занятиях при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся. З А К Л Ю Ч Е Н И Е Р Е К О М Е Н Д А Ц И И

Слайд 37

Список литературы 1.Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся./–М.: Просвещение, 1988. – 416с. 2.Шевкин Ф.В. Текстовые задачи по математике 7-11 классы: ИЛЕКСА, 2011. – 208с. 3 . Сборники по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. 4. Web – сайт www.festival.ru «Сложные проценты. Решение задач». 5. Web – сайт http:// www.depcalc.ru «Простые и сложные проценты». 6. Web – сайт http://reshuege.ru « Задачи ЕГЭ 2015, 2016 , 2017 ». 7. Web – сайт http:// fipi/ru.

Слайд 38

Спасибо за внимание