Проект по математике "Софизмы"

Школьная научно-практическая конференция обучающихся

«Я - исследователь»

                                                Секция: Естественно-математическая

                                          Тема: Софизмы

Автор:

Коробкова Татьяна Александровна

Научный руководитель:

Комкова Елена Юрьевна

Место выполнения работы:

Филиал МБОУ СОШ с.Красное в с.Ищеино

2017                 

Содержание

Введение                                                                                                            

1. Задача, которая меня заинтересовала.                                                        
2. Что такое "софизм".                                                                          
3. История появления софизмов.                                                                            
4. Классификация софизмов:                                  

1. Алгебраические софизмы.                                                                  
2. Геометрические софизмы.                                                                  
3. Логические софизмы.                                                                

5. Выводы.                                                                                                        
6. Практическая значимость.                                                                          
7. Список литературы.                                                                                          

Введение

На уроке алгебры мы решали одну задачу и пришли к некоторому так называемому софизму, я заинтересовалась математическими неожиданностями, которые возникают при решении некоторых задач. У меня возникло предположение, что такие неожиданности могут встретиться не только в алгебре, но и в арифметике, и в геометрии.

Применяя софизмы на уроках математики, можно, на мой взгляд, внести разнообразие на уроке и заинтересовать учащихся этим предметом.  

Цель проекта: изучить материал по данной теме и подготовить презентацию для применения её на уроках математики.

Задачи проекта: 

1. Дать определение понятию «софизм».

2. Познакомиться с историей появления софизмов.

3. Классифицировать софизмы по темам математического цикла.

4. Привести примеры софизмов.

5.Научиться находить ошибки в готовых решениях математических задач.

6. Подготовить презентацию.

Объект исследования: софизмы.

Методы  исследования: сбор информации, обработка данных, наблюдения, анализ софизмов, составление собственных софизмов.

1. Задача, которая меня заинтересовала.

«Один рубль не равен ста копейкам»

Мы знаем, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. если a=b, c=d, то ac=bd.

Применим это положение к следующим равенствам: 1 р.=100 коп. (1)  и   10 р.=1000 коп.  (2)

перемножая обе части этих равенств, получим 10 р.=100000 коп. (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп.

В итоге мы получили, что один рубль не равен ста копейкам.

Где же ошибка?

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая первые два равенства, мы получим не третье, а следующее равенство                                                                                  10 р2.  =100 000 коп2, которое после деления на 10 дает 1 р2   = 10 000 коп2,  (*) а не равенство 1р=10 000 коп, как это записано в условии софизма. И если извлечь квадратный корень из равенства (*), получим верное равенство 1р.=100 коп.

2. Что такое «софизм»

Софизм (в переводе с греческого – «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость»)  –  это ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.

Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики

3. История появления софизмов.

Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы.

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа.

Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах.

Вот один из древних софизмов («рогатый»): «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:

-«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно сидящий  стоит»

-«Что от нас дальше Луна или Африка? Конечно же, Африка, ведь Луну отсюда видно, а  Африку нет!»

-«Один человек пожилого возраста доказывает, что сила  его, несмотря на преклонные годы, ничуть не уменьшилась: В юности и молодости я  не мог поднять штангу весом в 200 кг и сейчас не могу, стало  быть сила моя  осталась прежней»

- «Зачем человеку уши? Чтобы  видеть. Странно – это глаза для того чтобы видеть, а уши - для того, чтобы слышать. На самом деле это не так. Уши ведь держат шляпу, и если  их не было, то шапка сползла бы на глаза и было бы ничего не видно. Следовательно,  уши нужны для того, чтобы видеть»

Заметьте, что во всех приведённых примерах выводы являются ложными, причем, где-то их ложность очевидна, а где-то совсем нет.

4. Классификация софизмов по темам математического цикла.

В процессе разбора и решения разнообразных нестандартных математических задач очень хорошо  развиваются логика и смекалка. Именно к такого рода задачам и относятся математические софизмы. В этом разделе я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и логические.

4.1. Алгебраические софизмы

Алгебраические софизмы – это намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Софизм «Дважды два - пять!»

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:                              4:4= 5:5  (1). Вынесем за скобки общий множитель из каждой части равенства, получим:  4∙(1:1)=5∙(1:1)  (2)    или   (2∙2)(1:1)=5(1:1)   (3)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения   (2)    устанавливаем:  2∙2=5.

Где ошибка?

Нельзя выносить множитель за скобки, как это сделано в равенстве (2).

Софизм «Единица равна минус единице»

Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Разложим х2-1 по формуле разности квадратов, получим

                                 (х+1)(х-1) = 0.    (1)

Разделив обе части этого равенства на (х-1), имеем

                            х + 1 = 0, отсюда  х = -1.          (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Так как по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству

                                      1 = -1.

Ошибка: множитель (х-1)=0, получается, что мы делим уравнение (1) на 0, а на 0 делить нельзя.

Софизм «Любое число  a  равно меньшему числу  в»

Начнем с равенства а = в + с. Умножив его обе части на (а – в), получим:

 а2 – ав = ав + ас  - в2 – вс.   Перенесем    ас  в левую часть и разложим на множители:

 а (а-в-с) = в (а-в-с).  Разделив обе части равенства на (а-в-с), получим а = в, что и требовалось доказать.

Ошибка: из равенства а = в + с следует, что а - в – с = 0. Получается, что мы делим обе части равенства на 0, а на 0 делить нельзя!

4.2. Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Приведу примеры геометрических софизмов: «Катет равен гипотенузе», «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра» и другие.

Докажем софизм "Катет равен гипотенузе"

Где же здесь ошибка?      

Ошибка находится в чертеже: серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника, а не внутри.

4.3. Логические софизмы

Ещё одной разновидностью софизмов являются логические софизмы. Приведу некоторые примеры.

Софизм «Полный стакан равен пустому» 
Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Верно ли приведенное суждение? Где ошибка?  

Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. 

«Софизм учёбы»

(песенка, которую сочинили английские студенты).

Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться?

Анализируя математические софизмы, можно выделить следующие основные ошибки,  которые в них «скрываются»:

-деление на 0;

-неправильные выводы из равенства дробей;

-неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

-нарушение правил действия с именованными величинами;

-путаница с понятиями «равенства» и « эквивалентность» в отношении множеств;

-проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

-неравносильный переход от одного неравенства к другому.

5. Выводы.

Итак, в процессе работы над материалом:

• я узнала, что называется "софизмом";
• познакомилась с историей появления софизмов;
• проклассифицировала  софизмы в соответствии с разделами математики, к которым они принадлежат;
• научилась находить ошибки в готовых решениях математических задач.

6. Практическая значимость.

Изучая данную  тему, я расширила свой  кругозор. Работая над софизмами, я научилась находить ошибки в неверных решениях, например, с осторожностью отношусь к делению на выражение (не равно ли оно нулю?). В геометрических задачах, в первую очередь, обращаю внимание на правильность рисунка. На олимпиадах и на ОГЭ по математике мы встречаемся с логическими задачами. После работы над данной темой мне они стали даваться легче. При решении таких задач  развивается  не только логическое мышление,  но и интуиция.

Данный материал можно применять на факультативных занятиях, математическом кружке, чтобы привить интерес учащихся к математике.

7. Список литературы

1. А. Г. Мадера, Д. А. Мадера " Математические софизмы".
2. А.А. Афанасьева «История философской мысли».
3. В.М. Брадис, В.Л. Минковский, Л.К. Харчева "Ошибки в математических рассуждениях".
4. Толковый словарь.
5. Материал из свободной энциклопедии Википедии.
6. Чернышев Б. «Софистика».