НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА Тема: Теорема Пифагора-сокровище геометрии

             Апастовский район село Бишево

Республика Татарстан

             МБОУ «Бишевская средняя общеобразовательная школа»

Класс 8

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: Теорема Пифагора-сокровище геометрии

Руководитель        Валентина Викторовна Безрукова        

                                                       учитель математики

                            первой  квалификационной категории

Учащийся                Ольга Михайловна Безрукова

                              2015год

                        Оглавление.

           I. Введение.

           II. Основная часть:

1. Изучение биографии Пифагора.
2. Теорема Пифагора .
3. Некоторые способы доказательства теоремы Пифагора.
4. Старинные задачи на применение теоремы Пифагора.

           III. Заключение.

           IY. Список использованных источников и литературы.

           Y.  Приложения.

1. Пифагор (ок. 570- ок. 500 гг. до н.э.).
2. Пентаграмма.
3. Остров Самос.
4. Ф.А. Бронников (1827 – 1902г.)   «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу».
5. Теорема Пифагора.
6. Фрагмент доказательства теоремы Пифагора.
7. «Натягиватели верёвок».
8.  Задача древних индусов.
9. Задача из древнекитайского трактата «Гоу-гу».
10.  Задача из китайской «Математики в девяти книгах».
11.  Задача из учебника « Арифметика»  Леонтия Магницкого.
12.  Задача индийского математика XII века Бахаскары.
13.  Применение теоремы Пифагора в строительстве.
14.  Применение теоремы Пифагора в физике.

I.Введение.

  Теорема Пифагора имеет богатую историю. Эта теорема была известна задолго до Пифагора, но связывается она именно с его именем. В вавилонских текстах теорема встречается за 1200 лет до Пифагора.  За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индейцам, под названием «Правило веревки» и использовалось ими для построения зданий, алтарей, разделов земельных участков, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую фигуру, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались бечевкой, разделенной на двенадцать равных частей. В первом узле, в четвертом узле и в восьмом узле стояли колышки. Они вбивались в землю так, что веревка была натянута до прямой линии. При этом образовывался прямоугольный треугольник. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался прямоугольный треугольник со сторонам 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника противолежащий стороне с пятью делениями, был прямой. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц иногда называют Египетским, который вероятно, использовался для определения прямых углов при построении зданий. На протяжении веков были даны многочисленные доказательства этого факта (более 150) . В наше время мы его знаем как теорему Пифагора.

Цели:

- Выявить причину неугасающего интереса к Пифагору и его теореме.

- Выяснить, почему теорему Пифагора называют сокровищем геометрии?

Задачи:

- Изучить биографию Пифагора.

- Узнать историю возникновения теоремы Пифагора.

- Познакомиться с разными способами доказательства теоремы.

- Узнать интересные задачи на применение теоремы.

- Оформить свои исследования в электронном виде (презентация).

План работы над проектом:

1.Изучение биографии Пифагора.

2.Теорема Пифагора и различные способы доказательства теоремы.

3.Старинные задачи на применение теоремы Пифагора.

4.Применение теоремы Пифагора в современной жизни.

II. Основная часть.

1.Изучение биографии Пифагора.  ( прилож.1)

 Пифагор  (ок. 570- ок. 500 гг. до н.э.)

  Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте ( по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне. Пифагор и его последователи- пифагорейцы- образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звёздчатому пятиугольнику- пентаграмме. (Прилож.2)

  На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой.

  Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6,28,496,8128), дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого    ( например, 220 и 284), Пифагор впервые разделил числа на чётные и нечётные, простые и составные, ввёл понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других. (Прилож.3)

    Пифагору приписывается высказывание: «Всё есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее эту гармонию. Было доказано, что √2 не является рациональным числом, т.е. не выражается через натуральные числа.

  Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, что ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По- видимому,  пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

  Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.

  С именем  Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических  и гармонических  пропорциях, средних.

  Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца. Когда в XVI в. Церковь начала ожесточённо преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским. (Прилож.4)

 Несомненно, школа Пифагора сыграла большую роль в усовершенствовании научных методов разрешения математических проблем; в математику твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки. Однако судьба самого Пифагора и его союза имела печальный конец, потому что идеология, лежавшая в основе деятельности союза, неуклонно влекла его к гибели. Союз состоял главным образом из представителей аристократии, в чьих руках было сосредоточено управление городом Кротоном, а это оказывало большое влияние на политику. Между тем в Афинах и в большинстве греческих колоний вводилось демократическое управление, привлекавшее все большее число сторонников. Демократические течения стали преобладающими и в Кротоне. Пифагор со своими сторонниками вынужден был бежать оттуда. Но это уже не спасло его. Будучи в городе Мерапонте, говорят, он, восьмидесятилетний старец, погиб в стычке со своими противниками. Не помог богатый опыт ведения кулачного боя и звание первого олимпийского чемпиона по этому виду спорта, завоеванное им в молодости.

2. Теорема Пифагора.

Формулировка теоремы Пифагора.

Во времена Пифагора:  « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 

Современная формулировка: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.» (Прилож.5)                                    

  Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индейцам.  На протяжении веков были даны многочисленные доказательства этого факта . В наше время мы его знаем как теорему Пифагора. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Как додумался Пифагор до этого утверждения, никаких сведений нет. Возможно, он его начертил прутиком на песке, ведь пифагорейцы часто гуляли и на прогулках занимались наукой. Возможно Пифагор собрал всех математиков и рассказал о своём открытии. Об этом повествует одна из глиняных табличек. В ней есть только задачи, а никаких выводов нет. Но в индийских рукописях сохранился чертёж и слово «теорема», которое происходит от греческого слова «теорио»- рассматриваю. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия. Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».                                                                             «Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Дона Saihorum – ослиный мост, или elefuga – бегство «убогих», т.к. некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде неопределимого моста.
Из-за чертежей, сопровождавших теорему, учащиеся часто называли ее «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны ….» А в «Началах» Евклида она ещё именуется, как «теорема нимфы», так как  её чертёж очень похож на пчёлку или бабочку, а греки их называли нимфами. Но когда арабы переводили эту теорему, то перевели слово «нимфа» – как «невеста». Вот так  вышла ещё и «теорема невесты». На протяжении последующих веков были найдены многие доказательства теоремы Пифагора. В научной литературе зафиксировано множество доказательств данной теоремы. Теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств.

 3. Некоторые способы доказательства теоремы Пифагора:

- Подобие треугольников.

- Доказательство методом площадей.

- Доказательство Евклида.

- Равновеликие фигуры.

- Аддитивный.

- Метод  равнодополняемости.

- Метод  равносоставленности.

- Алгебраический.

- Комбинированный.

- Равенство треугольников.

- Древнеиндийское.

- Древнекитайское и другие способы.(Прилож.6)

       Одно из доказательств теоремы В древнекитайской книге Чу-пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели верёвок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. (Прилож.7)

       Доказательства методом разложения.

  Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата ,построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.

А вот стихотворение  И.Дырченко о теореме Пифагора:

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом.

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём.

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим,

И таким простым путём

К результату мы придём.

4.Старинные задачи на применение теоремы Пифагора.

Задача древних индусов.

Над озером тихим  с полфута размером
Высился лотоса цвет, он рос одиноко,
И ветер порывом отнёс его в сторону.

Нет  боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?” (Прилож.8)

Задача из древнекитайского трактата «Гоу-гу».

  Имеется бамбук     высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи) .Какова высота бамбука после сгибания? (Прилож.9)

  Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

 «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?». (Прилож.10)

Задача из учебника « Арифметика»  Леонтия Магницкого.

   Случися некому человеку   к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.   И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.(Прилож.11)

Задача индийского математика XII века Бахаскары.

  На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг порыв ветра его ствол надломил.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота? (Прилож. 12)

III. Заключение.

Применение теоремы Пифагора в современной жизни.

  Теорема Пифагора играет большую роль в математике, с её помощью можно вывести множество теорем геометрии и решить многие (не только математические) задачи. Прошло уже много лет с того момента, когда эта теорема была впервые открыта и доказана, но она до сих пор продолжает привлекать внимание учёных, исследователей.

    Теорема Пифагора    применяется почти во всех современных технологиях, а также для создания новых.

Применение теоремы Пифагора в строительстве: при строительстве любого сооружения рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом Теорема Пифагора применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых. (Прилож. 13)

Применение теоремы Пифагора в физике: например, известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. (Прилож. 14)

     Примеры современных задач, а также задач, встречающихся в заданиях ОГЭ по математике, при решении которых применяется теорема Пифагора:

- Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома на высоте 8 метров, если ее нижний конец отстоит от дома на 6 м?

- Мальчик прошел от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернул на север и прошёл 300 м. После этого он повернул  на восток и прошёл еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

- Два парохода вышли из порта,  следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

- Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора,

чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

- Окружность радиуса 2 внешне касается окружности меньшего радиуса. К этим окружностям проведена общая касательная, расстояние между точками касания равно 3. Найдите радиус меньшей окружности.

  Теорема Пифагора очень  важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Теперь мне понятны слова великого Иоганна Кеплера: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них- это теорема Пифагора».

               Пребудет вечной истина, как скоро,

               Её познает слабый человек!

               И ныне теорема Пифагора

               Верна, как и в его далёкий век.

                                             А.Шамиссо

          IY. Список использованных источников и литературы:

Ссылки на ресурсы Интернет:

http://ru/Wikipedia.org/wik

http://movpifagor.narod.ru

http:// festivai.iseptember.ru/articles

1. Учебник (5 авторов). Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и другие «Геометрия 7-9» Москва «Просвещение». 2013г. – 383 стр.

2. Пособие (2 автора). Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка : пособие для учащихся- 4-е изд., -М.:просвещение.1984г.-160 стр.

3.Книга (3 автора). С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов «Старинные занимательные задачи» Москва «Наука» 1988г.-160 стр.

4. Словарь  (1составитель). Сост. Э68 А.П.Савин . Энциклопедический словарь юного математика. Москва «Педагогика»,1985г.-358 стр.