Исследовательская работа

МБОУ «Бухоловская СОШ»

Исследовательская работа

«Геометрия Лобачевского»

Выполнили: ученицы 8 класса

Мошненко Юлия, Шестова Татьяна.

Руководитель: Севостьянова Наталья Равильевна.

2013 г.

Содержание

Введение………………………………….……………………………………3

История создания геометрии Лобачевского….…….………………….…… 4

Геометрия Лобачевского…………………………………………….………..7

Модели геометрии Лобачевского………..………..………………………….9

Отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида………….….......12

Заключение……………....…………………………..………………....……..13

Приложения…………………...……….………………………....…………...14

Список литературы и ресурсов сети Интернет………...........................…...15

Введение.

        В современном мире любой грамотный человек знает, что есть такая странная неевклидова геометрия – геометрия Лобачевского. Она была создана нашим соотечественником – Николаем Ивановичем Лобачевским. Ее открытие и революционная идея о том, что возможны разные и равноправные геометрии, произвели переворот не только в математике, но и в представлениях людей об окружающем мире. И тем не менее в повседневной жизни и даже на уроках геометрии в школе нам не приходится с ней сталкиваться, поэтому многие не представляют себе, что же на самом деле создал Лобачевский.

        Нас заинтересовала эта проблема и мы провели исследование по теме «Геометрия Лобачевского». Актуальность выбранной темы была подтверждена в ходе проведенного нами анкетирования среди учащихся 7 – 10 классов нашей школы. Из 35 опрошенных - 19 человек (54 %) проявили интерес к геометрии Лобачевского (приложение 1). Думаем результаты исследования будут интересны тем, кто увлекается математикой.

Данная работа показывает сходство и различие двух геометрий: Евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.

Цель исследования:

выявить отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Задачи:

 - изучить научную литературу, научные публикации по теме;

- сравнить теоремы геометрии Лобачевского с аналогичными теоремами  Евклида.

Ожидаемые результаты:

- использование данной работы учащимися, интересующимися математикой,   для углубления познаний в геометрии.

История создания геометрии Лобачевского.

В развитии Геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.
Первый период зарождения геометрии как математической науки —Древний Египет, Вавилон и Греция . Здесь происходит установление первых общих закономерностей, зависимостей между геометрическими величинами.

Второй период развития геометрии связан со становлением геометрии в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались.  В III веке до н. э. греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала».

Третий период выделяют с 1-й половины XVII в.  Р. Декарт ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.

История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попыток доказать 5-ый постулат Евклида. Пятый постулат последний и самый сложный из всех включенных Евклидом в его аксиоматику геометрии. Он звучит так: «Если две прямые пересекаются третьей так, что по какую либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются» (рис. 1)

рис. 1

Проверить пятый постулат на практике очень сложно. Многие математики, жившие после Евклида пытались доказать, что эта аксиома лишняя, т.е. она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Первые попытки были предприняты еще в 5 веке. Математик Прокл (первый комментатор трудов Евклида) использовал утверждение, которое является эквивалентом пятого постулата: два перпендикуляра к одной прямой на всем своем протяжении находятся на ограниченном расстоянии друг от друга (т.е. два перпендикуляра к третьей прямой не могут  неограниченно удаляться друг от друга как на рис. 2).

        рис. 2

Предпринимались попытки доказать от противного: допустим, что 5-й постулат неверен. Логического противоречия не получалось, но  приходили к утверждениям противоречащим нашей геометрической интуиции. И так в течение двух тысячелетий математики ни как не могли открыть истину, что не может ли быть так, если заменить 5-й постулат его отрицанием, то можно получить новую неевклидову геометрию.      

      Первым, кто допустил возможность существования неевклидовой геометрии, в которой пятый постулат заменяется его отрицанием, был К.Ф. Гаусс. Но только после смерти ученого было обнаружено, что Гаусс владел идеями неевклидовой геометрии. Гениальный Гаусс, к мнению которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть не понятым.    

      В XIX веке, независимо от Гаусса, к этому открытию, пришел наш соотечественник - профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский.

Лобачевский, как и все его предшественники, то же пытался доказать пятый постулат. Он доказал десятки теорем не обнаруживая логического противоречия. Тогда ему и пришла идея заменить пятый постулат его отрицанием.  Лобачевский назвал эту геометрию воображаемой. Это была неевклидова геометрия.

7 февраля (по старому стилю) 1826 г. Н. И. Лобачевский представил физико-математическому факультету Казанского университета доклад по теории параллельных под названием «Рассуждения о принципах геометрии». В 1829 г. в «Ученых записках Казанского университета» он поместил статью «О началах геометрии». Это была первая опубликованная работа по новой геометрии. В последующие годы Лобачевский издал еще ряд сочинений по геометрии. В этих сочинениях он первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что V постулат Евклида нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

Геометрия Лобачевского.

Основным пунктом, откуда начинается разделение геометрии на обычную евклидову (употребительную) и неевклидову (воображаемую геометрию) является, постулат о параллельных линиях.

В основе евклидовой  геометрии лежит предположение, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

        В противоположность постулату Евклида, Лобачевский принимает в основу построения теории параллельных линий следующую аксиому:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

V*. Пусть а — произвольная прямая, а A — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.  

В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с  образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке  обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4.  Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые l и d на рис. 1).

         Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на аксиоме Лобачевского.

         В геометрии Лобачевского, в воображаемой геометрии,  сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без пятого постулата. Например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны и другие. Но теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности видоизменяются. Теорема о сумме углов треугольника в которой используется аксиома параллельности звучит так: сумма углов треугольника меньше 1800. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 3600. В геометрии Лобачевского не существует неравных подобных треугольников и  есть четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника равны соответственно углам другого, то эти треугольники равны.

В геометрии Евклида для определения отрезка необходимо задать непременно некоторый другой отрезок (или систему отрезков) и указать то геометрическое построение, при помощи которого первый может быть получен из второго (чаще задается единица длины и число, выражающее длину определяемого отрезка). В геометрии Лобачевского дело обстоит проще: для определения отрезка не надо задавать другого отрезка, достаточно указать только геометрическое построение, при помощи которого может быть получен определяемый отрезок (например, как сторона равностороннего треугольника с углом, получаемым из прямого угла при помощи того или иного построения).

В геометрии Лобачевского параллельными прямыми называются прямые как неограниченно приближающиеся к друг другу.

Модели геометрии Лобачевского.

Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:

1) Модель Пуанкаре;

2) Модель Клейна;

3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).                                  

1) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами)

      Эудженио Бельтрами в 1868 году нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.23), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

            Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.3). Итак, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие  аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2π (рис.4).

  рис.4

Этими моделями была окончательно установлена непротиворечивость геометрии Лобачевского. Работой  ученых  было доказано, что геометрия Евклида не является единственно возможной. Именно эти утверждения и открытия оказали прогрессивное воздействие на всё дальнейшее развитие геометрии.

     2) Модель Клейна. 

     В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. За плоскость принимается какой-либо круг (рис.2.1), за точки - точки принадлежащие этому кругу, за прямые - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

                                                                                   рис. 2

Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых  (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих  прямой АВ (рис.2.2). Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского.

3) Модель Пуанкаре, 1882 год.

В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.  Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему. Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 1).

рис.1

Отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Таблица-вывод.

Заключение.

Геометрия Лобачевского - построенная в 1826 Н. И. Лобачевским геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы (постулата)  о параллельных.  Евклидова аксиома гласит: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, параллельную данной, т. е. ее не пересекающую. В геометрии Лобачевского эта аксиома заменена следующей: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данной. В геометрии Лобачевского многие теоремы отличны от аналогичных теорем евклидовой геометрии. Например, сумма углов треугольника меньше двух прямых; два подобных треугольника всегда равны между собой. 

Несмотря на внешнюю парадоксальность этих выводов, геометрия Лобачевского оказалась логически совершенно равноправной с евклидовой.  

Если нам необходимо провести измерения на плоскости (измерить, например, расстояние от точки до точки, в с/хоз – измерить поле), то мы воспользуемся геометрией Евклида. Она самая простая для понимания, поэтому преподается самая первая. К тому же, это самая древняя геометрия, основа основ, своеобразный базис. Когда мы делаем измерения и вычисления в пространстве, с чем тоже сталкиваемся нередко, мы опираемся на выводы Лобачевского и его геометрию.

 Открытие неевклидовой геометрии Лобачевским внесло коренные изменения в представления о природе пространства.  В  ХХ веке было обнаружено, что  геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики, как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики к физике.     Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.  Например, в расчетах современных синхрофазотронов используют формулы геометрии Лобачевского.  

Приложение 1. 

Дорогой друг!

Просим тебя ответить на вопросы анкеты

 с целью проведения исследования

по изучению неевклидовой геометрии.

Будем очень признательны за содействие.

1. Ты учишься в  _______ классе.

2. Нравится ли тебе наука геометрия?

а) да;    б) нет;    в) затрудняюсь ответить.

     3.  В честь какого великого математика названа геометрия, которую ты   изучаешь в школе:

          а) Пифагор;  б) Евклид;

          в) Архимед;   г) Лобачевский.

    4. Знаешь ли ты, что существует другая геометрия?

         а) да;                  б) нет (переходишь к вопросу 6.)

    5. Имя какого Российского математика носит эта геометрия?

    6. Хотел бы ты узнать больше об этой геометрии?

а) да;    б) нет;    в) затрудняюсь ответить.

   Список литературы и ресурсов сети Интернет.

1. Б.Л. Лаптев.  Н.И. Лобачевский  и его геометрия. Пособие для учащихся.  М. «Просвещение», 1970 г.
2. Александров П. С. Что такое неевклидова геометрия. Москва, 2007.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе ( 7 – 8 кл.). Москва, «Просвещение», 1982 г.
4. Энциклопедический словарь юного математика. Москва, «Педагогика», 1989 г.
5. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского./. – М.: Наука, 1983 г.
6. Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского 
7. Светила математики. Н.И.Лобачевский [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://mathsun.ru/lobachevskij.html 
8. Энциклопедия для детей. [Том 11.] Математика. – 2-е изд., перераб. / ред. коллегия: М. Аксёнова, В. Володин, М. Самсонов. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2007 г.