Краевое государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Минусинский кадетский корпус»

Способы умножения чисел

( исследовательская работа по математике)

на IX городской конкурс  юных исследователей

Выполнил:

Николаев Никита, кадет 5А класса

учитель-консультант:

Гаврилова Ирина Викторовна

г. Минусинск,  2017

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ        3

Глава 1. СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ У РАЗНЫХ НАРОДОВ        4

1.1 КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ        4

1.2  КИТАЙСКИЙ ИЛИ ЯПОНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ        6

1.3 ИТАЛЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ        7

Глава 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  ПРЕДСТАВЛЕНЫХ СПОСОБОВ УМНОЖЕНИЯ        9

2.1 СЧЕТНЫЕ ПАЛОЧКИ НЕПЕРА        9

2.2 ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭФФЕКТИВНОГО СПОСОБА УМНОЖЕНИЯ        11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        12

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ  СПОСОБ        13

ВВЕДЕНИЕ

Всем в жизни приходится производить различные вычисления, в том числе и умножать двузначные числа. В школе нас учат умножать числа «в столбик». В корпусе нам показывали фильм о китайском способе умножения, с помощью линий. Единственный ли это способ умножения чисел и всегда и во всех ли странах так умножают? Может быть, есть способы умножения проще, чем изучаемый в школе способ умножения чисел «в столбик»? Для решения обозначенных проблем нами была определена цель исследования - знакомство со способами умножение  чисел у разных народов и определение эффективного способа (учет простоты способа  и скорости  вычисления).

Объект исследования - умножение чисел.

Предмет исследования - способы умножения чисел у разных народов.

Задачи:

1. Провести поиск разных способов умножения чисел в литературных источниках.
2. Овладеть различными способами умножения.
3. Провести эксперимент по определению эффективного способа умножения.
4. Обобщить полученные данные.

 Гипотеза - итальянский способ наиболее эффективный из найденных способов

Глава 1. СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ У РАЗНЫХ НАРОДОВ

Автором нашего нормального способа умножения многозначных чисел следует считать Адама Ризе, немецкого педагога (1492–1559). Этот способ считается самым удобным. «Главное отличие способа Адама Ризе заключается в том, что разряды всех чисел и множимого, и множителя, и произведения стоят один под другим в одном вертикальном столбце»[1, с.42]. Билюстин В. В своей книге «Как постепенно люди дошли до современной арифметики» приводит «всего 27 способов» умножение [1, с.42]. Мы в своей работе рассмотрели только три способа.

1.1 КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

    Этот способ использовали    русские крестьяне. В своей книге Я.И.Перельман пишет, что этот способ был известен еще с 1700гг до нашей эры в Египте, сохранился папирус того времени с четырьмя примерами решенными данным способом[4,с. 52].

Он основан на  знание таблицы умножения на  два. Суть способа: «умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа» [4, с.50]. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Пример 1.  Вычислить 37 ∙ 32 =

37          32

74        16

148          8

296          4

592          2

1184          1

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

          В случае нечетного числа надо отбросить  единицу и делить остаток пополам, но к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.

Пример 2. 24 ∙ 17 =

24         17

48          8

96          4

192         2

384         1 

24 ∙ 17 =  384 + 24 = 408

В энциклопедии «Я познаю мир»[5, с. 24] предлагается вычеркивать строки, в которых в правой колонке (в которой выполнялось деление) четные числа. Оставшиеся числа в левой колонке при сложении дают результат.

Вывод: Данный способ удобен для тех людей, которые умеют  легко умножать и делить на два. Трудность возникает, если встречаются нечетные числа, надо быть очень внимательным. Чем больше числа, тем дольше вычисления.

1.2  КИТАЙСКИЙ ИЛИ ЯПОНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

Его цель заключается в том, чтобы, не зная таблицы умножения можно  без ошибок умножать числа.  Числа изображаются линиями «палочками» и считаются пересечения линий.

Алгоритм умножения (на примере двузначных чисел):

1 шаг. Изобразить первое число: начертить две группы палочек - число десятков,  чуть отступив под таким же углом  - число единиц.

2 шаг. Аналогично изобразить второе число, но так чтобы линии пересеклись с первым числом. Если например все линии первого числа с правым уклоном, то все линии второго числа с левым уклоном.

3 шаг.  Отделяем самые левые пересечения, самые правые, и остаётся середина (две группы пересечений).

4 шаг. Считаем количество точек на пересечениях и просто записываем результат, сотни (самая левая группа точек), десятки (серединные точки) и единицы (группа точек справа).

Пример 4. См. рисунок 1.

Рисунок 1. Китайский способ умножения.

Вывод: данный способ прост, очень удобен для тех, кто лучше воспринимает материал с помощью схем и чертежей. Способ требует внимательности и аккуратности. Его простота в том, что необходимо уметь только складывать и разбивать числа на разряды.

1.3 ИТАЛЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

 Этот способ известен под разными названиями: «сетка», «решетка», «ревность» [2, с.81].  «Такая решетка.-пишет Лука Пачоли,- напоминает решетчатые ставни-жалюзи, которые вешались на венецианские окна» [5, с. 34].

Алгоритм умножения итальянским способом:

1 шаг. Чертим сетку: количество столбиков - количество цифр в первом множителе, количество строк - количество цифр во втором множителе. В каждой  клетке проводим диагональ (все в одну сторону).

2 шаг. Подписываем цифры над столбиками и возле строк.

3 шаг. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

Если при умножении получается однозначное число, записываем его внизу ячейки. Если число двузначное, то вверху клетки пишем число десятков, внизу под диагональю – число единиц.

4 шаг. Складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Пример 5.  256* 12= 3072 Решение представлено на  рисунке 2.

Рисунок 2. Итальянский способ умножения.

Вывод: данный способ удобен и не требует больших усилий, необходимо, как и при обычном способе, знание таблицы умножения. Способ наглядный и простой.

На основе изученных способов мы составили сравнительную таблицу, отражающую особенности каждого способа.

Таблица 1. Сравнение способов умножения

Глава 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  ПРЕДСТАВЛЕНЫХ СПОСОБОВ УМНОЖЕНИЯ

2.1 СЧЕТНЫЕ ПАЛОЧКИ НЕПЕРА

Шотландский математик Джон Непер придумал счетный прибор, состоящий из 10 палочек, предназначенный для умножения чисел. Устройство палочек основано на принципе итальянского умножения чисел.

 Рисунок 3. Счетные палочки Непера.

Рассмотрим алгоритм умножение многозначного числа на однозначное. Пусть, например, нужно вычислить произведение 258*8.

1 шаг. Взять палочки и по первому ряду составить число. В нашем примере возьмём полоски с верхними цифрами 2, 5 и 8 и положим их рядом

2 шаг. Отсчитать сверху столько рядов,  на сколько необходимо умножить. В рассматриваемом примере -  восьмая строка.

3 шаг. Считаем по диагонали, прибавляя десятки к числу в следующей полосе.

В примере  произведение равно 2064, еще один пример  произведение 354 и 7 представлен на рисунке 4.

 Рисунок 4. Умножение с помощью палочек Непера 354*7=2478

«Палочками Непера» можно пользоваться и для умножения многозначных чисел.  В книге «Математическая шкатулка» [3, с.107] объясняется данный способ. Необходимо выполнить указанный алгоритм для каждой цифры второго множителя и полученные результаты сложить.

  Пусть нужно вычислить произведение  4375*347. Положим рядом 4 полоски с верхними числами  4; 3; 7; и 5. Определим произведение числа 4375 на 7. Получим  30 625. Умножим 4375   на 4 десятка  получим 175000. Найдём ещё произведение 4375 на 3 сотни. Получим 13 125 сотен. Остаётся  найти сумму получившихся произведений. 30 625 +175000+1312500=1518 125

Вывод: Созданный прибор, подтверждает универсальность итальянского способа умножения и его простоту использования. На наш взгляд, школьников можно было бы знакомить с палочками Непера.

2.2 ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭФФЕКТИВНОГО СПОСОБА УМНОЖЕНИЯ

Мы выбрали два способа: итальянский и китайский. Кадетам 5 класса после объяснения способов было предложено посчитать каждым способом по 2 примера на умножение. В качестве критериев эффективности выбрали - скорость выполнения расчетов и их правильность. В эксперименте участвовали 15 кадет. Результаты эксперимента представлены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты эксперимента.

Эксперимент показал, что кадетов заинтересовали новые способы умножения, но им было трудно умножать новыми способами, так как они привыкли умножать «в столбик». Кадеты отметили, что итальянским способом очень легко считать и ошибиться трудно, главное быть внимательным. Ошибки, которые допустили кадеты, связаны с их невнимательностью: считали не по диагонали, а по столбикам.

Вывод: Итальянский способ оказался более быстрым, чем китайский способ, в среднем выигрыш во времени составляет 44 секунды. При решении итальянским способом  кадеты меньше допускали ошибки. На основе полученных данных можно утверждать, что итальянский способ из представленных является более эффективным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В каждое время у разных народов были свои способы умножения чисел. Рассмотренные способы умножения чисел не очень сложны в изучении.  Наиболее нетрадиционным можно считать китайский или японский способ. По итогам эксперимента итальянский способ, как мы и предполагали, оказался эффективней китайского. Об универсальности итальянского способа также свидетельствует и счетный прибор - палочки Непера.

Ученые всегда стремились упростить вычисления, в том числе и умножение чисел.  В книге  Беллюстина В., написанной в 1969 году приводится 27 способов, в настоящее время появляются новые способы умножения. Умножение не стоит на месте, о чем доказывает новый способ умножения, который разработал Василий Иванович  Оконешников.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ  СПОСОБ

1. Беллюстин В. Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики.-М.: Педагогический листок, 1969.-112с.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1964.-375 с.
3. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка.-М.:Учпедгиз,1958.-167с.
4. Перельман Я.И.  Занимательная  арифметика,- М.: АО «Столетие»,1994.- 176 с.
5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П. Савин,В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. Ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО «Фирма «Издательство  АСТ», 1999.- 480 с.