Построение правильных многогранников

МОУ СОШ с. Лермонтово

Белинского района Пензенской области

Доклад на тему

«Построение правильных

многогранников»

Выполнила ученица 11 класса

                  Шулепина Алла

                                                                                   Учитель Булаева Т.Г.

2013 г

Цели и задачи:

•  Дать понятие правильных многогранников (на основе определения многогранников).

• Рассмотреть свойства правильных многогранников.

• Познакомить с историческими фактами, связанными с теорией правильных многогранников.
• Показать, как строили правильные многогранники в XIX в.
• Показать, как строят правильные многогранники в XXIв., используя куб.

 «Правильных многогранников вызывающе мало,
но этот весьма скромный по численности отряд сумел
пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэррол.

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.

                Всего в природе существует пять правильных многогранников

                Тетраэдр

                Октаэдр

                Гексаэдр

                Додекаэдр

                Икосаэдр

История многогранников

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

           Фалес (635-548 г. до н.э.) из Милета определил высоту предмета по его тени, пользуясь тем, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Он измерил высоту пирамиды, «наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами», считая, что отношение длины вертикально поставленной палки к длине ее тени равно отношению высоты пирамиды к длине ее тени. На основании этого факта Фалесу приписывается авторство теоремы о том, что равноугольные треугольники имееют пропорциональные стороны. 

Учение Пифагора.

           В V веке до нашей эры центром дальнейшего прогресса математики становится Южная Италия. Ведущая роль в развитии математики этого периода принадлежит Пифагору (570-470 г. до н.э.). Пифагорейцы занимались изучением правильных многоугольников. Даже отличительным знаком их братства был правильный звездчатый пятиугольник. Именно школе Пифагора приписывают открытие существования пяти типов правильных выпуклых многогранников, которые использовались для философских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия – огонь, земля, воздух и вода – имели формы правильных многогранников, соответственно правильного тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму правильного додекаэдра имела вся Вселенная.     Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества: твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.  Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

           Развитию математики в IV веке до нашей эры способствовали существовавшие в то время философские и особенно естественно-научные школы. Одну из них возглавлял философ-идеалист Платон (427-347 г. до .н.э.). Он являлся основателем школы, названной «Академией» по имени местности вблизи Афин, где он постоянно встречался со своими учениками. Сам Платон не был математиком, но он придавал ей исключительно важное значение. При входе в основанную им Академию была надпись следующего содержания: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии»… В трактате «Тимей» он изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые именно поэтому стали называться платоновыми телами. 

           Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Получились так называемые равноугольные полуправильные многогранники. До нас дошла работа самого ученого, который называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название «тела Архимеда». Архимед подробно описал каждый полуправильный многогранник, дал его рисунок и решил задачу о количестве телесных (старое название многогранных) углов и ребер каждого многогранника. Вот как об этом говорится в самой работе: «Сколько же углов и ребер имеет каждая из этих тринадцати многогранных фигур, можно усмотреть следующим образом: у тех многогранников, у которых телесные углы заключаются только между тремя плоскими углами, если пересчитать все плоские углы, которые содержат все грани многогранника, то ясно, что число телесных углов будет равно третьей части полученного числа, у тех же многогранников, у которых телесные углы заключаются только между четырьмя плоскими, то если пересчитать все плоские углы, которые имеют все грани многогранника, то четвертая часть полученного числа будет числом телесных углов многогранника; точно так же у тех многогранников, у которых телесный угол заключается между пятью плоскими углами, пятая часть всего количества плоских углов будет числом телесных углов. Количество же ребер каждого многогранника мы найдем таким способом. Если пересчитать все стороны, которые имеют ограничивающие многогранники плоские фигуры, то ясно, что их число будет равно количеству плоских углов. Но так как каждая из ребер многогранника будет общим для двух граней, то ясно, что половина указанного количества будет числом ребер многогранника».

Правильные многогранники в природе

         Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

         При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] ?12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

       Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

            Водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью и более, чем с семью)  сторонами нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Это утверждение следует из известной формулы Эйлера.

     На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.

 Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую нитевидную спираль, точнее на  правильный двадцатигранник, или икосаэдр. Есть вирусы, размножающиеся в клетках животных (позвоночных и беспозвоночных), другие облюбовали растения, третьи (их называют бактериофагами или просто фагами) паразитируют в микробах, но икосаэдрическая форма встречается у вирусов всех этих трех групп.

       Шестой элемент периодической системы С (углерод) характеризуется структурой октаэдра. Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра. Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже — кубов или тетраэдров.

            Исторически первой формой огранки, появившейся в середине XIV века, стал «октаэдр». Алмаз «Шах» почти сохранил свой  естественный вид. Он имеет форму вытянутого кристалла - октаэдра, массу 88,7 карата и цвет воды с желто-бурым    оттенком. В начале XIX века «Шах» оказался в Персии. В 1829 году в ходе беспорядков в Тегеране был убит русский посол, автор комедии «Горе от ума» А. С. Грибоедов, и персидское правительство для разрешения конфликта подарило алмаз Николаю I. 

   Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур. Но и пути познания природной гармонии.

                Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

                Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Как и для любых выпуклых многогранников,  для правильных справедлива  формула Эйлера.   

Теорема Эйлера:

 Число вершин - число ребер + число граней =2

Меня очень заинтересовал это вопрос о правильных многогранниках потом что, работая с ручной математической энциклопедией 1826 года, я увидела вопрос о построении этих геометрических .

          Я  попыталась  найти связь времени: сравнив построение этих многогранников в этой энциклопедии и в настоящее время.

 Мы зайдем в барский дом музея – заповедника «Тарханы», в классную комнату, и поближе познакомимся с ручной математической энциклопедией, по которой занимались в учебных  заведениях 19 века. Ручная математическая энциклопедия издана в 1826 году в университетской типографии г. Москва. В классной комнате представлена 2 книжка «Основания геометрии». Энциклопедия состоит из 3 разделов: Введение и двух отделений.

1 Отделение : «О прямых линиях и окружности одной плоскости».

2 Отделение: прямых линиях и плоскости в пространств; о телах, ограниченных плоскостями.

Во второй главе  и рассматривается вопрос о построении правильных многогранников.

Рассмотрим эти способы. А в современной интерпретации построение эти геометрических тел рассмотрим с помощью куба. Хотя существуют и другие способы построения. Чтобы почувствовать колорит того времени я буду пользоваться именно тем языком, на котором написана энциклопедия.

По данной   сторонъ    или по данному ребру составить правильный   многогранникъ.  Сей общiй   вопрось   раздъляется   на пять   частныхъ:

1. Построить четырегранникъ. 

Пусть АВС    будеть    равностороннiй шр-къ;   изъ центра его О возставъ   къ его плоскости перпендикулярную ОS и сд ълай,    чтобъ   AS=АВ:  проведши SB и SC,получишь   тригранную пирамиду,  которая и будетъ   искомый   четырегранникъ.

Ибо SA=AB=SB=SC. 

Построение правильного тетраэдра вписанного в куб

Рассмотрим вершину куба А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину противоположную А,- вершины куба В1, С1, Д. Точки А, В1,С1, Д- являются вершинами правильного тетраэдра.

2. Построить кубь. На квадратъ  AC  составь прямую   призму, которой ребро АЕ=АВ.

3. Построить осьмигранникъ.

     Взявши АВ сторону правильнаго  пр-ка, должно составить на ней квадратъ  Ас (чер.126); потомъ  чрезъ  центръ  его О проводится къ  его плоскости перпендикулярная TS, которой части ТО и SO, находящiяся по объимъ сторонамъ сей плоскости ,ограничиваются такъ, что ОТ=OS=AO; послъ сего протягиваются SA,SB,TA и пр…, выйдетъ  тъло ,составленное  изъ  двухъ  четырегранныхъ пирамидъ  SABCD,TABCD сложенныхъ  общимъ основанiемъ ADCB: ciе тъло есть желаемый осьмигранникъ.  Ибо въ равныхъ тр-кахъ  АОТ,АОВ сторона АТ=АВ.

Построение правильного октаэдра, вписанного в данный куб

Выбираем куб. В нем последовательно проводим отрезки: слабо видимыми линиями соединяем попарно между собой вершины каждой грани. Точки пересечения этих диагоналей соединяем между собой.

                    4. Построить двадцатигранникъ.  

Прежде  всего надобно найти наклоненiе сторонъ  пятиграннаго угла: пусть С`В` будетъ сторона правильного триугольника  АСВ; начертивши на ней правильный пятиугольник С`В`L`J`H`, чрезъ  центръ его о возставляютъ  къ его плоскости перпендикулярную А`О, которую ограничиваютъ  такъ,  чтобъ B`A`=C`B`: протянувши A`D`,A`J`,A`H`, получают пятигранный уголъ А; коему при А,В,С, должно составить равные; отъ сего образуется выпуклая поверхность АВСDEF… изъ десяти равносторонних триугольниковъ;  притомъ въ точкахъ G,F,E,… будутъ соединяться поперемънно  по два и по три угла. Составить такимъ  же образомъ  другую поверхность, совершенно равную ABCDEF, складываютъ сiхъ  двугранные углы одной соединяются съ  тригранными  другой и двадцатигранникъ  совершенно образуются. 

Построение икосаэдра, вписанного в куб

Поместим на средних линиях граней куба по одному отрезку одинаковой длины с концами на равных расстояниях от ребер. Расположим отрезки и выберем их длину так, чтобы соединяя концы отрезка одной грани с концом отрезка другой грани получить равносторонний треугольник, причем из каждой вершины должны выходить пять ребер.

5. Построить двенадцатигранникъ . Для образования сего многогранника надобно составить двъ  выпуклые поверхности ECTP… и есf , каждую  изъ шести равныхъ  правильныхъ  пятиугольников ,и   потомъ сложить ихъ.

Построение додекаэдра, описанного около куба

На каждой грани куба строим « четырехскатную крышу», две грани которой - треугольники и две- трапеции. Такие треугольники и трапецию получим, если построим правильный пятиугольник, у которого диагональ равна ребру куба. Стороны этого пятиугольника будут равны ребрам додекаэдра, а построенные с помощью диагонали треугольник и трапеция окажутся фрагментами «четырехскатной крыши»

Работу по этой энциклопедии я не заканчиваю. В настоящее время разбираю решения некоторых задач на вычисление площади полной поверхности и объемов тел вращения. Решения этих задач очень интересно. Разобрав их по энциклопедии

 я буду решать эти задачи  уже современным методом.

В настоящей работе я хотела найти связь времен, сравнивая подход к построению правильных многогранников в 19 и 21 веках. И это мне удалось. Как и наш земляк М.Ю. Лермонтов мне  хотелось в этой работе «во всем дойти до совершенства». Спасибо за внимание.